Дополнительные задания

1. Приведите примеры множеств в пространстве , не имеющих граничных точек.

2. Укажите производное множество открытого круга с выколотым центром.

3. В пространстве постройте множество такое, что .

4. В пространстве постройте множество такое, чтобы множество состояло из наперед заданных точек .

5. Может ли множество, состоящее из изолированных точек, иметь предельные точки?

6. Пусть метрическое пространство состоит из изолированных точек. Выясните, будет ли замкнутым (открытым) всякое множество .

7. Выясните, всегда ли производное множество любого множества замкнуто.

8. Выясните, в каких случаях множество является одновременно замкнутым и открытым.

9. Будет ли открытым множество точек , удовлетворяющих неравенству ( - фиксированное положительное число, - любая фиксированная точка), в любом метрическом пространстве ?

10. Выделим в пространстве множество всех четных и нечетных функций. Будет ли множество замкнутым в ?

§ 6. Сходимость в метрических пространствах

Литература: [2], глава III, § 2.

Задачи этого параграфа позволят студенту усвоить понятие сходимости последовательности точек метрического пространства, понять смысл сходимости в различных метрических пространствах, а также установить взаимосвязь между сходимостью по различным метрикам.

98. Привести примеры сходящихся и расходящихся последовательностей в пространстве .

99. Доказать, пользуясь определением, что в пространстве последовательность является сходящейся к точке .

100. Доказать, пользуясь определением, что в пространстве последовательность является сходящейся к точке .

101. На множестве рациональных чисел расстояние между точками и задается формулой ,

а) доказать, что - метрическое пространство;

б) выяснить смысл сходимости в этом пространстве;

в) выяснить, является ли последовательность сходящейся в этом пространстве;

г) выяснить, является ли последовательность сходящейся в этом пространстве;

д) привести примеры сходящихся и расходящихся последовательностей в пространстве .

98. Доказать, что на множестве точек плоскости функция задает метрику. Выяснить смысл сходимости в полученном пространстве.

99. Дано метрическое пространство , где - множество ограниченных функций на отрезке . Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.

100. На множестве всех числовых последовательностей , таких, что ряд является сходящимся, расстояние между точками и задается формулой .

а) Доказать, что данное множество образует метрическое пространство.

б) Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.

98. Сходятся ли в метрическом пространстве, рассмотренном в предыдущей задаче, к точке следующие последовательности:

а) ;

б);

в) ;

г) .

6.106. Сходятся ли в пространстве к функции следующие функциональные последовательности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

6.107. Докажите, что никакая последовательность точек метрического пространства не может иметь более одного предела.

6.108. Докажите, что

а) если , то ;

б) если и , то .

109. Дано метрическое пространство , где - множество функций, непрерывных на отрезке , и . Выяснить, сходятся ли к функции в заданном метрическом пространстве следующие последовательности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

109. Докажите, что если - граничная точка для множества , то из можно извлечь последовательность точек, сходящуюся к .

110. Докажите, что предел сходящейся последовательности точек из множества является для граничной или внутренней точкой.

111. Докажите, что для того, чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы предел всякой сходящейся последовательности точек из принадлежал .