4.2 Fonctions linéaires et fonctions affines
Mots à retenir
une fonction linéaire(прямая пропорциональность)
une fonction affine(линейная функция)
croissant(возрастающий) décoissant(убывающий) constant(постоянный)
un coefficient directeur (угловой коэффициент прямой)
faire correspondre(ставить в соответствие)
Définition
Le processus qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre ax (où a est un nombre fixé) est appelé fonction linéaire.
Le nombre f(x) est l’image de x par la fonction f. On le note f(x) = ax.
Remarque : une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire.
Par exemple:
La fonction f qui, à un nombre x, fait correspondre son double est une fonction linéaire. Donc f(x) = 2x. L’image de -3 par f est notée f(-3). On a
Donc
l’image de -3 est -6.
Définition
Le processus qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre ax + b (où a et b sont des nombres fixés) est appelé fonction affine.
Le nombre f(x) est l’image de x par la fonction f. On le note f(x) = ax + b.
Par exemple:
La fonction f qui, à un nombre x, associe son triple augmenté de 5 est une fonction affine. On note f(x) = 3x + 5.
Cas particuliers :
1) une fonction linéaire définie par f(x) = ax est une fonction affine telle que
b = 0 ;
2) une fonction constante définie par f(x) = b est une fonction affine telle que
a = 0.
La représentation graphique d’une fonction affine telle que f(x) = ax + b est formée de l’ensemble des points de coordonnées (x;y) tels que y= ax + b.
-
C’est une droite d'équation y = ax + b .
-
a s’appelle le coefficient directeur de la droite.
-
b s’appelle l’ordonnée à origine. b est l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec l’axe des ordonnées.
Par exemple:
Représenter la fonction f telle que f(x) = 0,5x + 3 dans un repère orthogonal.
f est une fonction affine, sa représentation
graphique est une droite. Il suffit de
calculer les coordonnées de deux points.
Si
x = 0,
donc
N(0 ; 3) appartient à la représentation
graphique de f.
Si
x = 4,
donc
P(4 ; 5) appartient à la représentation
graphique de f.
La fonction f est représentée par la droite (NP).
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. C’est un cas particulier de la représentation graphique d’une fonction affine : il suffit de calculer les coordonnées d’un seul point autre que le point (0 ; 0).
Définitions
1) Une fonction est croissante signifie que si x croît alors f(x) croît aussi.
2) Une fonction est décroissante signifie que si x croît alors f(x) décroît.
Propriété
Si
a
est positif,
f
est croissante ;
si a
est
négatif,
f
est décroissante.
Méthode 1 : déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine connaissant deux points
-
On connaît la forme générale les fonctions affines : f(x) = ax + b.
-
On calcule a et b en utilisant les coordonnées deux points donnés.
-
On conclut.
Par exemple:
Soit f une fonction affine. Les points M(4 ; 5) et N(6 ; 9) appartiennent à la représentation graphique de f. Déterminer l’expression algébrique de f.
Comme f est une fonction affine, on a f(x) = ax + b. M(4 ; 5) et N(6 ; 9) appartiennent à la représentation graphique de f donc f(4) = 5 et f(6) = 9.
Donc f(x) = 2x-3.
Méthode 2 :démontrer que trois points sont alignés
-
On utilise deux des points pour déterminer la fonction affine dont la représentation passe par ces points.
-
On vérifie par le calcul que le troisième point appartient à la représentation de f.
-
On conclut.
Par exemple:
Soit les points M(4 ; 5) ; N(6 ; 9) ; P(28 ; 53). Démontrer que M, N et P sont alignés.
On calcule l’expression algébrique de la fonction affine passe par M et N. On trouve (voir méthode 1) f(x) = 2x-3. On a P(28 ; 53).
C’est
l’ordonnée de P. Donc P(28 ; 53) appartient à la droite
(MN).
Donc les points M, N et P sont alignés.