Предисловие

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений педвузов, обучающихся по специальности 032100.00 «Математика» с дополнительной специальностью. Оно содержит задания, призванные помочь студенту глубже усвоить основные вопросы теории и практики дисциплины «Теория функций действительного переменного».

В первых трех параграфах помещены задания к теме «Мощность множества», они помогут студенту уяснить характерные свойства счетных множеств, множеств мощности континуума, а также произвольных бесконечных множеств.

Задания §§ 4-10 связанны с темой «Метрические пространства», в них отражены свойства открытых, замкнутых и компактных множеств, с помощью них выясняется смысл сходимости, непрерывности отображений, полноты метрических пространств, принципа сжимающих отображений.

В последние три параграфа включены задания, относящиеся к теории интеграла и меры Лебега, они будут способствовать сравнению интегралов Римана и Лебега.

Указание на номер параграфа содержится в номере задания. Первое число этого номера (стоящее слева от точки) и означает номер параграфа, число после точки – номер задания в сборнике (здесь нумерация сквозная по всему сборнику, в ответах отмечены только эти номера).

В начале каждого параграфа указана литература (как правило, один из источников библиографического списка), которой студент может воспользоваться при подготовке к занятию; здесь же кратко описано, что могут дать студенту предлагаемые задания.

Ко всем заданиям пособия есть ответы, а к большинству задач приведены указания или даже образцы решения, что поможет преподавателю при организации дифференцированной учебной деятельности студентов.

Каждый параграф завершается дополнительными заданиями, для выполнения которых нет указаний, к ним приведены только ответы. Эти задания несколько сложнее, чем основные в параграфах, они предназначены для организации самостоятельной работы тех студентов, которые проявляют интерес и желают увеличить необходимое для себя число упражнений.

§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества

Литература: [1], глава I, § 2.

Основной целью задач §1 является выяснение вопроса о том, задает ли данная функция взаимно однозначное соответствие между данными множествами, или установление взаимно однозначного соответствия между двумя заданными множествами (с помощью указания соответствующей функции или геометрических построений). По существу при решении приведенных задач идет поиск ответа на вопрос об эквивалентности заданных множеств.

Кроме того, большинство приведенных задач должно подготовить студента к пониманию определения бесконечного множества, которое вводится в теме §2.

1. Выясните, устанавливает ли функция взаимно однозначное соответствие между множествами:

а) точек отрезков и ;

б) точек отрезков и ;

в) и .

2. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством нечетных отрицательных чисел. Задачу решите не менее, чем двумя способами.

3. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех нечетных чисел.

Задачу решите не менее, чем двумя способами.

4. Выясните, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, дающих при делении на в остатке .

5. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством всех положительных рациональных чисел и множеством натуральных чисел .

Укажите не менее двух способов решения задачи.

6. Постройте взаимно однозначное отображение отрезка на отрезок .

7. Постройте взаимно однозначное отображение интервала на:

а) интервал ;

б) на всю числовую прямую;

в) на открытый луч .

8. Постройте взаимно однозначное отображение открытого луча на всю числовую прямую.

9. Докажите, что функция , где , осуществляет взаимно однозначное соответствие между отрезками и .

10. Существует ли непрерывная функция, с помощью которой можно установить взаимно однозначное соответствие между отрезком и всей числовой прямой?

11. Существует ли непрерывная функция, с помощью которой можно установить взаимно однозначное соответствие между отрезком и множеством, представляющим собой объединение двух отрезков и ?

12. Каждому квадратному уравнению ( - положительные числа) ставится в соответствие его положительный корень. Выясните, является ли соответствие взаимно однозначным.

13. - множество всех окружностей на плоскости, - множество всех точек плоскости. Каждой окружности ставится в соответствие ее центр. Будет ли соответствие взаимно однозначным?

14. - множество всех квадратов на плоскости, - множество всех окружностей на плоскости. Каждому квадрату ставится в соответствие вписанная в него окружность. Будет ли соответствие взаимно однозначным?

15. Постройте взаимно однозначное отображение:

а) окружности радиуса на окружность радиуса ;

б) круга радиуса на круг радиуса .

Найдите различные способы решения задач.

16. На плоскости заданы две окружности, радиусы которых различны и центры не совпадают. Постройте взаимно однозначное отображение одной окружности на другую.

17. Выясните, можно ли между произвольной окружностью и контуром произвольного треугольника установить взаимно однозначное соответствие.

18. Постройте взаимно однозначное отображение:

а) интервала на отрезок ;

б) отрезка на полуинтервал ;

в) полуинтервала на замкнутый луч .

19. Придумайте примеры множеств, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ответ поясните.

1. Приведите примеры эквивалентных множеств.

2. Студент, решая вопрос о том эквивалентны ли множества точек отрезков и , ввел в рассмотрение функцию . Заметив, что полученное отображение не является взаимно однозначным (поясните, почему?), он сделал вывод, что эти отрезки не эквивалентны. Верен ли вывод студента?