- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Докажите, что если последовательность точек метрического пространства сходится к точке , то любая ее подпоследовательность сходится к той же точке .
-
Верно ли, что множество значений сходящейся последовательности точек любого метрического пространства является ограниченным множеством.
-
На множестве точек -мерного пространства , расстояние между точками и задается формулой . Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.
-
Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке отрезка , но расходящейся в пространстве непрерывных на отрезке функций с метрикой .
-
На множестве всех ограниченных числовых последовательностей расстояние между точками и задается формулой . Докажите, что из сходимости по метрике этого пространства вытекает покоординатная сходимость. Верно ли обратное утверждение?
-
Докажите, что сходимость в пространстве всех числовых последовательностей с метрикой равносильна покоординатной сходимости.
-
Приведите пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в функциональном пространстве с метрикой , но расходящейся в каждой точке отрезка .
-
В пространстве, описанном в задаче 6.104, задана последовательность . Является ли эта последовательность сходящейся в данном пространстве? Если да, то к какой точке?
-
Приведите пример последовательности функций, принадлежащих пространству , сходящейся в пространстве , но расходящейся в пространстве .
§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
Литература: [1], глава VIII, § 2, глава IX, § 3.
Задачи § 7 способствуют более глубокому усвоению таких основных понятий теории функций, как отображение и непрерывность отображения. Студент должен увидеть, что эти понятия являются распространением известных ему понятий числовой функции и ее непрерывности на случай произвольных метрических пространств. Геометрические образы рассматриваемых понятий помогут ему яснее представить структуру определений.
-
Приведите примеры отображений:
а) ; б) ; в) .
-
Является ли отображением соответствие, заданное уравнением
, если:
а) ;
б) ?
-
Отображение задано формулой . Найдите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
-
Для отображения , заданного формулой , найдите: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
-
Для функционала , заданного формулой , найдите:
а) образ окружности ; б) ; в) прообраз луча .
-
Для функционала , заданного формулой , найдите:
а) образ точки ; б) прообраз луча .
-
Задано отображение пространства в себя. Найдите: а) образ точки ; б) прообраз точки ; в) образ прямой ; г) прообраз оси абсцисс.
-
Задайте какое-либо отображение и найдите: а) образ точки 1; б) прообраз точки (5;7).
-
Функционал задан формулой . Найдите:
а) образ точки ;
б) какую-либо точку из прообраза точки 3.
-
Функционал задан формулой . Найдите:
а) ; б) какие-либо две точки из прообраза .
-
Установите, существует ли значение , при котором отображение , заданное формулами непрерывно.
Сделайте чертеж.
-
Установите, существуют ли значения и , при которых отображение , заданное формулами непрерывно.
Сделайте чертеж.
-
Функционал задан формулой . Пользуясь определением непрерывности в точке по Гейне, докажите, что он непрерывен в пространстве .
-
Функционал задан формулой . Пользуясь определением непрерывности в точке по Коши, докажите, что он непрерывен в пространстве .
-
Функционал задан формулой , где точка - некоторые заданные числа (). Докажите, что он непрерывен в пространстве .
-
Функционал задан формулой ( - метрическое пространство всех непрерывных на отрезке функций, где за расстояние между функциями и принято число ). Выясните, является ли данный функционал непрерывным в точке .
-
Отображение подпространства , состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство задано формулой . Выясните, является ли это отображение непрерывным в точке .
-
Верно ли, что при непрерывном отображении образ открытого множества является открытым множеством?
-
Верно ли, что при непрерывном отображении образ замкнутого множества является замкнутым множеством?
-
С помощью теоремы о необходимом и достаточном условии непрерывности отображения одного метрического пространства в другое, докажите, что множество , определяемое неравенством , открыто.