25. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

Сначала рассматривается наиболее простая схема опыта – полностью случайный план эксперимента. Далее изучается влияние на значение признака х только одного фактора. Затем разбиваются результаты наблюдений на P групп (выборок), различающихся между собой по уровню фактора. Количество элементов в группах может быть различным, поэтому следует обозначить число наблюдений в j группе (j=1, 2, …., p) через nj.

Значение признака в j группе обозначается через xij (где i=1,2,…,nj) i порядке номер наблюдений в j группе.

Для выполнения дисперсионного анализа необходимо определить 2 дисперсии:

1) межгрупповая (дисперсия групповых средний; обусловленная влиянием изучаемого фактора;

2) внутригрупповая, величина которой рассматривается как случайная;

Введем обозначения:

Тогда разложение можно представить виде:

Q0=Q1+Q2, где

Q0- общая сумма квадратов отклонений

Q1 – сумма квадратов отклонений от групповых средних или сумма квадратов остаточных отклонений

Q2 - взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней

Для получения несмещенных оценок дисперсии необходимо каждую сумму квадратов разделить на число степеней свободы.

Пусть V0 – число степеней свободы, учитываются при расчете общей дисперсии.

V1 – число степеней свободы при расчете внутригрупповой дисперсии.

V2 – число степеней свободы при расчете межгрупповой дисперсии.

При расчете несмещенной оценки дисперсии число степеней свободы равно N-1,так как одна степень свободы теряется при определении средней величины. Тогда:V0= N-1, V1=N-P, так как используется P групповых V2=P-1, так как групповые средние варьируют вокруг одной общей величины.

В итоге V1+V2=N-p+p-1=N-1=V0.

Используя полученные значения сумм квадратов и чисел степей свободы, можно рассчитать несмещенные оценки

S₀²=Q0/(N-1)

S₁²=Q1/(N-P)

S₂²=Q2/(P-1)

Если P групп на которые разбита вся совокупность результатов наблюдений, соответствуют P уровням воздействующего фактора, то:

остаточная дисперсия).

S₂²- характеризует рассеяние групповых средних – систем аттическая вариация.

26 Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам

Предположим, что необходимо определить и решить задачу: проверить различия в урожайности нескольких сортов с/х культур, если все участки земли по плодородию примерно одинаковы, то лучше всего прибегнуть к полностью случайному плану размещения сортов по участникам. На практике участки чаще всего различают между собой, что будет вызывать дополнительный разброс в экспериментальных данных.

Для устранения влияния неоднородности выделенную для эксперимента площадь делят на участки, которые называются блоками, с примерно одинаковым качеством земли в пределах каждого блока. Затем каждый блок делят на столько делянок, сколько испытывается сортов культуры. Распределение сортов по делянкам производится в случайном порядке. Такой метод планирования эксперимента называется метод случайных блоков. В отличие от случайного плана числа единиц наблюдения, для каждого уровня фактора должно быть одинаково:

n1=n2=….=nj=…=np=n

Модель экспериментального результата в этом случае можно записать:

Xij=+Li+Bj+Eij, где