Ситникова Математика Ч. 1 для менедж

Уравнениепрямнаплоскостий

Прямая а наплоскостивдекартовойсистемекоорза аетсяинат

уравненипервойстеп ним

иможимвид:еть

1)

Ax + By + C = 0

– общееуравнениепрямой

а,где

n( A; B) а – нормальный

векторпрямой

а;

2)

x − x0

=

y − y0

– каноническоеуравненипрямой

а,где

q(l; m) ||а –

m

l

направляющийвектор;

M 0 (x0 ; y0 ) – даннаяточка,

принадлежащаяпрямой

а;

!

x = x0

+ lt

3)

#

−

параметуравненияическиеямой

а;п араметр

t R;

y = y0 + mt

#

4)

x − x0

=

y − y0

– уравнениепрямой,проходящейчердведанныеточкиз

x

− x

0

y − y

0

1

1

M 0 (x0 ; y0 ) и M1 (x1; y1 ) ; x0 ≠ x1, y0 ≠ y1 ;

5)

y = kx + b – уравнение прямойсуглк вымэффициентом,где

k – угловой

коэффициентпрямой,равныйтану,образованногоенсулаею

Ox; b – отрезок,отсе аемый

положительнымнаправлениемоси

прямойн

аоси Oy;

6)

y − y0 = k(x − x0 )

– уравнениепрямой,проходящейчерезданнуюточку

M 0 (x0 ; y0 ) сзаданнымуглковымэффициентом

k.

Взаимноераспрямыхоложениенаплоскости

рямых а и b

Условиепараллельности

k

a

= k

b

,

или

n

a

|| n

Aa

=

Ba

, или

q

a

|| q

b

la

=

ma

b

Ab

Bb

lb

mb

Условиеперпендикулярностипрямых

а и b

ka kb = −1,

или

na nb Aa Ab + Ba Bb = 0,

или

qa qb la lb + ma mb = 0

32

Угол φ междупрямыми

а и b

наплоскостипредследующимиляется

соотношениями:

cosϕ =

na nb

=

qa qb

или

tgϕ =

ka − kb

na

nb

qa

qb

1+ ka kb

M 0 (x0 ; y0 )

а,заданнойуравнением

Расстояниеотточки

допрямой

Ax + By + C = 0,можнонайтипоф :рмуле

ρ(M 0 ; a)

=

Ax0 + By0 + C

.

A2 + B2

Пример.

Данытриточки

А(-4;8), В(5;-4), С(10;6)Найти: дл1)отрезка. ну

АВ;

2)уравненияпрямых

АВ и АС иихуглкоэффициентывые;

3) угол между

прямыми АВ и АС врадиасточностьюдо0,01;ахуравнениевысоты4)

СD

треугольника АВС иеедлину.

Решение.

1)Пострвекторимроны

АВ: AB(5 − (−4);−4 − 8) = (9;−12).Найдем

егодлину:

АВ

AB

92 + (−12)2

=15.

=

=

=

225

M 0 (x0 ; y0 )

и M1 (x1; y1 )

2)Уравнениепрямой,проходящейче

резточки

имеетвид

x − x0

=

y − y0

.Подствэтоуравкоординатыивнениеточек

А и

x − x

0

y

− y

0

1

1

x − (−4)

y − 8

x + 4

y − 8

В,получимуравнениепрямой

АВ:

=

=

5 − (−4)

− 4 − 8

−12

9

9( y − 8) = −12(x + 4) 4x + 3y − 8 = 0.Длянахожденияуглового

коэффициента k AB прямой АВ разрешимполученноеуравотносительно

y:

y = −

4

x +

8

.Отсюда k AB

= −

4

.

3

3

3

Подставивуравнение

x − x0

=

y − y0

координатыточек

А и С,на йдем

x

− x

0

y

− y

0

1

1

x + 4

y − 8

уравнениепрямой

АС:

x − (−4)

=

y − 8

=

14

10 − (−4) 6 − 8

− 2

14( y − 8) = −2(x + 4) x + 7 y − 52 = 0

.Отсюда

k AС = −

1

.

7

3)Угол

А являетсяугломмеждупрямыми

АВ и АС,углкоэффициентывые

которыхравны

k AB = −

4

и

k AС

= −

1

.Тогда,подставляяформулу

3

7

tgϕ =

ka − kb

значенияэтихкоэффициентов,получаем

1+ ka kb

−

4

+

1

3

7

π

tgA =

= 1

A = arctg1 =

≈

0,79.

4

1

4

1 + −

−

7

3

CD

АВ,тоугловые

4)Таккаквысота

перпендикулярнастороне

коэффициентыэтихпрямыхобр

атныповеличинепротивоположнызнаку,

т.е.

kCD = −

1

= −

1

=

3

.

4

k AB

4

−

3

M 0 (x0 ; y0 ) взаданном

Уравнениепрямой,проходящейчерезданнуюточку

углковымэффициентом

k направлении,имеетвид:

y − y0 = k(x − x0 ).

Подствэтоуравкооивнение

рдинатыточки

С(10;6)и

kCD =

3

,получим

3

4

уравнениевысоты

CD:

y − 6 =

(x −10) 4y − 24 = 3x − 30 3x − 4y − 6 = 0.

Длянахождениядлинывысоты

4

CD воспользфорасстмуотемсялойяния

точкидопрямой:

ρ(M 0

; a) =

Ax0 + By0 + C

.

Подставимэтуформулу

A2 + B2

координатыточки

С икоэффициеизобщегоуравненияпрямойты

АВ:

СD

=

4 10 + 3 6 − 8

=

50

= 10.