Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ситникова Математика Ч. 1 для менедж

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

24.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

																			11
																			1 −1 2												0 1 1								1 2 − 3
																			1 −1 2												0 1 1								1 2 − 3
2. 2. Вычислитьопределителиа:)																			3 −1					1	;б)						1	0 1				;в)			1	1		2	.
																			2		1			4							1	1		0					0	0		2
														1	x			x								1				1				1
														1	x			x								1				1				1
2Решить.3уравнения. :)														x	1			x		= 0 ;б)						1	1− x							1		= 0 .
														x		x		− 2								1		1				2 − x
																													3			5		7			2
																													3			5		7			2
2Вычислитьопределители.4. 4																	-гопорядка:)												1			2		3			4	;
																													−2 − 3					3			2
			1 2 3 0						2 3 −1 2											2 1 −1 1									1			3		5			4
																																	2 1 4 3
																																	2 1 4 3
б)			0 1 2 3					; в)	4 −1 −1 4								;г)			1 3 3 3											;д)		5 0 −1 0								.
			3 0 1 2						0 5 2 1											0 1 − 2 2													2 −1 6 3
			2 3 0 1						2 2 2 1										−4 − 2 2 − 2														1 5 −1 2
2Найматрицу.5. ,об												ратнуюданной.Сдела															тьпроверку:										а)			" 5 − 4%				;
2Найматрицу.5. ,об												ратнуюданной.Сдела															тьпроверку:										а)			$		6	'	;
						"−2 3 1 %								" 2 2 −1%																										#−8		6	&
	"a − b%					"−2 3 1 %								" 2 2 −1%
б)	"a − b%				;в)	$	3 6 2			'		;г)	$		2 −1 2						'	.
б)	$			'	;в)	$	3 6 2			'		;г)	$		2 −1 2						'	.
	#b − a&					$				'			$								'
						$				'			$								'
						#1 2 1				&				#−1 2 2							&
													Домашзадани№2 ее
																		1	2			3					1	1				1					−1			3		1		2


																																					−5			8		2		7
1Вычислить. определители:а)																		4	5			6	;б)				1	2				3			;в)		−5			8		2		7	.
																		7	8			9					1	3				6					4 − 5					3 − 2
																		7	8			9					1	3				6					−7			8		4		5
											x2		4		9																						−7			8		4		5


2.		Решитьуравнение									x		2		3		= 0 .
											1		1		1
3.Найтиобратнуюматрицу,сделпроверку:)ть																																		!1			3
3.Найтиобратнуюматрицу,сделпроверку:)ть																																A = #					& ;
	"2					1 −1%																													1		7%
	"2					1 −1%
б)	$			5		2	'
б)		A = $		5		2	4' .
	$			7		3	'
	#			7		3	4&

Рангматрицы	m × n .
Рассмотримматрицуразмера

Выдвнейлим		k строки	k столбцов (k ≤ min(m; n)).Изэлементов,стоящих	k-го
напересечениивыделенныхстрокстолбцов,состаопределительим			минорамиэтойматрицы
порядка.Всетакиеопределителиназываются				.В
матрице А пунктиромвыделенминор2			-гопорядка.
Наибольшийпорядмин кров			даннойматрицы,отличныхнуля,
называется рангомматрицы.			Обозначается rang A.
Очевидно,что		0 ≤ rang A ≤ min(m; n),где min(m; n)– меньшчиселиз		m и
n.
Пример.	Найтирангматрицы:

Решение.	Всеминоры3	-гопоравядка				нынулю.Естьминор2					-гопорядка,
составленизэлеме,находящихсяыйтовпересечениивыделенныхстрок
столбцов,отличныйнуля,			3	6	= −15 ≠ 0		.Значит,		rang A = 2.
			3	6
			1	− 3
Существуетдругойспособнахождениярангаматрицыпутемприведе												ния
еекступенчатовидупомощьюэлементапреобразованийу,не ных
меняющихрангаматрицы.
Матрицейступенчвидасчитаютмат,всеэлементыогорицу											j-гостолбца
							3		− 2	1	− 5
которой,начинаяс(		j+1)-го,равнынулю.Например,						0	2	6	0
которой,начинаяс(		j+1)-го,равнынулю.Например,						0	2	6	0	.
								0	0	4	3
								0	0	4	3
Перечислимэлемен		тарныепреобразован,неменяющиерангаматрицы: я

1)транспонматр; ированиецы

2)вычеркинулевыхстрокстолбцов( );ание

3)перестановместамидвухстростолбцов( );ка

4)умножениевсехэлементовстрокистолбца( )матрицыначисло,отличное отнуля;

5)прибавлениековсем элементамстрокистолбца)матрицы( соответствующихэлементдругойстрокистолбца( ),умноженных одноитожечисло.

Тогдарангматбудетрицыавенколичествуенулевыхстрокматрицы ступенчатоговида,полученнойизисходнойпутэлементарных преобразований.

		1		3	0
Пример.	Найтирангматрицы		2	1
Пример.	Найтирангматрицы	A =	2	1	−1 .
			3	4	−1

Решение.
	1		3		0			1 3			0		1 3			0
		2		1					0	− 5				0	− 5
A =		2		1	−1 + (− 2) Ιстрока				0	− 5	− 1			0	− 5	−1
		3		4	−1		+ (− 3) Ιстрока		0	− 5	− 1	+ (− 1) Ιстрока		0	0	0

1		3			0	rang A = 2.
						rang A = 2.
	0 − 5
	0 − 5			−1

Матрицывэкономике
Матрицыш рокоспользуютсявпостроенииэконом ческо						-
математическихмод		елейэкономичепроцес,т..приматематическомкихов
описанииследуеэконопроцесмилиобъеичего.Этообъясняетсякаогота
тем,чтозаписьданныхвтабличнойфорвидев( матр)облегчаетивводцых
вкомпьютер,расчетыкомпактноипростоформализуют						сяпомощью
матемаоперацстаблическихданймат(ными),арезультатыицами
предсточеньа.вглядноются
Пример.	ВобластиимеетсятрипредприятА,В,Соднойотр,каиждоеслияз
которыхиспользуетдвидасырья:угольдревесину.Расходсырь			10		20	я
			10		20
представленследующейматрицей:		X		50	0	,гдеэлементыпервого
представленследующейматрицей:		X	=	50	0	,гдеэлементыпервого
				30	10
				30	10

стобозначаютлбцарасходугляпредприятийА,В,С,авторого соответстрасходдре.Каждоевесиныующийпре подвозаляприятиесырья можетиспользоватьтолькоодинизтрех водный,воздушный.Стоимосперевозоктремявидамиьранспортавыражена

следующейматрицей:

P =

обозначаютстоимодоставкиединицытьырьяугля,древесины( ) железнодорожнымтранспортэлементы, второго

–

				видовтранспорта:железнодорожный,
3		5	8
				,гдеэлементыпервогостолбца
	7	2	8
	7	2	8

– водным,аэлементы

										14
третьего – воздушным.Определитьзатратыкаждогопредприятияна ставку
всегопотребляемоговтечениегодасы анспортьякаждогвида. ом
Решение.		10 20							10 3 + 20 7 10 5 + 20 2 10 8 + 20 8
		10 20			3	5	8		10 3 + 20 7 10 5 + 20 2 10 8 + 20 8
Y = X	P =		50 0		3	5	8	=		50 3 + 0 7 50 5 + 0 2 50 8 + 0 8	=
Y = X	P =		50 0					=		50 3 + 0 7 50 5 + 0 2 50 8 + 0 8	=
						2
			30 10		7	2	8			30 3 + 10 7 30 5 + 10 2 30 8 + 10 8
			30 10							30 3 + 10 7 30 5 + 10 2 30 8 + 10 8
170	90		240
	250		400
= 150	250		400	.
	170		320
160	170		320

Каждыйэлемент	yij	матрицы	Y	обозначаетзатраты					i-гопредприятияна
доставкусыегоранспортомья					j-готипа,.е.впервойстрокеуказаны
затпратыедпрАповсемитрдятияа,вомнспортавторой										– затраты
предприятияВ,втретьей		– предприятияС.
			Упражнения3.
		"1 3 0%					"3 4 − 5 1 7 %
3.1Найтиранг. матриц:)		$	2	1	'	;б)	$	8 7 − 2	'	;
3.1Найтиранг. матриц:)		$	2	1	−1 '	;б)	$	8 7 − 2	−1 15'	;
		$			'		$	2 −1 8	'
		#3 4			−1&		#	2 −1 8	− 3 1 &

" 2 1 11 2 %

"2 1 1 2 %

"1 a −1 2 %

−1

в)

;г)

$1 2 0 3'

;д)

2 −1 a 5' .

$11 4 56 5'

$2 3 1 5'

2 −1 5

− 6

#1 10

− 6 1 &

#1 1

− 2 1 &

3Най.2ма. Хтизрицуследующихуравнений:

а)

2 $

!−1

;

& X = #

−1%

"2 − 3%

"−3 1 2 %

"−2 1 2 %

б)

3 0

;в)

1 0

X =

−1 3

;

X $

' =

−1

2 4

#−4 3 0

−1 4&

1 − 2

1 &

г)

3 −1 2

(

X %

(

= %

( .

(

$−1

$−1 − 3

3Предприятие.3. производит	n типовпродукции,объемывыпускакоторой
задманыАтрицей.Ценареализациивыпускаемпродукциипорегионамй
задмаВнатрицей.НайтиС	– матрицувыпоучкиегиона	м,если

				15
	!2	3	1	5
A = (100 200 100);	#	3	2	2	&
A = (100 200 100);	B = #1	3	2	2	& .
	#	4	2		&
	2	4	2	4%

3Предприятие.4. производит							n	типовпродукции,используя	m видов
ресурсов.НормазатратресурсовзадмазатратнатрицейА.Пусть
определенныйпромвремжутоквыпусдприяниоличтилоество
продукциикаждоготипа						,заданноематрицейХ.		Стоимостьресурсовзадана
матрицР.Опр:)матределйицуть							S – полныхзатратресурсовкаждоговида
напроизввсейодзаанныйствоукциипериодвремени;б)полную
стоимостьвсехзатрданчепромежуныйных								токвремениресурс.Дано: в
!2		5	3		!100
#	0	1	8	&	!100
A = #	0	1	8		#	&	; P = (10	20 10 10) .
A = #		3		& ; X = #		80 &	; P = (10	20 10 10) .
#1		3	1 &		#	&
#	2	2		&	110%
	2	2	3%

					Домашзадани№3. ее						"1	3	5 −1 %
					!2	1	4	5			"1	3	5 −1 %
					!2	1	4	5			$				'
1Найти. рангматриц:)					#1	0	1	2	&	;б)	$2 −1 − 3			4	'.
					#				&		$5	1 −1		7 '
					#	2	4		&		$5	1 −1		7 '
					1	2	4	0%			$	7	9		'
											#7	7	9	1&
2Решить. матричурав:) ныеения								!1			2	!3		5	;
2Решить. матричурав:) ныеения								#	3		& X = #		5	&	;
	#1 1 −1& #1 −1 3&								3		4%		5	9%
	#1 1 −1& #1 −1 3&
	%		(	%		(
б) X %2 1 0			( = %4 3 2			( .
	%		(	%		(
	$1 1 1		' $1 −		2 5'
3Испо. усзадачиловиеьзуя3.4,								определитьполныезатратыресурсов3							-х
видовнапроизводпродукциимесячнойстоимостьвсехзатраченных
ресурсов,еслизадма:нытрицыА							–нормызатратресурсов,Х								– объемвыпуска
продукциииР		– стоимостиресурсов.
!2		1	!200
#	2	&	!200				100			20).
A = #	2	2& ; X = #		& ; P = (50			100			20).
#	3	&		300%
	3	1 %

Системылинейныхалгебуравненийаических
Системойлинейныхалгебраическихуравнений		(СЛАУ),содержащей	m
уравненийс	n переменными,назысиства тсяма	ида

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a	x + a	22	x	2	+ ... + a	2n	x	n	= b	,
	21 1	22		2		2n		n	2	,
...........................................

am1 x1

гдечисла свободныечлены,

+ am2 x2 + ... + amn xn = bm

aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) – коэффициентысистемы,числа	bi –
x j – неизвестные,подлежащиеопределению.

СЛАУудобнозаписатьвкомпактной	матричнойформе	: A X = B .Здесь
А – матрицакоэффсистемыпростолицентов	матрицасистемы	:

		a	a	...	a
		11	12		1n
A =		a21	a22	...	a2n	;
A =	.............................					;

			am2	...
	am1		am2	...	amn

X = x2 – вектор-столбецнеизвестных x j ;

!xn

B = b2 – вектор-столбецизсво

бодныхчленов

b .

Расширенной

матрицейсистемы

называетсяматрицасистемы,

дополненнаястолбцсвобчленов. мдных

...

a21

a22

...

a2n

A =

...................................

...

Решенисистемы

назысоваетсяокупностьтаких

чисел

x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn

= cn ,которыеприподстановкеобращаютвсеуравнения

системывтождества.Всякоерешсистемыможнониезаписатьввиде

матрицы-столбца C

			17
Системауравненийназывается			совместной,		еслионаимеетхотябыодно
решение,	несовместной, еслионимеетаниодногорешения.
Совместнназываетсясистем			определенной,еслионаимеет
единственноерешение,			неопределенной,	еслионаимеетбодноголее		частным
решения.Впослкаждоееднучаеер называетсяшением
решением системы.Совокупно			стьвсехчастрешенийыхазывается			общим
решением.
Решисистемуь		– этозначитвыяснить		, совместнаонаилинесовместна		,
и,еслисовте,найтимобщееестнарешение.
ТеоКронекераема		-Капеллиосовместемылиуравненийейныхости

Системалинейныхалгебуравненийсовместнаическихтогдатолько тогда,когдаррасширеннойнгматрицысистемыравенрангусамой

матрицысистемы.Приэтом,еслирангсовместнойсистемырав енчислу неизве,тосистемаимеетединствентныхрешен,аеслименьшеое числанеизвест,тобесконм рожествоыхчное.шений

													2x1 − x2 + 3x3 − 5x4 = 1
													x		− x	2	− 5x = 2
Пример.		Исследовать совмесистемыность											1			2			3				.
Пример.		Исследовать совмесистемыность										:											.
													3x1 − 2x2						− 2x3 − 5x4 = 3
													7x − 5x					2	− 9x	3	− 10x	4	= 8
Решение.		Найдемпараллельнорангирасширеннойматрсисамойтемыцы													1			2		3		4
Решение.		Найдемпараллельнорангирасширеннойматрсисамойтемыцы
матрицысистемыпутемприведенияихкступенчатомувидупомощью
элементапреобразований. ных
2 −1 3 − 5				1	1 −1 − 5 0						2
2 −1 3 − 5				1	1 −1 − 5 0						2
	1 −1 − 5 0			2			2 −	1 3		− 5	1
	1 −1 − 5 0			2			2 −	1 3		− 5	1	− 2 Ι
	3 − 2 − 2 − 5			3			3 − 2 − 2 − 5				3		− 3 Ι

	7 − 5 − 9 −10			8			7 −	5 − 9 −10			8		− 7 Ι
	7 − 5 − 9 −10			8			7 −	5 − 9 −10			8		− 7 Ι
1 − 1 − 5 0			2					1 −1 − 5 0						2
1 − 1 − 5 0			2					1 −1 − 5 0						2
	0 1 13 − 5		− 3						0 1 13			− 5
	0 1 13 − 5		− 3						0 1 13			− 5		− 3
	0 1 13 − 5		− 3			− ΙΙ			0 0	0		0		0	.

	0 2 26 − 5		− 6			− 2 ΙΙ			0 0	0		0		0
	0 2 26 − 5		− 6			− 2 ΙΙ			0 0	0		0		0

Рангматрицысистемызаписана( дочерты)равен2,расширеннойг матрицысистемытожеравен2,следовательно,си .Крместна, гме

рангменьшеколичеснеизвестных(4),оаидетель ствуетобесконечном множестверешенийсистемы.

РешениесистемлинуравнениййныхпоформуламКрамера

ФормулыКрамепримдляреашениямысстем n линейныхуравнений с n неизвестными.

– определматрсистемы; цыль			j- го
j– определитель,полученный		изопределителясистемызаменой	j- го
столбцасвобчленов. мдных
Еслиопределитель	Δ≠0,тосистемаимеетединственноерешение.
Еслиопределитель		=0ивсеопределители	j тожеравныто0,система
имбесконетмножествор чное.шений
Еслиопределит	ель	=0ихотябыодинизопределителей	j отличен
нуля,тосистеманесовместна.

Пример.	Решисис: темуь						2x1 − x2 = 0
Пример.	Решисис: темуь						x		+ 3x				= 7 .
								1				2
=		2	−1	=	7 ≠ 0,		1 =			0	−1			=	7,	2	=	2	0	= 14.
		2	−1							0	−1							2	0
		1	3							7		3						1	7
		1	3							7		3						1	7
Значит,			x =		7	= 1, x	2	=	14		= 2.
Значит,			x =			= 1, x		=			= 2.
			1		7				7
					7				7
Методобратнойматрицы
Методомобрматрицымогутнойбытьрешеныси																						стемылинейных
уравнений,матрицасистемыкоторыхквадратнаяневырожденная.																					AX=B.
ВматричнойформожетСЛАУбытьзаписанаввиде																					AX=B.
Решаяданноематуравичотносенительно																							X,		получаем:
A−1 AX = A−1 B EX = A−1 B

Следовательно,чтобынайтиматрицу																неизвестных X,необходимонайти
матрицу,обратнуюсистемы,умножитьценавектор																									-столбец
свободныхчленов.
																				3x1 + 2x2 + x3 = 5
Пример.	Решисисметодомобремуьматрицы: ной																			2x − x		2	+ x	3	= 6
																					1	2		3
																				x	+ 5x	2	= −3
																				1		2

								19
3				2	1				x
	2		−1		1		– матрицасистемы,	X	1			– вектор-столбецнеизвестных,
А =	2		−1		1		– матрицасистемы,	X	= x2			– вектор-столбецнеизвестных,
	1			5	0
	1			5	0				x3
	5
	6			– матрица-столбецсвободныхчленов.
B =	6			– матрица-столбецсвободныхчленов.
	− 3
	− 3									А
Матрица А – невырожденная,таккак											= −2 ≠ 0,следовательно,матрица
Матрица А – невырожденная,таккак											= −2 ≠ 0,следовательно,матрица
А имеетобратную.Дляеенахождениятранспонируемматрицу												А,получим
	3			2		1
		2		−1		5
АТ =		2		−1		5	.Далеенаходималгебраическэлементовдополнения
		1		1		0
		1		1		0

матрицы АТ :

А					1+1		−1 5													=		1 ((−1)		0 − 5 1) = −5;		А		1+2			2 5				= −1 (2 0 − 5 1) =		5;
А		= (−1)																		=		1 ((−1)		0 − 5 1) = −5;		А		= (−1)							= −1 (2 0 − 5 1) =		5;
11						1										0										12					1		0
						1										0															1		0
А					1+3			2 −1												=		1 (2 1−		(−1) 1) = 3; А				2+1		2 1				= −1		(2 0 −1 1) = 1;
					1+3			2 −1																				2+1		2 1
		= (−1)																									= (−1)
13							1									1									21					1		0
							1									1														1		0
А					2+2								3			1			= 1 (3 0 −1 1) = −1; А									2+3	3		2	= −1 (3 1 − 2 1) = −1;
					2+2								3			1												2+3	3		2
		= (−1)																								= (−1)
22													1			0									23				1		1
													1			0													1		1
А					3+1				2								1			=		1 (2 5 −1 (−1)) = 11;
					3+1				2								1
		= (−1)
31											−1 5
											−1 5
А					3+2					3					1			= −1 (3 5 − 1 2)= −13;
					3+2					3					1
		= (− 1)
32										2					5
										2					5
А					3+3							3				2					= 1 (3 (−1) − 2 2) = −7.
					3+3							3				2
		= (−1)
33												2				−1
												2				−1
		Составимэтихэлементовприсоединеннуюматрицу
~		− 5			5												3
~			1		−1											−1						.Находимобратнуюматрицупоформуле:
А =			1		−1											−1						.Находимобратнуюматрицупоформуле:
			11		−13											− 7
			11		−13											− 7
			1		~										1				− 5				5	3
	−1		1		~										1
А		=			А =																1		−1	−1	.
				А										− 2

																					11		−13	− 7
																					11		−13	− 7

Проверправнахождеильносмобрма:тнрицыьойя

																					20
					3 2 1										1	− 5 5					3					3 2 1		− 5 5			3
АА		−1				2		− 1 1							1		1		− 1		− 1				1		2 − 1 1		1 − 1		− 1
				=																		= −										=
				=										− 2								= −										=
						1 5 0								− 2			11 − 13				− 7				2		1 5 0		11 − 13	− 7
						1 5 0											11 − 13				− 7						1 5 0		11 − 13	− 7
1					0		0
	0				1		0
=	0				1		0	.
	0				0		1
	0				0		1
Значит,обрматнайденаярицаверно. а
			Определясистшение: емы
												− 5				5		3 5									− 5 5 + 5 6 + 3 (−3)
X = A					−1	B					1		1		− 1			− 1		6			1		1 5 + (−1) 6 + (−1) (−3)
								= −													= −										=
								= −		2											= −		2								=
										2			11		− 13			− 7					2
													11		− 13			− 7		− 3				11 5 + (−13) 6 + (−7) (−3)
				− 4				2
= −			1		2			=	− 1 .
= −					2			=	− 1 .
		2
		2			− 2					1
					− 2					1							3 2 + 2 (−1) +1 = 5 − верно
																	3 2 + 2 (−1) +1 = 5 − верно
			Выпроверкуолним:															2 2 − (−1) +1 = 6 − верно .
			Выпроверкуолним:															2 2 − (−1) +1 = 6 − верно .
																		2 + 5 (−1) = −3 −							верно
																		2 + 5 (−1) = −3 −							верно
			Ответ:					x1 = 2, x2 = −1, x3 =1.

МетодГаусса

МетодГаусса,соствпоящийследовательномисключениинеизвестных, являетсяодизнаиболэффекимунив рсальныхметодоврешенияивных СЛАУ,потомучто:

−во-первых,сегоморешищьюжносис,вкотемыьоличестворых уравненийсовпадаетколичествомнеизвестных;

− во-вторых,методпримендлярешениясист,имеющихм		вырожденную
матрицусистемы;
− в-третьих,методГауссанетребуетдополнительногоисследованиясистемы
насовмпотеостнКремеонекерасть		-Капелли,т.к.онопроводится
параллельновходеприменениясаметода. го
Пример.	РешисисуравненийтемуьметодомГ	аусса:

2x1 − x2 + 3x3 − 5x4 = 1

	x	− x	2		− 5x			3	= 2
	1		2					3							= 3 .
	3x − 2x					2	− 2x				3	− 5x	4		= 3 .
	1					2					3		4
7x − 5x					2		− 9x			3		− 10x		4	= 8
	1				2					3				4
Решение.				Составимрасширеннматрсистеэлементарнымицую
преобразованиямииведемеекступенчатомувиду.

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019270.97 Кб11Реферат педиатрия.doc
#
11.07.2019129.02 Кб4РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛ....doc
#
19.11.2018412.67 Кб3Родыгин А.Д. Логика.doc
#
27.08.2019759.81 Кб6Сборник задач 2012.doc
#
27.05.2015165.89 Кб9сельхозпредприятия.doc
#
25.03.201624.24 Mб13Ситникова Математика Ч. 1 для менедж..pdf
#
12.09.2019334.85 Кб13Сквозная задача по налогообложению.doc
#
27.05.2015219.76 Кб6Содержание.doc
#
10.07.201949.66 Кб2Социология (1 семинар).doc
#
12.11.20192.64 Mб6статистика_лекции_2.rtf
#
20.09.2019841.87 Кб5Статья Содержание и процедуры составления конс...rtf