10. Закон сохранения энергии в механике

Рассмотрим с-му n мат. точек. Пусть m_i, v_iсоответственно масса и скорость. Пусть на i-ю точку со стороны k-ой действует внутренняя консервативная сила f_ik. Пусть F_i - равнодействующая внешних консервативных сил, и F_i^* - это равнод-я внешних неконсервативных сил на i-ю точку.

По 2-му закону Ньютона имеем ур-е дв-я с-мы:

Умножим обе части ур-я (1) на выр-е v_idt=dr_i, и просуммируем по всем точкам с-мы:

Выр-е слева в ф-ле (2) – это и есть изменение E_k. 1-е слагаемое справа в (2) есть работа внутр. консервативных сил и она равна убыли E_p взаимодействия:

2-е слагаемое в (2) есть работа внеш. консерват. сил и она равна убыли E_p c-мы во внешнем поле с-мы. Последнее слагаемое в (2) есть работа на с-мой внеш. неконсерв. сил. С учетом вышесказанного:

Пусть внешних сил нет:

d()=0

– закон сохранения энергии (зсэ)

Полная мех. энергия замкнутой консерват. с-мы тел, на кот. действуют лишь консерв. силы, остается постоянной. ЗСЭ – общефизический закон.

ЗСЭ связан с однородностью времени, т.е. симметрии по отношению к сдвигу времени. Однородность времени не означает независимость закона физ. явлений от выбора начала отсчета времени. Такая инвариантность относительно сдвига времени означает ненаблюдаемость абсол. времени.

11О. Закон сохранения момента импульса.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Z, тогда элементарная работа всех внешних сил равна приращению Е_К вращающегося тела (по з-ну сохранения Е), т.е.:

dA = dE_K

dA = M_Z*dφ

E_K= I_z*ω²/2 ; I_z = const

M_Z*dφ = I_z*ωdω || : dt

M_Z*(dφ/ dt) = I_z*ω(dω/dt)

M_Z = I_z*(dω/dt)

M_Z= d(I_z*ω)/dt

M_Z= dL_Z/dt

Пусть внешних сил нет, тогда M_Z= 0, поскольку моменты внутренних сил (3-ий з-н Ньютона) взаимно скомпенсированы :

M_Z= 0 ; dL_Z/dt = 0 ; L_Z = const (з-н сохранения момента импульса).

Суммарный момент импульсов замкнутой системы тел (частиц) сохраняется.

I₁*ω₁ = I₂*ω₂

З-н сохранения импульса связан с изотропностью пространства, т.е. симметричностью пространства, означает равноправие всех пространственных направлений.

Поворот в изотропной системе пространства как целого не меняет свойств системы и з-нов её движения.

12О. Движение тела переменной массы.

Получим уравнение движения ракеты (уравнение Мещерского):

Масса ракеты m меняется со временем. Пусть момент времени t, скорость и масса m. По истечении времени dt, масса ракеты уменьшится и станет (m - dm), где dm – масса сгоревшего топлива, скорость возрастёт и станет , _отн– скорость истекающе-сгорающего топлива относительно ракеты.