Дополнительные задания

1. Докажите теорему: числовая функция, определенная и непрерывная на некотором компакте, ограничена и принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения.

2. Является ли компактным множество многочленов в пространстве ?

3. Докажите, что замкнутый единичный шар не является компактом в пространстве .

4. Докажите, что если любая последовательность непустых вложенных друг в друга замкнутых подмножеств множества М имеет непустое пересечение, то М – компакт.

5. Докажите, что если F₁ и F₂ – компакты в метрическом пространстве, то существуют две точки и такие, что .

6. Докажите, что в пространстве замкнутый шар с центром в точке (0, 0, …,0, …) радиуса 1 ограничен, но не является компактом.

7. Докажите, что декартово произведение метрических пространств X и Y является компактом тогда и только тогда, когда пространства X и Y являются компактами.

8. Докажите, что пресечение любой совокупности компактов является компактом.

9. Докажите, что объединение конечной совокупности компактов является компактом.

10. Докажите, что множество функций является компактом в пространстве .

11. Докажите, что метрическое пространство всех ограниченных последовательностей действительных чисел , в котором расстояние определяется формулой , не является компактным.

§ 9. Полные метрические пространства

Литература: [1], глава III, § 4.

Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить понятия фундаментальной последовательности и полного метрического пространства.

Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §5 и § 8, что позволит студенту посмотреть на свойства полных метричес-ких пространств с разных точек зрения.

9.149. Приведите примеры фундаментальных последовательностей в пространстве: а) ; б) .

9.150. Докажите, что следующие последовательности в пространстве являются фундаментальными:

а);

б) ;

в) , где – множество простых чисел.

9.151. Выясните, является ли фундаментальной последовательность в пространстве: а) ; б) .

9.152. Выясните, являются ли фундаментальными в пространстве следующие последовательности:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9.153. Докажите, что если ряд сходится, то последовательность является фундаментальной.

9.154. Студент, проверив, что некоторая последовательность пространства не имеет предела, заключил, что в таком случае эта последовательность не является и фундаментальной. Верно ли такое заключение?

9.155. Выясните, является ли фундаментальной последовательность в пространстве .

9.156. Выясните, являются ли фундаментальными в пространстве , где , последовательности: а) ; б) ; в) любая последовательность с попарно различными элементами.

9.157. Является ли фундаментальной последовательность функций в пространстве ограниченных на числовой прямой функций с метрикой .

9.158. Студент дал следующее определение фундаментальной последовательности: последовательность называется фундаментальной, если при любом . Верно ли это определение?

9.159. Докажите, что всякая фундаментальная последовательность ограничена.

9.160. Докажите, что если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится к , то и сама последовательность сходится к тому же пределу .

9.161. Пространство – пространство изолированных точек ( –произвольное множество, ) . Установите, какие последовательности в этом пространстве являются фундаментальными.

9.162. Выясните, является ли пространство , описанное в предыдущем примере, полным.

9.163. Докажите, что всякое компактное метрическое пространство полно.

9.164. Используя результаты предыдущей задачи и задач § 8, приведите примеры полных метрических пространств.

9.165. Докажите, что замкнутое подпространство полного метрического пространства полно.

9.166. Используя известные Вам примеры полных метрических пространств и результат предыдущей задачи, приведите несколько примеров полных метрических пространств.

9.167. Докажите, что пространство натуральных чисел с метрикой является полным.

9.168. Является ли полным подпространство целых чисел пространства

9.169. Выясните, является ли полным пространством числовая прямая с метрикой .

9.170. Докажите, что если подмножество метрического пространства , рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство (с метрикой, заимствованной из ), является полным пространством, то – замкнутое множество.