Дополнительные задания

1. Пусть соотношение означает: a) отец ; б) сын ; в) дедушка ; г) старшая дочь . В каких случаях является функцией?

2. Задайте какое-либо отображение и найдите: а) образ точки А(2;-1); б) прообраз точки В(-1;0;1).

3. Задайте какое-либо отображение и найдите: а) образ точки ; б) какую-либо точку из прообраза точки (1;1).

4. Докажите, что отображение , заданное формулой , непрерывно.

5. Выясните, будет ли непрерывным отображение , заданное формулой .

6. Выясните, будет ли непрерывным отображение , заданное формулой .

7. Проверьте, является ли непрерывным функционал , заданный формулой .

8. Пусть Е – подпространство непрерывно-дифференцируемых функций пространства . Функционал задан формулой . Является ли этот функционал непрерывным на Е?

9. Пусть - взаимно однозначное непрерывное отображение множества Е метрического пространства на множество метрического пространства . Обязано ли обратное отображение на Е быть непрерывным? Если да – докажите, если нет – приведите противоречащий пример.

10. Пусть - взаимно однозначное непрерывное отображение множества Е на множество . Докажите, что если Е не имеет изолированных точек, то также не имеет изолированных точек.

§ 8. Компактные множества в метрических пространствах

Литература: [1], глава XVIII, §§ 2, 3.

Задачи данного параграфа дают возможность студенту уяснить смысл понятия компактного множества; составить более ясное представление о свойствах компактных множеств.

В этом параграфе будем пользоваться следующим определением:

метрическое пространство называется компактным (или компактом), если из любой последовательности точек пространства можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого же пространства.

133. Пользуясь определением, докажите, что пространство R¹ не компактно.

134. Докажите, что любой компакт замкнут в любом метрическом пространстве.

135. Докажите, что любой компакт M ограничен.

136. Докажите, что луч не компактен.

137. Докажите, используя определение компактного множества, что всякое замкнутое подмножество компактного множества компактно.

138. Среди перечисленных укажите множества, являющиеся и не являющиеся компактными в данных пространствах:

1. в R¹;

2. E₂ = в R²;

3. в R²;

4. в R²;

5. в R²;

6. в R³;

7. в R³;

8. в R³.

133. Докажите, пользуясь определением, что пространство Rⁿ не компактно.

134. Приведите самостоятельно примеры компактных и некомпактных множеств в пространствах R², R³ .

135. Докажите, что пространство не является компактным.

136. Выясните, является ли пересечение двух компактов компактом.

137. Выясните, является ли объединение двух компактов компактом.

138. Докажите или опровергните утверждение: объединение любого множества компактов есть компакт.

139. Можно ли из отрезка в пространстве R¹ удалить точку так, чтобы оставшееся множество было компактом?

140. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы после удаления из компакта одной точки из множества оставшееся множество было компактным.

141. Выясните, является ли компактным ограниченное множество в метрическом пространстве , где .

142. Докажите, что при непрерывном отображении образ компакта есть компакт.