Ситникова Математика Ч. 1 для менедж

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 5 1 (− 3)+ (− 2) (− 4) 6 + 3 0 1 −1 1 6 − 3 (− 2) (− 3)−

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

24.24 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВОСЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

Федеральноегосударствеобразовательноебюджетучрн ждение высшегопрофессиональногообразования

«Вятскаягосударственнаясельскохозяйственнаяакадемия» Кафедраматематики ифизики

И.В. Ситникова, О.В.Черник

МАТЕМАТИКА Часть1

Учебноепособие

КИРОВ201 4

		2
УДК517.2
ББК22.161.11
СитниковаИ.В.,	Черник О.В.	Математика.Часть1	:Учебноеп		особие. – Киров:
Вятская ГСХА, 2014.	– 83 с.
Рецензенты:	кандидатфизико	-математическихнаук		,
	доценткафедрыматематики		ифизики	ВятскойГСХА
	ФарафоновВ.Г.;
	кандидатфизико	-математическихнаук		,
	доценткафедры	информационныхтех		нологий в
	экономикеВ	ятГГУ РяттельА.В.

Учебноепособиерассмотутвеметодичержденок мисскойие
инженерногофакультетаВятскгосударственнойсельскохозяйственной
академиип(	рот№6откол7.04.14	).

Пособие содержит оснпо,вныеформулыняитияоремыпервойчастикурса
математики,приметиповыхзадачсрешением,практическиеупражнения
дляаудиторнойсамостоярабостудентов. ыельной		Учебноепособие
предназначеноля	бакалавровнаправлений0802	00 «Менеджмент», 100700
«Торговоедело»испециалистовнаправления080101Экономическая«
безопасн»очнзаочнойи ф стьбучениярм		.

©ФГБОУВПОВятскаяГСХА, 2014 © СитниковаИрВикторовна,ЧерникОльгаВладимировна, 2014

РАЗДЕЛІ.ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА

Матрицы.Алгебмат ица
Матрица			–		прямоугольнаятаблица,составленнаяиз					m × n чисел,
расположенныхв			m строкахи				n столбцах.Обознматрицычаютглавными
буквамилатинсалфавитауказогоеер ниНапримерзм. ерности:
	a		a		... a		… a
		11		12		1 j	1n
	a21		a22		… a2 j		... a2n
	!!!!!!!!!!!
Am×n =	ai1		ai 2		… aij		… ain		,
	ai1		ai 2		… aij		… ain
	!!!!!!!!!!!
	!!!!!!!!!!!
a		m1	a	m2	... a	mj	… a
		m1		m2		mj		mn

где aij – элементыматрицы

столбца.

Матрица,содержащаяоднусрилиодинкустолбец, азывается (иливектором -строкой,иливектором



B = (b b ... b );		A =
1×n	1 2 n	m×1

А, i = 1,2,..., m – номерстроки,

j = 1,2,...,n – номер

вектором

-столбцом). Ихвид:

a2 .

! am

Матрицу,количествостроккоторравноколичествустолбцовй(	m=n),
называют квадратнойпорядка	n.

... a

… a

1 j

a21

a22

… a2 j

... a2n

!!!!!!!!!!!

An×n =

ai1

ai 2

… aij

… ain

!!!!!!!!!!!

... a

… a

Элементыквадратнойматрицы,имеющравн,адексыименно

главнойдиагонали

a11 , a22 ,…, ann ,называютсяэлементами

Квадратнаяматрица,укоторойвсеэлементы,кромеглавновй

диагональной.

диаго,равнулю, азываетсяли

− 4

Например,

					4
Диагональнуюматрицу,которойкаждыйэлементглав						нойдиагонали
равенединице,называют				единичной.	Обозначаютеебуквой	Е. Например,
1		0	0
	0	1	0	– единичнаяматрицатретьегопорядка.
Е3×3 =	0	1	0	– единичнаяматрицатретьегопорядка.
	0	0	1
	0	0	1

Матрица,всеэлемекоторойравнулюты, азывается						нулевой.
Матр,состоящаяиоднзцачисла, гождествля					етсяэтимчислом.
Двематрицыназываются		равными,		еслиониимеютодинаковую
размерностьиихсоответствующиеэлемерав. нты
Сложение матриц.		Операциясложенвводитсяматртолькодляц
матрицодинаковыхразмеров.		А и В называетсям	атрица С,
Суммойдвухматриц		А и В называетсям	атрица С,		имеющаятежеразмеры,
чтоислагма,каждкоторойтрицыемыеэл ментравенсумме		А и В.
соответствующихэлементовматриц		А и В.		2 3 0		3 3 − 1
Пример.	Найтисуммуматриц			2 3 0		3 3 − 1
Пример.	Найтисуммуматриц	А+В ,если A =			,	B =		.
				− 1 4			4 6
				− 1 4	− 2	1 −	4 6

Решение.		2 3 0		3 3 − 1			5 6 − 1
Решение.	A + B =			+		=		.
		− 1 4 −	2		− 4 6		0 0 4
		− 1 4 −	2	1	− 4 6		0 0 4

Умножение матрицы начисло.

Произведениемматрицы

А начисло k

называетсяматрица

С,

имеющаятужеразмерность,чтоматрица

k насоответствующийэлемент

А,каждый

элементкоторавенпроизведениюйчисла

исходнойматрицы.

− 1 3

Пример.

Наймат3рицу

А,если

А =

− 1

− 3

Решение.

3А

= 3

Вычитание матриц.

Разностьматриц

можнопределитьследующим

образом:

A − B = A + (−1)B.

Произведениематриц.

Операцияумноженвводитсядвухматртолькоц

дляслу,когдачислоаястолбцпервмноравногожчислутеля

строк

втормно. гожителя

(

)

= (

)

Произведениемматрицы

наматрицу

называется

C = (cik )m×p

A = aij m×n

b jk

n×p

такматрицая

,укоторойэлемент

i-йстроки

k-гостолбцаравен

суммепроизведенийэлементов

i-йстрокиматрицы

А насоответствующие

элементы k-гостолбцаматрицы

В.

Пример.

a a				a					b		b	a b
a a				a						11	12	a b
	11	12			13								11 11
a	21	a	22		a	23		b21			b22 = a b
	21		22			23			b		b		21 11
										31	32
Пример.				Дано:						1	3		1
Пример.				Дано:			A =				;	B =

										1	2		3
Решение.				1)	А				В		1	3	1
Решение.				1)	А				В		=
						2×2				2×3
											1	2	3
2)	В2×3 А2×2 неопределено,таккакчислостолбцовматрицы
счисломстрокматрицы											В (2).
		Этотпримериллюстрирважнуюособенностьоперацииуетмножения

матриц,еенекоммутативность,котордлядвпроизволхюматрицных можновыразитьследующейформулой: умножениематрицынаединматрицуумножениечнуюматрицына

+ a b + a b							a b + a b + a b
12		21	13			31	11	12	12			22	13		32
+ a	22	b + a		23	b		a b + a			22	b + a			b		.
	22	21		23		31	21	12		22		22		23	32
2	3						АВ; 2)ВА.
		. Найти: 1)					АВ; 2)ВА.
1
1	0
2 3 1 + 9 2 + 3 3 + 0 10 5 3																	;
		=										=					;
1 0							+ 2 3						7 4 3
1 0		1 + 6 2					+ 2 3		+ 0				7 4 3

А (3) несовпадает

A B ≠ B A. Исключениесоставл	А и В
	яют

обратнуюей:

А Е = Е А, A A−1 = A−1 A.

Транспонированиематрицы

. Матр,получеиданцазпутемннаяой

заменыкаждойеестрокистолбцомтемженомером,называется

Обозначается AT .

транспонированной кданной.

Пример.

− 2

A =

;

AT =

− 2

1Выч.1. линейнуюкомбинациюслитьматрицА2+3В:

Упражнения 1.

− 6

а) A = $3 −1'

; B = $

2 − 3';б)

A = $ 1 2 3' ;

B = $−4 − 5

' .

#2 −1&

#1 − 2&

#−1 − 2 − 3&

# 4 5

1Найти.2.

C = AT − 3B,где

A = #

& , B

6&.

1Найти.3.

A B и B A ,результатысравнить:

"−1 3 %

"2 −1%

A = $

B = $

' .

2 4&

1Найти.4про. матрицзведениеАВ:

!1 2 3

" 1 − 2 − 4%

!3 1 1

"1 1 −1%

;б)

а) A = #2 1 2&

B = $2

−1 1'

A = #

2 4 6&

= $−1 − 2 − 4 ' ;

1 2 4

1 2 3%

#1 0 1&

3 6 9 %

"−2

2 3%

в)

;г)

4 1 5 3

B =

A = #

2 5&

B = $

A = $

−1 2

1 %

" 6 %
$	−2	'	;д) A = (1 2 − 3)
$	−2	'	;д) A = (1 2 − 3)
$	7	'
$	4	'
#	4	&

"3		1 −1 %			"2%
$	4	−1 3	'	; е)
B = $			'		A = (0 −1) B = $	' .
$	2	6 0	'		#	0&
#			&

& !−1 −1$

!4$

1Выполнитьдействия.5. :а)

1 1 2

;б)

!1 1

;в)

!1 1

;

# &

#2 2 3&

"1 %

0 1%

1 %

"4 −1%5

4 %

г)

' .

5 − 2&

1Найти.6значенмногочлена. матричного:)

2A2

+ 3A + 5E ,где

, Е – единичнаяматрица

третьегопорядка;

A = #1

б)

(A − 2E) (A − E),где

A = #

1 &.

					Домашзадани1. ее
Выполнитьдействия: 1)					#3 −1 4&		#1 2 3&			;
Выполнитьдействия: 1)					2 %	( − 3 %		2 1	(	;
	"1 − 2% "0		7	8 %	$2	5 0'	$	2 1	4'
2)	"1 − 2% "0		7	8 %	;
2)	$	' $	6	'	;
	#4	6& #2	6	− 3&

#5 2&				"1 − 3 2 % "0 1				2% "1				1 −1%
3) (1 − 3 − 2) %1	7	(	; 4)	$	3 − 4 1	'	$1 − 3 0		'	$	2 −1 1' .
%		(		$		'	$		'	$		'
%	0	(		$		'	$	1	'	$		'
$1	0	'		#	2 − 5 3& #1 1			1	& #1			0 1&

5)Найматрицу	A2	"−1 3%				!1		0
		−12E , где A = $	4	1	'	, E = #	0	& .
		#			&			1%

Определителиквадратныхматриц

n-гопорядка

Квадратнойматрице

А n-гопорядкаможнопоставитьответствие

число,называемоеее

определителем.Обозначается

или .

Взависимостиотпорядкаматрицы

ееопределительможетбыть

вычисленпоследующимправилам:

= a1;

1)если n=1,то

2)если

n=2,то

a11

a12

= a

− a

.Вычислениеопределителя

a21

a22

второгопорядкаиллюстрируетсясх

емой:

Пример.	− 2			3	= −2 7 − 3 5 = −14 −15 = −29.
	5			7
3)если n=3,то				a11		a12	a13


		A	=	a21		a22	a23	= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 −
		A	=	a21		a22	a23	= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 −
				a31		a32	a33

− a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .

Привычисленииопредтрпорядкатьегоудобнотеляльзоваться правиломтреугольник ов,котороесхеможноизобразитьатичнотак:

Пример.	Вычислитьоп	ределитель	5	− 2	1
			3	1	− 4	.
			6	0	− 3

− 0 5 (− 4)= 9.

Минором

элемента аij определителя n-гопорядка(

n>1)называется

определитель(

n-1)-гопор

ядка,полученныйизопределителя

n-гопорядка

вычеркиванием i-ойстроки

j-гостолбца,напересечениикоторыхнаход тся

данныйэлемент

аij.

Алгебраическдополнением

A = (−1)i+ j M

ij элемента

аij

называетсячисло,

находящеесяпоформуле

Пример.

Найти М12 ,

A12 дляопределителя

− 2

− 4

− 3

Решение.

Длянахождения

М12 вычеркиваизданногоопределителямрвую

строкуивторойстолбец.Результатаписываемвидеопределителявторого

порядка:

M12 =

−4

= −9 + 24 =15 .Находи

малгебраическоедополнени:

−3

A12 = (−1)1+2 M12 = −15 .

Свопределителеййства

1) Определительнеизм,еслегонстрокизаменитьтсястолбцами

сохрапорядкаинениемаоборот.

Примечание:вдальнесв,ойстватносящиесяшемкстрокам

определите,справедляивы

ипоотношениюкстолбцам.

2) Определительравенсуммепроизввсехэл какоймденийтов

-либоего

строкинаихлгебраическдополнен. иея

3)Опредравну,если:нителью

а)всеэлементыкакой	–либостравныокинулю;
б)всеэлементыоднойстро	кипропорциональнысоответствующим
элемдругойестрокинтам.

4)Припередвухстопределиановкерокменяесвойзнак. тель

5)Общиймножительвсехэлементовстрокиопределителяможвыносить зазнакопределителя.

6) Есливсеэлементы		i-ойстрокиопределителя	едставленывидесумм
двухслагаемых,тоопределитравенсумме,укоторыхделителейльвсе
строки,кроме	i-ой,тажекак, ивданномеопределителе,		i-ястрокав
первомопределителесостоитизпервыхслагаемых,вовтором			– извторых.
7) Определительнеизмен,еслкэлементамикакойтся			-либоегостроки
прибавитьсоответствэлементыдругойстроки, множенныеющначи, сло
отличноенуля.
Насвойстметодоснован2 ычисленопределитпонижях ениемлей
порядкаправикоторый( Лап), лдаасане			толькодругойспвычислениясоб
определивто огопорядкат,елейьегоноипозволяетвычислять
определителиболеевыспорядк.Крких,передгоприменениемв
свойполезно2 спомощьютвадругихсвойнапример( ,свойства7)получить

								9
внемкакожн					обольшееколичествонулевыхэлементов.
Пример.
	1	−1	7	4			1	−1	7		4
	1	−1	7	4			1	−1	7		4
	0	5	3	2		=	0	5	3		2	=
	−1	7	0	1	+ Ιстрока	=	−1 +1	7 + (−1)	0 + 7	1	+ 4	=
	−1	7	0	1	+ Ιстрока		−1 +1	7 + (−1)	0 + 7	1	+ 4
	3	5	7	8	+ Ιсирока (− 3)		3 +1 (− 3)	5 + (−1) (− 3)	7 + 7 (− 3)	8 + 4 (− 3)

	1	−1		7		4											5	3	2
	1	−1		7		4
	0	5		3		2
=	0	5		3		2	=1	A	+ 0 A +			0 A			+ 0 A =1 (−1)1+1		6	7	5		=122.
=							=1	A	+ 0 A +			0 A			+ 0 A =1 (−1)1+1		6	7	5		=122.
	0	6		7		5		11			21		31		41
	0	6		7		5											8	−14		− 4
	0	8		−14		− 4											8	−14		− 4
	0	8		−14		− 4
Обрматрицаная																			A
		Матрица А называется невырожденной,еслиееопределитель																		отличен
		Матрица А называется невырожденной,еслиееопределитель																		отличен
отнуля.																		A−1
		Всякаяневырождматрицаимеетобр.Матрицаннаятную																A−1	называется
обратной матрице А, есливыпоусловиеняется																A A−1 = A−1 A = E ,где					Е –
единичнаяматрицатогожеп ,чторядка															А.
									3		2	1
Пример.				Найти		A−1 ,если				2	−1	1
Пример.				Найти		A−1 ,если			A =	2	−1	1	.
										1	5 0
										1	5 0
		Матрица А–невырожденная,таккак												А		= −2 ≠ 0,следовательно,матрица					А
		Матрица А–невырожденная,таккак												А		= −2 ≠ 0,следовательно,матрица					А
имеетобратную.Дляеенахождениятранспонируемматрицу																		А,получим
		3		2	1
АТ			2	−1	5											едополненияэлементов
АТ		=	2	−1	5	.Далеенаходималгебраически										едополненияэлементов
			1	1	0
			1	1	0
матрицы АТ :

А = (−1)1+1			−1 5				=1 ((−1) 0 − 5 1) = −5; А = (−1)1+2							2 5				= −1 (2 0 − 5 1)= 5;
11			1		0				12					1	0
			1		0									1	0
А	1+3	2 −1					=1 (2 1− (−1) 1) = 3;	А		2+1			2 1				= −1		(2 0 −1 1) = 1;
	1+3	2 −1								2+1			2 1
	= (−1)									= (−1)
13		1			1			21					1		0
		1			1								1		0
А	2+2			3	1	= 1 (3 0 −1 1) = −1; А				2+3	3	2				= −1 (3 1 − 2 1) = −1;
	2+2			3	1					2+3	3	2
	= (−1)								= (−1)
22				1	0		23				1	1
				1	0						1	1

								10
А	3+1	2				1		= 1 (2 5 −1 (−1)) = 11;
	3+1	2				1
	= (−1)
31			−1			5
			−1			5
А	3+2				3	1	= −1 (3 5 −1 2) = −13		;
	3+2				3	1
	= (−1)
32					2	5
					2	5
А	3+3			3		2		= 1 (3 (−1) − 2 2) = −7.
	3+3			3		2
	= (−1)
33				2		−1
				2		−1

Составимэтихэлементовприсоединеннуюматрицу

~			− 5							5					3
~				1						−1				−1
А =				1						−1				−1			.
				11					−13					− 7
				11					−13					− 7
			Находимобрат														нуюматрицупоформуле:
				1			~						1				− 5			5			3
	−1			1			~						1
А			=					А			=						1			−1			−1	.
					А

												− 2					11			−13			− 7
																	11			−13			− 7
			Проверправнахождеильносмобрма:тнрицыьойя
							3				2			1				1		− 5			5
АА−1								2 −1 1													1		−1
				=
				=														− 2
							1				5			0				− 2					−13
							1				5			0						11			−13
	1			0				0
		0		1			0
=		0		1			0			;
		0		0			1
		0		0			1
									− 5							5				3 3			2
А	−1		А =				1				1				− 1					− 1		2 − 1


						− 2					11			− 13					− 7			1	5
											11			− 13					− 7			1	5
	1			0				0
		0		1			0
=		0		1			0			.
		0		0			1
		0		0			1

3		1	3
−1				2
	= −
		2
− 7				1

1		1	− 5
1				1
	= −
		2
0				11

Значит,обрматнайденаярицаверно. а

Упражнения2.

2Вычислитьопределители.1. второгопорядка:)

б)	1+	2 −	;в)	x −1	1	;г)	sinα
б)	1+	2 −	;в)	x −1	1	;г)	sinα
	2 +	1−		x3	x2 + x +1		sin β

3 5 ;

1 − 2

cosα . cos β

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019270.97 Кб11Реферат педиатрия.doc
#
11.07.2019129.02 Кб3РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛ....doc
#
19.11.2018412.67 Кб2Родыгин А.Д. Логика.doc
#
27.08.2019759.81 Кб6Сборник задач 2012.doc
#
27.05.2015165.89 Кб9сельхозпредприятия.doc
#
25.03.201624.24 Mб13Ситникова Математика Ч. 1 для менедж..pdf
#
12.09.2019334.85 Кб13Сквозная задача по налогообложению.doc
#
27.05.2015219.76 Кб6Содержание.doc
#
10.07.201949.66 Кб2Социология (1 семинар).doc
#
12.11.20192.64 Mб6статистика_лекции_2.rtf
#
20.09.2019841.87 Кб5Статья Содержание и процедуры составления конс...rtf