- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Пусть К – множество всех кривых Г, изображающих реки на данной карте. Определим расстояние между реками как длину самого короткого отрезка соединяющего кривые (реки). Определите, является ли данное множество с введенным на нем таким образом расстоянием метрическим пространством.
-
Пусть Мn – множество всевозможных n буквенных слов, составленных из букв русского алфавита. Назовем расстоянием между словами x и y количество позиций, на которых у слов стоят разные буквы. Докажите, что построенное пространство является метрическим.
-
Проверьте, что множество полей шахматной доски образует метрическое пространство, если за расстояние от одного поля до другого принять наименьшее число ходов, которое потребуется королю, чтобы перейти с первого поля на второе. Докажите это утверждение, заменив короля ладьей, конем.
-
Является ли метрическим пространство всех прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если расстояние между двумя прямыми ; , где , определить по формуле ?
-
Пусть функция определена и возрастает на промежутке , равна нулю в точке x=0, причем для любого и из . Докажите, что если - метрика на некотором множестве A, то также является метрикой на том же множестве A.
-
Пусть метрики на множестве M. Докажите, что для любых положительных чисел функция также является метрикой на множестве M.
-
Пусть на множестве M задана последовательность метрик и пусть последовательность положительных чисел. Докажите, что если ряд сходится для любой пары элементов x,y из M, тогда его сумма является метрикой на множестве M.
-
Пусть A – какое-либо множество с заданным в нем расстоянием ; пусть некоторое подмножество Е множества А оказалось метрическим пространством с расстоянием . Можно ли утверждать, что и множество А является метрическим пространством?
-
Выясните, будет ли метрическим пространством множество , точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел , для которых , если метрику задать формулой .
-
Выясните, будет ли метрическим пространством множество , точками которого являются всевозможные последовательности действительных чисел , для которых , если метрику задать формулой .
§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
Литература: [1], глава II, §§ 1-3.
Задачи этого параграфа помогут студенту глубже усвоить классификацию точек метрического пространства по отношению к данному множеству, а также классификацию самих множеств в метрических пространствах; понять те соотношения, в которых находятся множества.
Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §3, что позволит студенту посмотреть на свойства бесконечных множеств с разных точек зрения.
-
Верно ли, что в пространстве :
а) - предельная точка отрезка ;
б) - предельная точка интервала ;
в) - предельная точка множества ;
г) - предельная точка множества ?
-
Приведите пример множества в пространстве , у которого:
а) - предельная точка, и оно содержит ее;
б) - предельная точка, но оно не содержит ее;
в) все точки – предельные;
г) - изолированная точка;
д) все точки – изолированные;
е) изолированных точек нет.
-
В пространстве заданы множества:
Укажите для каждого из них множество его предельных точек (производное множество ). Являются ли данные множества замкнутыми? Какие из перечисленных множеств совершенны?
-
Постройте в пространстве множество , для которого:
а) ; б) ; в) .
-
Выясните, будет ли замкнутым в любом метрическом пространстве конечное множество точек .
-
Выясните, является ли замкнутым множеством область определения функции: а) ; б) .
-
Выясните, является ли замкнутым множество значений функции: а) ; б) .
-
В пространстве заданы множества:
.
Постройте эти множества.
Укажите для каждого из них производное множество.
Являются ли данные множества: а) замкнутыми; б) совершенными?
-
Является ли замкнутой в область определения функции ?
-
Является ли замкнутым в пространстве множество точек с положительными координатами?
-
Выясните, будет ли замкнутым в пространстве множество , состоящее из точек, все координаты которых рациональные числа.
-
На множестве рациональных чисел введем метрику . Будут ли в полученном пространстве замкнутыми следующие множества:
а) ; б) ; в) ;
г) ?
-
Пусть . Выясните, будут ли истинными следующие высказывания:
а) если множество содержит хотя бы одну свою предельную точку, то оно имеет мощность континуума ();
б) если мнлжество замкнуто, то оно имеет мощность континуума;
в) если множество имеет мощность континуума, то оно замкнуто.
-
Докажите, что всякое линейное непустое совершенное множество, содержащее некоторый отрезок, имеет мощность континуума.
-
Выясните, может ли множество предельных точек счетного множества иметь мощность континуума.
-
В пространстве даны множества:
Укажите для каждого из них множество внутренних точек (), граничных () и внешних.
-
Докажите, что точка является внутренней точкой множества значений функции .
-
Какие из множеств задачи 16 являются открытыми?
-
Приведите примеры множеств в пространстве , которые: а) являются открытыми и замкнутыми одновременно; б) не являются ни открытыми, ни замкнутыми.
-
Является ли открытым множеством любой интервал в пространстве: а) ; б) ?
-
Приведите пример: а) объединения бесконечного множества замкнутых множеств, которое замкнутым множеством не является; б) пересечения бесконечного множества открытых множеств, которое открытым не является.
-
Докажите, что любой открытый шар в любом метрическом пространстве - открытое множество.
-
Докажите, что множество функций из пространства , удовлетворяющих на отрезке неравенству , где - некоторые фиксированные числа, открыто.
-
Пусть - множество функций пространства таких, что для . Внутренней, граничной или внешней точкой для является функция: а) ; б) ; в) ?
-
Пусть . Истинны или ложны следующие высказывания:
а) если хотя бы одна точка множества является его внутренней точкой, то оно имеет мощность континуума;
б) если , то - открытое множество;
в) если , то хотя бы одна его точка является внутренней?