22. Одномерное волновое ур-е. Энергия волны.

Распределение волн в однородной изотропной среде опис-ся волновым ур-ем, представляющим собой диф. ур-е в частных производных. Это ур-е имеет вид:

В одномерном случае это ур-е имеет вид:

Получим (1) в 1-омерном случае. Для этого найдем 1-ю и 2-ю частные производные по координате и по времени от ур. волны.

Из ф-л (2) и (3) вытекает:

;

;

Реш-ем волнового ур-я (4) явл-ся ур-е волны

Рассм-м энергию бегущей волны. Пусть плоская бегущая одномерная волна распространяется вдоль оси х :

Рассм-м небольшой объем среды, тогда

т.к объем dV малый, то все частицы кол-ся в 1-ой фазе и с одинаковой ν:

Можно показать, что E_p=E_k

Объемная плотность энергии волны в упругой среде – это энергия 1-цы объема;

Средняя энергия, переносимая волной:

Из ф-лы (1) вытекает, что интенсивность пропорциональна А²:

Ι~A² I~ω²

23. Распространение волн в средах с дисперсией. Групповая скорость, ее связь с фазовой скоростью.

Если волновое ур-е линейное, т.е. смещение и его производная ходят в нулевой или 1-ой степени, и среда тоже линейная, т.е. ее cв-ва меняются при распространении возмущений при прохождении волны, то к волнам применим принцип суперпозиции: «каждая волна распр-ся в среде, как если бы другие волны отсутствовали, и результ. смещение частиц среды равно геом. сумме смещений, обуслов. каждой из волн». По принципу суперпозиции любую реальную волну можно представить как совокупность синусоидальных волн, т.е. в виде волнового пакета. Это достигается разложением в ряды Фурье. Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающих огромною область пр-ва в каждый момент времени.

В недиспергирующей среде все плоские волны распр-ся с 1-ой скоростью v и форма волнового пакета не меняется. В дисперсной среде, когда фазовая скорость v не зависит от частоты, пакет со временем расплывается. Рассм-м волновой пакет только из 2-х распростр. вдоль оси х волн с одинак. амплитудами, близкими частотами и близкими волновыми числами с нулевыми нач. фазами.

Центром волнового пакета будем называть положение максимума амплитуды в.п., тогда скорость перемещения центра волнового пакета наз-ся групповой скоростью u. Имеем max амплитуды, если

Координата центра пакета будет равна:

Скорость перемещения центра в.п., т.е. групп. скорость u будет равна:

Найдем связь между групповой и фазовой скоростью: – фазовая

В зависимости от (>,< 0) групп. скорость может быть больше или меньше фазовой.

24. Стоячие волны

Согласованное протекание во времени несколь-ких колеб. или волновых процессов связывают с понятием когерентности, согласованности, корреляции, кооперативности. Волны когерентны, если разность их фаз постоянна во времени. Когерентными могут быть лишь волны одинак. частоты. Интерференция волн – это явление усиления или ослабления результ. волны при наложении 2-х когерентных волн, при этом колебания должны происходить вдоль 1-ой прямой и в 1-ой плоскости. Стоячая волна – это результат интерференции 2-х волн. Стоячая волна обр-ся при наложении 2-х бегущих синусоидольных волн, распр. на встречу друг другу и с одинак. частотами. Получим ур-е стоячей волны: