Дополнительные задания

1. Выясните, является ли счетным множество всех конечных десятичных дробей.

2. Докажите, что если множество бесконечно и существует отображение множества во множество натуральных чисел , то счетно.

3. Может ли множество всех многочленов -ой степени с целыми коэффициентами быть счетным?

4. Выясните, является ли счетным множество всех многочленов, коэффициентами которого служат алгебраические числа.

5. Докажите, что если множество бесконечно и существует отображение множества натуральных чисел на множество , то счетно.

6. Верно ли, что множество всех -ичных дробей при заданном счетно?

7. Пусть - стационарная последовательность, то есть для нее существует номер такой, что для всех . Докажите, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно.

8. Докажите, что любое количество попарно не пересекающихся плоских множеств, каждое из которых имеет хотя бы одну внутреннюю точку, не более чем счетно.

§3. Мощность множества. Множества мощности континуума

Литература: [1]; гл. I , §§ 4,5.

Задачи § 3 призваны помочь студенту уяснить понятие мощности множества, понятие множества мощности континуума; углубить представление о сравнении мощностей бесконечных множеств; увидеть многие интересные свойства бесконечных множеств.

39. Исходя из определения мощности множества и используя условия задач §§ 1,2, приведите примеры множеств имеющих:

1. одинаковую мощность;

2. мощность a, если = a.

3.40.Приведите примеры множеств, имеющих мощность равную 6.

3.41.Приведите несколько примеров множеств, имеющих мощность континуума c.

3.42. Укажите три бесконечных множества различной мощности.

3.43. Если возможно, приведите пример бесконечного множества:

1. наименьшей мощности;

2. наибольшей мощности;

3. мощность которого больше a, но меньше c.

Ответ поясните.

3.44. Определите мощность множеств:

1. точек кривой , ;

2. точек гиперболы;

3. точек окружности;

4. точек круга;

5. точек квадранта плоскости.

3.45. Выясните, какова мощность множества всех иррациональных чисел, принадлежащих отрезку .

3.46. Докажите, что множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность c.

47. Выясните, какова мощность множества всевозможных последовательностей рациональных чисел.

48. Докажите, что мощность множества всевозможных последовательностей действительных чисел равна c.

49. Докажите, что декартово произведение множеств мощности континуума есть множество мощности континуума.

50. Докажите, что множество точек плоскости имеет мощность континуума.

51. Докажите, что множество точек открытого единичного квадрата имеет мощность континуума.

52. Представим, что где-то имеется гостиница со счетным числом номеров и все ее номера заняты. Можно ли все-таки в эту гостиницу поселить еще одного гостя? Конечное множество гостей? А счетное множество гостей?

53. Представим, что в некотором городе построено счетное множество гостиниц, со счетным числом номеров каждая. Есть ли необходимость работать всем этим гостиницам? Не сможет ли одна из этих гостиниц заменить все?

54. На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Г. Выясните, какую мощность может иметь это множество.

55. Докажите, что на плоскости можно расположить множество мощности континуума попарно не пересекающихся пятерок, но лишь не более чем счетное множество восьмерок.