Дополнительные задания

1. Найдите мощность множества всех последовательностей, не содержащих цифру 1.

2. Какова мощность множества действительных чисел, заключенных между 1 и 2, в десятичном разложении которых отсутствует число 3.

3. На плоскости построено множество непересекающихся синусоид. Может ли это множество быть несчетным?

4. Найдите мощность множества эллипсов на плоскости, оси которых совпадают с осями координат.

5. Докажите, что множество всех непрерывных на отрезке функций имеет мощность континуума.

6. Докажите, что множество всех возрастающих непрерывных на функций имеет мощность континуума.

7. Докажите, что множество всевозможных последовательностей непрерывных на функций имеет мощность континуума.

8. Докажите или опровергните утверждение: если множество E на плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале координат, который содержит несчетное множество точек из Е.

9. Найдите мощность множества всех функций, определенных на отрезке и разрывных хотя бы в одной точке.

§4.Понятие метрического пространства

Литература: [1], глава II, §§ 1-3,

[3], глава VII,§§1,2.

Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить понятия метрики и метрического пространства, свойства метрики; посмотреть на хорошо известные пространства под новым «углом зрения».

56. Пусть M – любое множество. Функция задана на множестве М следующим образом: .

Докажите, что - метрика на множестве M.

56. Пусть М – множество всех населенных пунктов на левом берегу Енисея. Расстояние от пункта х до пункта y будем измерять временем движения теплохода, имеющего собственную скорость 20 км/ч. Образует ли М вместе с введенным таким образом расстоянием метрическое пространство?

57. Пусть метрика на множестве М. Докажите, что для любых чисел x, y, z из М верно неравенство .

58. Докажите, что для любых точек метрического пространства выполняется неравенство многоугольника .

59. Докажите, что для любых точек метрического пространства верно неравенство .

56. Являются ли метриками на множестве R следующие функции:

1. ;

б) ;

в) ;

г) ?

62. Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел R с расстоянием , где функция задана следующим образом:

1. ;

б) ;

в) ;

г) ?

63. Являются ли множество R² метрическим пространством, если расстояние между точками A(x₁,x₂) и B(y₁,y₂) определяется формулой

1. 

б)

в)

г)

63. Выясните, является ли метрикой на множестве функция ,

если , .

63. На множестве задана метрика такая, что . Выясните, какие значения может принимать ?

64. Является ли множество метрическим пространством, если расстояние между точками и определяется формулой

1. ;

б) ;

в) .

63. Будет ли пространство метрическим, если - метрика в этом пространстве, а функция задана следующим образом:?

64. Является ли пространство метрическим, если функция задана следующим образом:

а) ;

б) ;

в) ?

63. Задает ли метрику на пространстве многочленов функция ?

64. Докажите, что множество с расстоянием между точками и , заданным формулой , является метрическим пространством.

65. На окружности можно ввести две функции: расстояние r(A,B) по хорде и расстояние по дуге . Докажите, что обе функции задают метрику. Выразите одну метрику через другую.

66. Выясните, задает ли метрику на множестве непрерывных на отрезке функций формула .