- •Предисловие
- •§ 1. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества
- •Дополнительные задания
- •§ 2. Счетные множества
- •Дополнительные задания
- •§3. Мощность множества. Множества мощности континуума
- •Дополнительные задания
- •§4.Понятие метрического пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 5. Замкнутые и открытые множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 6. Сходимость в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§ 11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
- •§ 13. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Дополнительные задания
Дополнительные задания
-
Будет ли взаимно однозначным отображение отрезков и , осуществляемое функцией
а) ; б) ?
-
Дан прямоугольный треугольник ABC. Выясните, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек гипотенузы AB и а) множеством точек катета BC; б) множеством точек катета AC.
-
Можно ли утверждать, что множество точек окружности , эквивалентно множеству точек оси OX?
-
Можно ли построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок ?
-
Выясните, эквивалентны ли множество точек окружности и множество точек ее диаметра.
-
Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок на интервал ?
-
Выясните, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между множеством A нечетных функций и множеством B четных функций, графики которых проходят через начало координат.
-
Будут ли эквивалентны множество C возрастающих функций и множество D убывающих функций?
-
Существует ли функция вида , где коэффициенты - целые числа, обладающая следующим свойством: для любого рационального числа найдется целое число , такое, что ?
-
Докажите «теорему о промежуточном множестве»: если и
A C, то A B (и B C ).
-
Докажите теорему Кантора-Бернштейна: если множество эквивалентно некоторому подмножеству , а множество эквивалентно некоторому подмножеству , то A B.
-
Выясните, можно ли с помощью теоремы Кантора-Бернштейна установить, что множество точек произвольного интервала и множество точек произвольного отрезка эквивалентны.
§ 2. Счетные множества
Литература: [1], глава I, § 3.
Целью задач §2 является выяснение факта: являются ли данные множества счетными. При этом можно использовать как само определение счетного множества, так и свойства счетных множеств, если нет специального указания на определение.
-
Приведите примеры счетных множеств, опираясь на условия задач § 1.
-
Пользуясь определением, выясните, является ли счетным:
а) множество кубов натуральных чисел;
б) множество целых чисел, делящихся на 7;
в) множество ;
г) множество простых чисел.
-
Выясните, является ли счетным:
-
множество целых отрицательных чисел;
б) множество рациональных чисел интервала ;
в) множество алгебраических чисел отрезка ;
г) множество всех конечных десятичных дробей;
д) множество иррациональных чисел интервала ;
е) множество всех многочленов, коэффициентами которых служат алгебраические числа;
ж) множество рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе.
-
Пользуясь определением, докажите, что множество точек плоскости, обе координаты которых целые числа, является счетным.
-
Докажите, что множество точек плоскости, абсцисса которых – четное число, а ордината – нечетное число, является счетным.
-
Выясните, будет ли счетным множество точек плоскости с рациональными координатами.
-
Докажите, что бесконечное множество попарно непересекающихся интервалов на прямой счетно. А что можно сказать о множестве, представляющем собой произвольный набор попарно непересекающихся интервалов на прямой?
-
Пусть - счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть это множество на величину (то есть заменить все точки точками ) так, чтобы получившееся в результате сдвига множество не пересекалось с ?
-
Пусть - счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол так, чтобы множество , получившееся из в результате поворота, не пересекалось с ?
-
Докажите, что если расстояние между любыми двумя точками множества на прямой больше единицы, то множество не более чем счетно.
-
Выясните, будет ли счетным множество точек плоскости, если расстояние между любыми двумя его точками больше, чем (где - данное положительное число).
-
Пусть - счетные множества. Покажите, что при любом натуральном множество счетно.
-
Выясните, будет ли счетным множество чисел вида , где и - натуральные числа.
-
Выясните, будет ли счетным множество:
а) окружностей на плоскости с рациональными длинами радиусов и координатами центра;
б) треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты;
в) параллелограммов на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты
-
На плоскости построено некоторое множество попарно непересекающихся букв (размеры этих букв могут быть различными). Может ли множество этих букв быть несчетным?
-
Докажите, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке , не более чем счетно.
-
Выясните, каким будет множество точек разрыва монотонной функции, определенной на всей числовой прямой.