Ситникова Математика Ч. 1 для менедж
..pdf51
пр,т.е. дел |
lim f (x ∞ или |
lim f (x) = ∞, или |
lim f (x) = |
= lim f ( |
x −0 |
x→x0 +0 |
x→x0 +0 |
∞. |
|
|
|
x→x0 −0 |
|
|
|
Пример. Точка x0
2 x
.
Изве,чтосэлемеякаятнофункциянептанарсвоейнаяобласти
y
1
1
являетсяточкойразрывавторогородафункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
1 |
,т.к. |
lim |
|
1 |
|
|
= +∞, lim |
1 |
|
|
= −∞. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Видразрывапокнарисункезан |
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
||||||||
Пример Данафункция |
y = |
|
|
x |
.Требуется: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
непрерывность функции; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б)определитьродразрыва |
|
|
|
вточкеразрыва |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
в)сделатьграфифун. кации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
Даннаяфункцияяв |
|
|
|
ляетсяэлементарной. |
|
|||||||||||
|
|
|
определения.Даннаяфункция |
|
|
(− ∞;1) (1;+∞) |
|
||||||||||
|
|
|
следоват,непрерывнаэтихльно |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x=1функцияимеет |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
интервалах.Вточке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
разрыввторрода,п госк |
|
|
|
|
олькувэтой |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
точкеотсутствуютконечные |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
односторонниепределы: |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 x −1 |
|
||||||
|
|
|
= +∞ , |
lim |
|
|
|
= −∞.Эскизг |
|
|
рафика |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x→1−0 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
функцииизображеннарисунке |
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
Рис.1 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения11. |
|
x2 + 2x + 3 |
|
|
|
x3 −1 |
|
|||||||||
|
11.1пределыфункцииточке. а) |
|
|
|
|
|
|
lim |
;б) |
lim |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x + 8 |
|
|
|
x4 + 2x2 −3 |
x→1 x2 +1 |
x→1 x −1 |
|||||||||||
в) |
lim |
|
x4 − |
|
lim |
x2 |
lim |
;е) |
|
lim |
|
|
|
−1 |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→1 x2 − |
1 |
x→4 x2 |
5x + 4 |
x→1 x2 −3x + 2 |
|
x→2 |
x −2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
ж) |
lim |
|
;з) li |
|
|
|
; и) lim |
|
− |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
−1 |
|
x→2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
к) |
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11.пределы2. функциибесконечности:а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 −2x + 3 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x3 + 7x −1 |
52
б)
д)
г)
з)
в)
ж)
lim |
2x4 − x + 3 |
; в) lim |
2x4 −3x3 + 5 |
; г) |
lim( |
3x4 |
−3x2 ) ; |
|
||
x→∞ x3 −8x + 5 |
x→∞ 3x4 −5x2 +1 |
|
x→∞ x2 + 3 |
|
|
|||||
lim( |
4x4 |
|
− 4x2 ) ; е) lim ( |
− |
|
) ; ж) |
lim( |
− x) . |
||
|
|
|||||||||
x→∞ x2 + x + 2 |
|
x→+∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
11Найти.пределы3. :)
4x
lim ;д) x→0 arcsin 9x
lim 1+ cos x . x→π (π − x)2
11Найтип. 4.
|
|
sin 5x |
|
|
|
sin2 2x |
|
|
|
|
|
tg |
2 |
x |
||||||||
|
lim |
;б) lim |
;в) |
lim |
|
|
2 |
|
; |
|||||||||||||
|
x→0 4x2 |
x→0 |
|
3x2 |
|
|
x→0 2x |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
sin 2x + sin8x |
;е) |
lim |
|
3x2 |
|
;ж) |
lim |
cos x |
|
; |
|||||||||||
x→0 |
4x |
x→0 cos x −1 |
|
|
x→ |
π |
|
x − |
π |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
2 |
|
$ 2x2 −1' |
x3 |
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
7−x3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
ределы:а) |
lim |
(x |
|
+1)1−x |
|
;б) |
lim & |
|
) |
; |
|||
|
|
x2 + 4 |
|||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞% |
( |
|
|
|
x + 5 |
&x |
|
|
|
2x +1 |
&7 x |
|
$ |
5x |
3 |
− 2 |
'−6 x |
3 |
|
|
1+ 3x |
5 |
|
|
|
||||
# |
|
|
# |
|
|
|
|
% |
x |
|
|
|
|||||||||||||
lim% |
( ;г) |
lim% |
( ;д) |
lim& |
|
) ;е) |
lim |
|
; |
|
|
||||||||||||||
x→∞ x +1 |
|
4 |
x→∞ |
2x + 5 |
|
x→∞ % |
5x3 +1 |
( |
|
x→0 # |
x +1 |
& |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ln(3 − x) −ln3 |
|
|
|
|
|
ln x −ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
# 3− 2x2 &− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
x |
; з) lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
;к ) lim(16 −3x)x−5 ; |
||||||||||||||||||||||
lim% |
|
|
( |
|
|
|
|
;и ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
|
2x −8 |
|
|||||||||||||||||
x→0 $ 3+ 3x2 |
' |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
л) lim(sin x)tgx .
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11Исследовать.5.фунакцииепрерывность,найтиточкиразрыва |
|
|
x2 − 25 |
|
|
|
x2 − 9 |
|
|
|
x2 + 2 |
|
|||||||
указатьхара:ктерзрыва) |
|
|
f (x) = |
;б) |
f (x) = |
|
|
;в) |
f (x) = |
;г) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
x − 2 |
|||
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"x − 2, x < 0 |
|
%x, |
|
x ≤ 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
$ |
x = 0 |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
;д) |
|
|
|
|
f (x) = e x+3 . |
|
|
|
|||||||||||
f (x) = #2, |
f (x) = $1− x, 0 < x ≤1;е) |
|
|
|
|||||||||||||||
$ |
|
|
% |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
%x2 − 2, x > 0 |
|
% |
, |
x >1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
&1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашзадани№11. ее |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1Найти. пределыфункции: 1) |
|
lim |
x2 −8x + 7 |
; 2) lim |
|
x3 −27 |
; |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→7 x2 −9x +14 |
|
x→3 x2 −2x −3 |
||||||||
3) lim |
− |
; 4) lim |
−3 |
|
; 5) lim |
−1 |
; 6) lim |
5x3 + 4x + 3 |
; |
||||
x→0 |
x |
x→4 |
−1 |
|
x→1 x −1 |
|
x→∞ 4x − x3 + 7 |
53
7) lim |
|
|
|
x3 |
$ 1 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin3 x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
; 8) |
lim& |
|
|
|
+ |
|
|
; 9) |
lim ( |
|
− |
|
) ; 10) |
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x2 − 4 |
x→∞ % x − |
1 x2 |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 2x3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
arcsin 5x |
; 12) lim |
1−cos |
|
|
|
|
# |
2x + 3 |
&x+1 |
|
|
|
$ |
x |
2 |
+ 5 |
'x2 |
|
|||||||||||||||||||
11) li |
|
|
; 13) |
|
lim% |
( |
; 14) |
lim& |
|
) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ arctg10x |
|
x→0 |
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
x→∞ |
2x +1 |
|
|
x→∞ % x2 − 5 |
( |
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
(2 − x) |
|
|
ln(5 − x2 ) −ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 −1& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15) li |
|
|
|
x2 |
; 16) lim |
|
; 17) |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→ |
|
|
|
3x2 −1' |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2Исследовать. фунакцииепрерывность,найтиточкиразрывауказ ть |
|
|
|
|
"x − 2, |
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 5x + 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
хара:ктерзрыва |
y = |
; |
|
y |
= #−2 |
x = 0 ; 3) |
y = |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
$ |
|
|
x > 0 |
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%−x − 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАЗДЕЛVПРОИЗВОДНАЯФУНКЦИИ. .ДИФ УНКЦИИЕРЕНЦАЛ |
|
|
|
||
окас |
|
|
|
|
|
Касательной MN к вданнойточке |
называетсяпредельное |
|
|||
положениесекущей |
ММ1 ,проходящейчерез |
М, когдаточка |
М1 |
||
неограниченноприближаетсякривойточке |
|
М. |
|
||
Рассмотрграфнепрерывнойифункциим |
|
y = f (x)(рис.12), |
|
||
имеющв |
й |
М невертиккасатаеугловоййдемльную |
|
|
|
коэффициент |
k = tgα ,где α |
уголмеждукасатеиположительнымьной |
|
|
|
|
|
|
Обозначимчерез |
|
||
y+ |
y |
|
|
|
секущей |
ММ1 |
|
|
|
|
N |
углкоэффициентвойсекущейравен: |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
M |
y |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
kсек = tgϕ = |
= |
||||
|
x |
|
|
|||||
|
α |
ϕ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y = f ( |
||||
|
|
|
|
|
функции |
ϕ уголмежду иосьюабсцисс.Тогда
f (x + x) − f (x) . x
x) приращение y тоже
Рис.12 |
|
|
стремикнулю;поэтомуточкася |
М1 |
точке , асекущая |
ММ1,пов |
неограниченноприближаетсяпокривой |
М,пе реходитв |
|
рачиваяськтолочки |
||||
касательную.Угол |
ϕ →α ,т.е. |
ϕ = α . Следовательно, |
lim tgϕ = tgα. |
|
|
|
|
→0 |
x→0 |
54
Поэтому k = tgα = lim tgϕ = lim |
y |
= lim |
f (x + |
x) − f (x) |
. |
|
x |
|
|
||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
x |
Кнахождениюпределоввида |
lim |
|
y |
|
|
x |
|||
|
x→0 |
|||
другихзадизачзли |
чныхобла:физикистейуки,экономикит.д.в, |
|
|
|
котопеременныеых |
x и y имеютконкретныйсмысл.Например,взадаче |
|||
мгновеннойскорости |
x – времядвижения, |
|
|
|
произвотрудаительности |
x – времяработы, |
|
|
|
продукциит.. |
|
|
|
|
Обобщаярезультатырешенияподобныхзадач,приходимкпонятию производнойфункции.
Определепроизводнойфункцииие
приводятрешениямножества
y – пройденныйпуть;взадаче |
|
y – объемпроизведенн |
ой |
Пустьфункция |
y = f (x) определенанекотороминтервале |
|
(a;b). |
||
Придадимаргументу |
x (a;b) некотороеприращение |
x , |
такоечто |
||
x + x (a;b),тогдасамафункцияполучитприращение |
y = f (x + |
x) − f (x). |
|||
Производнойфункции |
y = f (x) вточке x называетсяпределотношения |
|
|||
приращенияфункц |
иикприращенаргумента,когдаиюргументащение |
|
|
||
стремитсякнулюесли(пределсуществует). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = f (x), имеющпроизвкатждойяинтервалачкедную |
|
(a;b), |
|||
называется дифференцируемой наэтоминтервале;опера |
циянахождения |
||||
производнойфункцииназывается |
|
дифференцированием. |
|
||
Значениепроизводнойфункции |
y = f (x) вточке |
x = x0 обозначается |
|||
следующимобразом: |
f ʹ(x0 )или yʹ(x0 ) . |
|
|
|
|
Геометсмыслпрический |
|
оизводной.Уравнениекасательнойграфику |
|
||
функции |
|
|
|
|
|
Взадачепрокасательграфифубылнкнайденуюциигловой |
y |
|
|
||
коэффициенткасательной |
|
k = tgα = lim |
.Перепишемэтораввидеенство |
|
|
|
x |
|
|||
|
|
x→0 |
|
|
|
f ʹ(x) = k = tgα ,т.е. |
|
производная f ʹ(x) |
вточке |
x равнаугловому |
|
коэффицикасательной,проведеннойграфинтукцииу |
|
|
|
y = f (x) в |
|
точ,абсциссакоторойеравна |
|
x . |
|
|
|
Учитываяэтотфактиспользуяуравнениепрямой,проходящейчерез |
|
|
|
||
заданную точку |
M 0 (x0 ; y0 ) сзаданнымуглковымэффициентом |
k = f ʹ(x0 ), |
|||
получуравнениек емсательной,проведеннойкграфифункуции |
|
|
|
y = f (x) в |
|
точкесабсциссой |
x0 : |
y − y0 = f ʹ(x0 )( x − x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
Нахождениепроизв |
однойпоопределению |
y = x2. |
|
||||||||
Пример. |
Найтипрофункциизводную |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
Выполнимследействияующ: |
x приращение |
x ; |
|
|||||||
1) |
придадимаргументу |
|
|||||||||
2) |
найдем |
y : y = (x + |
x)2 − x2 = 2x |
x + ( x)2 ; |
|||||||
3) |
составимотношение |
y |
: |
y |
= |
2x |
x + ( x)2 |
= 2x + x ; |
|||
x |
x |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
находимпределэтогоотношенияпри |
|
|
|
|
|
x → 0: |
||||
|
lim |
y |
= lim (2x + x) = 2x . |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
x←0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Такимобразом, |
|
(x2 )ʹ = 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
Нахождпроизвнениеопосредственноднойопределениюнередко связаносо начительтрудностями,поэтомупрактымифункциике дифференцируютсяпомощьюрядапрформулвил.
Правиладифференцирования
Пусть u = u(x) и v = v(x)– дифференцинанекотоинтервалеомуемые (a;b) функции.Тогда
1)(u ± v)ʹ = uʹ ± vʹ;
2)(u v)ʹ = uʹ v + u vʹ;
3) (С v)ʹ = С vʹ,где |
|
С − const. |
|
|||||
u ʹ |
uʹ v − u vʹ |
|
|
|
||||
4) |
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|||
v |
|
|
|
|
|
|||
Дифференцированиесложфу кцииой |
|
|||||||
|
Пусть |
y = f (u) |
и u = ϕ(x) ,тогда y = f (ϕ(x)) – сложфуснкцияая |
|||||
промежуточнымаргументом |
|
|
u инезависимымргументом |
x . |
||||
|
Тогдапроизводнаяфункции |
|
y поаргументу |
x нахпоследующемудится |
||||
правилу: |
yʹ |
= yʹ |
uʹ . |
|
|
|||
|
|
|
x |
u |
x |
|
|
|
Формулыдифференцирования
Производныеосновныхэлементарныхфункцийприведенытаблице1.
|
|
|
2x2 |
− 4x +1 |
|
|
|
|
||
Пример. |
Найтипрофункциизводную: 1) |
y = |
; 2) |
y = |
ln x . |
|||||
|
e x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
Решение. |
|
|
|
(2x2 − 4x +1)! ex − (2x2 − 4x +1)(ex )! |
|
||
|
# 2x2 − 4x +1&! |
|
|||||
1) |
y! = % |
|
|
( |
= |
(ex )2 |
= |
|
ex |
||||||
|
$ |
|
' |
|
|
# |
(x |
2 |
! |
! |
|
1 |
& |
x |
− (2x |
2 |
− 4x |
|
1)(e |
x |
! |
|
(4x2 1 |
− 4 + 0)ex − (2x2 |
− 4x +1)ex |
|
%2 |
|
) |
− 4(x) |
+ |
(e |
|
|
+ |
|
) |
|
|||||||||
|
$ |
|
|
|
|
! |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
(ex )2 |
|
|
|
|
|
|
|
(ex )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2x2 + 8x −1. ex
Таблица1.
ФУНКЦИЯ y = f (x)
1)y = C − const
2)y = xn , n R
3)y = ex
4)y = ax ,a > 0, a ≠1
5)y = ln x
6)y = loga x, a > 0, a ≠1
7)y = sin x
8)y = cos x
9)y = tgx
10)y = ctgx
11)y = arcsin x
12)y = arccos x
13)y = arctgx
14)y = arcctgx
ПРОИЗВОДНАЯ yʹ = f ʹ(x)
1)yʹ = 0
2)yʹ = nxn−1
3)yʹ = ex
4)yʹ = a x ln a
5)yʹ = 1x
6)yʹ = x ln1 a
7)yʹ = cos x
8)yʹ = −sin x
9) yʹ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
cos 2 x |
|
|
|
|
|
|||||||
10) |
yʹ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
sin 2 x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11) |
yʹ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1− x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
12) |
yʹ = − |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13) yʹ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||
14) |
yʹ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
1 + x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
57
2) yʹ = (ln x )ʹ.Здесь u = ln x – промежуточныйаргумент,тогдапо вилу дифференцированиясложфуполучаемнкцииой:
|
|
|
|
ʹ |
ʹ |
|
|
1 |
ʹ |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ʹ |
= ( u ) |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
y |
= |
x |
= |
2 u |
|
|||||||||||
|
(ln x) |
u |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Логаридифференцированиемическое
Методдиффе,пкоторенцированияпроизводотзаданм аяой функциинаходитсяпомощьюпроизводнойеелогарифма,именно,прежде чемотыскатьпроизводнуюфунк
|
1 |
= |
1 |
|
. |
||
x |
|
|
|
||||
2x ln x |
|||||||
|
|
|
|
ции y = f (x) еесначалалогарифмируют
ln y = ln f (x) |
|
изатемдифференцируютполучравенствоное |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y! |
= (ln f (x))! y! = y (ln f (x))! . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рассмотримприменениедан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ногометонапримередифферена |
|
|
цирования |
||||||||||||
степенно-показательнойфункции. |
|
|
|
|
|
|
|
y = xsin x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример. |
Найти производнуюфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
Прологарифмируемданнуюфункцию: |
|
|
|
|
|
ln y = ln xsin x |
|
|||||||||||||||||||
ln y = sin x ln x.Найдемпроизводнобеихчастейполравенстваученногою: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(ln y)ʹ = (sin x ln x)ʹ |
yʹ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= cos x ln x + sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
||
yʹ = y cos x ln x |
+ sin x |
|
|
= |
x |
|
cos x ln x |
+ sin x |
|
. |
|
||||||||||||||||
x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дифференцированиенеявнозаданнойфункции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Функциясчитаетнеявнозаданной, слизадаетсянауравнениемвида |
|
|
|
y . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F(x, y) = 0,неразрешотносимымтельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Придифференцирнеявнозадафункциинаходятпроизводныейвании |
|
|
|
|
|
|
|
y какфункциюот |
x , |
||||||||||||||||
правойилевойчастей |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения,рассматриваяприэтом |
|
|
||||||||||||||||
изатемполучравенсразрешаютноевоси ельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yʹ. |
|
|
||||||||||||||
Пример. |
Найтипрофункциизво,заданнойуравнениемную |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 − 4xy = 0. |
|||||||||||||||||
Решение. |
(x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
ʹ |
|
ʹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− 4xy) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x + 2 y yʹ − 4(1 y + x yʹ) = 0 2 y yʹ − 4xyʹ = 4 y − 2x ,такимобразом, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
yʹ = |
4 y − 2x |
|
= |
2 y − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 y − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Производныевысшихпорядков |
|
y |
|
|
= f (x) отфункции |
y = f (x) |
такжеявляетсяфункциейот |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Производная |
ʹ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ʹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x иназывае |
тся произвпервогопорядкадной |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
Еслифункция |
f ʹ(x) дифф,тоепроизводнаяренцируеманазывается |
или f |
(x) .Т.о. |
yʹʹ = (yʹ) |
ит.д. |
|||
произввторогорядкаднй |
|
иобозначается y |
ʹʹ |
|||||
|
|
|
|
|
ʹʹ |
ʹ |
||
Производнойп |
-гопорядка |
называетсяпроизводнаяотпроизводной |
|
|
(n −1) |
|||
-гопорядка: |
y(n) = (y(n−1) )ʹ. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найтипро зводную |
п-го порядфункации |
|
y = e2x . |
|
|
yʹ = (e2 x )ʹ = 2e2 x ;
yʹʹ = (2e2x )ʹ = 4e2x = 22 e2x ; yʹʹʹ = (4e2 x )ʹ = 8e2 x = 23 e2 x ;
…
y(n) = 2n e2 x .
Понятиедиффункцииеренциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пустьфункция |
y = f (x) |
|
имеетвточке |
|
x отличнуюнуляпроизводную |
|||||
lim |
y |
= f ʹ(x) ≠ 0.Тогдапоте связиремефункции,еепределабесконечно |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ʹ |
|
|
где α → 0 при x → 0,или |
||
малойфункцииможнозаписать |
|
|
|
x = f |
|
|
|||||
|
|
|
(x) +α, |
||||||||
y = f ʹ(x) x + α |
x .Первоеслагаемое,равноевыражению |
|
|
|
f ʹ(x) x , |
||||||
называется главнойчастьюприращения |
|
|
|
|
функции |
y . |
|||||
|
Диффункцииеренцалом |
|
|
вточке |
|
x |
назывглавнаяч естсяь |
||||
приращенияфункции,равнаяпропроизводнойзведеэтойфункциииюа |
|
|
|
dy,т.е. |
|
dy = f (x) x. |
|||||
приращениеаргумента,обозначается |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ʹ |
|
Таккакдляфункции |
|
y = x dy = dx = |
|
x ,тоформуладифференциала |
||||||
приобретает следующийвид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изэтойформулыследуравенство
позволяетрассматриватьпроизводнуюкакотношениедифференциалов
.
Дифферявляфункциейдвухнциалтсяпеременных
Геометрический мыслдиффункцииеренциала
Проведемкграфифункуции |
y = |
(рис.13)найдемординатуэтойкасадляочкиельной |
|
точки B . |
|
dydx = f ʹ(x),которое,всвоюочередь,
dyи dx
x и dx.
f (x) вточке M (x; y) касательную MN x + x,т.е.ординату
|
|
59 |
|
||
Из АВС имеем: |
tgα = |
AB |
AB = tgα x .Согласногеометрическому |
||
|
|||||
смыслупроизводной, |
tgα = f ʹ( . Значит, |
AB = f ʹ(x) x. |
|
|
|
|
|
формулойдиф ункциеренц, иала |
|
y+ y |
|
|
В |
|
получаем dy = AB. |
|
y |
|
|
N |
Такимобразом,геометрическийсмысл |
||
M |
|
dy |
||||
y |
|
|
дифференциалафункциисостов т |
|||
|
x |
А |
|
|||
|
|
следующем: |
диффункцииеренцал |
|||
α |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординкасательнойкграфикуы |
|
|
Рис.13 |
|
|
|
функциивэточкой |
е,когда x получит |
|
|
|
|
|
приращение |
x . |
Основныете дифференциалахремы
Основныедифференциалахявляютсяследстправием дифференцирования.
Пример. |
Найтидиффункциеренциал |
|
|
y = ln(1 + e |
) |
.Вычислить |
dy |
при |
||||||||
|
|
|
|
10x |
|
|
||||||||||
x = 0, dx = 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
10 x |
ʹ |
e10 x )ʹ |
10e10 x |
|
|
|
|
|||||
Решение. |
dy = (ln(1+ e |
)) dx = |
|
|
dx = |
|
dx; |
|
|
|
|
|||||
|
10 x |
10 x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
10 e10 0 |
|
|
|
e |
1+ e |
|
|
|
|
||||
|
x=0 |
= |
0,1 = 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx=0,1 |
1 + e10 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Применендифференциалакпр ближеннымвычислениям |
|
|
|
|
|
|
x справедливо |
|||||||||
Длябольшинфункцийпридостмвалыхточно |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
приближенноеравенство |
,причемэторавттонством,чемнее |
|
y и dy,тополучаем |
|||||||||||||
меньше x .Есливравенствоподставитьвыражениядля |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
формулу,котораяисподвычисленийьзуется |
|
|
|
|
|
|
приближенныхзначений |
|
|
|||||||
функции: |
f (x + x) − f (x) ≈ f ʹ |
x , или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
Вычислитьприближеннозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1,05 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
Рассмотрфункцимю |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ex .Вышеуказаннаяформула |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приобретаетвид: |
|
|
|
|
|
e x+ x ≈ e x + (e x )ʹ x,т.е. |
|
|
|
|
|
e x+ x |
≈ e x |
+ e x |
x.Таккак |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
,топри |
|
|
|
|
x = 1, |
x = 0,05 |
|
получаем |
1,05 |
1 |
1 |
|
0,05 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ x =1,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
≈ e |
+ e |
|
||||||||||||||||||||||||||||
= e(1 + 0,05) ≈ 2,835. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
12Найдите.1производные. функций: |
|
|
|
|
|
Упражнения12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
y = x4 + 3x2 − 2x +1; 2) y = |
+ |
− |
|
+ 2 ; 3) y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
y = 4ex + arctgx + arccos x ; 5) y = 3 |
+ 4cos x − 2tgx + 3 ; 6) y = x2 log3 x ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
y = (x2 + 2x + 2) 5x ; 8) y = |
x2 +1 |
; 9) y = |
1+ |
|
|
|
|
; 10) |
|
y = |
x ln x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11) y = |
|
|
|
|
; 12) y = ln(5x2 + 2x5 ) ; 13) y = ectgx ; 14) y = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;16) y = sin2 x ; 17) y = |
1 |
lg |
x − 3 |
; 18) y = ln(ctg(2x2 + 4)) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x |
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19) y = 3arccos2 x ; 20) y = arcctge3x ; 21) y = ctg3 |
; 22) y = arcsin2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23) y = log7 cos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
12Найти.про2. функцийзводные,испл льзуягарифмическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
дифференцирование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (sin x)tgx ; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = xx3 ; 2) у = х |
|
|
; 3) у = х |
|
ln x |
; 4) |
y = x−xe−2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
y = |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2x −1)3 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
12Найти.3про. неявнозадаводфункций: ыеых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
x ln y + y ln x = 0 ; 2) |
|
x cos y − ysin x = 0 ; 3) xy − arctg |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ex + ey − exy −1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Найтипрофункцийзводные: |
|
|
|
|
|
Домашзадани№12. ее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
y = |
+ |
5 |
|
− |
3 |
|
+ 2 ; 2) y = |
|
|
|
arctgx ; 3) |
y = |
cos x |
|
; 4) |
|
y = |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
" x2 % |
|
|
|
3−tg2 x |
; 7) y = arccose |
−x2 2 |
|
|
y = log7 (cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
y = ln$ |
|
|
' ; 6) |
y |
=10 |
|
|
|
|
|
|
|
; 8) |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
#1− x2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|