Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ситникова Математика Ч. 1 для менедж

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

24.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Прямаявпространстве

Прямая впространствеможетбытьзадкаклиниянапересечениидвух

плоскостей.Тогдауравнениепрямвидеетой

!A x + B y + C z + D = 0

общимуравнениемпрямой

#A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Данноеур

авназываютение

впространстве.

Уравнениепрямой,проходящейчерезточку

M (x0 ; у0 ; z0 ) ипараллельной

вектору s(n; m; p) , имеетвид

x − x0

y − y0

z − z0

(**) .

Уравнения(**)называют

каноническимиуравн

ениямипрямой

,а

вектор

s(n; m; p) называют направляющимвектором

этойпрямой.

Еслипрямаяпроходитчердветочкиз

x − x1

y − y1

z − z1

M1 (x1; y1; z1 )

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) ,тоее

уравнениеимеетвид

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

параметрическим

Отканоническогоуравненияпр

ямоперейтижнок

уравнениям

прямследующимобразомй:

x − x0

y − y0

z − z0

#x = x0 + nt

= t $y = y + mt ,гдепараметр

t R.

&z = z0 + pt

Угол α междудвумяпрямыми,заданнымиканоническуравнениями

x − x1

y − y1

z − z1

x − x2

y − y2

z − z2

можно найтикакуголмеждуих

направляющимивекторами

s1 (n1; m1; p1 ) и s2 (n2 ; m2 ; p2 )

поформуле

cosα =

s s

Упражнения9.

9Сост.1.уравплоскостиитьнение,проходящейчерезточкуМ(1;

n = (3, − 4, 5) ;б)паралоскостилельно

-2; 3):

а)перпендикулярнойвектору

5x − 3y + 2z −10 = 0 .

9Сост.2.уравплоскоситьнение,проходящей:а)черезточки

M1 (1;и2; 3)

M2 (4;−1; − 2)

параллельновектору

а = (6; − 8; 10);б)черезточки

M1 (1; 2; 3) ,

M2 (4; 0; 3) и M3 (4;−1; − 2) .

9Найти.3уголмежду. плоскостямих

-2у+2

z-8=0их+

z-6=0.

9Установить.4.

, какиеизсл пардующихавненийопределяют

параллельиперпендиплос:ыекостиулярные

а)х2

-3у+5 z-7=0,х

4 -6у+10

z+3=0;

б)х+24у

-4z+5=0,ху+2 2

z-1=0;

в)х3 -у-2z-5=0,х+9у

-3z+2=0;г)х

-5у+ z=0,х+2

z-3=0.

9Сост.5.уравпрямойить,нениепроходящейчерезточкуМ(2; 0;

-3):

а)параллельновектору

а = (2; − 3; 5);

б)параллельно

прямой

х −1

у + 2

z +1

−1

9Сост.6.уравпрямойить,нениепроходящейчердведанныеточкиз:

а) M1 (1; -2;и1)

(3; 1; -1); б) M1 (-3; -1;и0)

(1; 0; -3).

9Пр.7. ивестикканоническомувидууравненияпрямых:

"5x + y + z = 0

"x − 2y + 3z − 4 = 0

;б)

а) #

4 = 0

5 =

$3x + 2y − 5z −

$2x + 3y − 2z +

"2x + 3y − z − 4 = 0

9Составитьпарамет.8. уравнениеическоеямой

$3x − 5y + 2z +1 = 0

9Найти.9уголмежду. прямыми

x −1

y + 2

x +11

y +11

z + 6

−1

−2

9.10.Найтиточкупересеченияпрямой

x − 2

y −1

z − 3

иплоскости

2x + 3y + z = 0 .

M1 (2;-15; 1)

9.Сост11ур. авплоскостиитьнение,проходящейчерезточки

и M2 (3;параллельнопрямой1; 2),определяемой

точкамиА(5;

-2;иВ(6;3)

1;0).

Домашзадани№9 ее

1Сост. уравплоскостиитьнение,проходящейчерезточкуМ(1;и2; 3)

n(4; 3; 2) ;б)прямойКМ,где(

перпендикулярной:а)вектору

-1;иМ2;(1;1)

2; -1).

4x − 5y + 3z −1 = 0 и x − 4y − z + 9 = 0 .

2Найти. уголмеждуплоскостями

3Написать. уравнепрямой,еслнпрохиачерезтоМ(3;дитчку: 2; 1)

a(4; −1; 0) ;б)перпендикулярнаплоскости

а)параллельнавектору

2x + 3y − z + 4 = 0 .

4Составить. каноническоепараметр

ическоеуравненияпрямой

"3x − y + 2z − 7 = 0

3y − 2z + 3 = 0

$x +

y −1

z +1

5Найти. точкупересеченияпрямой

иплоскости

x + 2y + 3z − 29 = 0 .

РАЗДЕЛІVФУНКЦИЯ. .ПРЕДЕЛ. ЕПРЕРЫВНОСТЬКЦИИ ФУНКЦИИ

Функция					X и Y.
Пустьданыдвачисловыхмножества					X и Y.

	Закон ,которыйкаждомуэлементу						соподинставляеттолько
	одинэлемент	,называется			функцией изаписывается					или
	.

	Переменная x называется аргументом,апеременная								y – функцией.
	Множество	X называется		областьюопределения					функции y = f (x) и
обозначается D( f ).Множествовсех					y Y называется множествомзначений
функции y = f (x)иобозначается				E( f ).
	Функциюможнозадатьтремяспособами:
	1) таблицей,водностркоторойукакезнываютсяченияргумента,
	другой – соответствующиезначенияфункции.Напр,известныемер
	таблицызначенийтригонометри					ческихфункций,логарифмические
	таблицы;			графика функции,которыйпредставляетсобой
	2) графически,т..помощью			графика функции,которыйпредставляетсобой
	множествовсехточеккоординатнойплоскости, авнымиатами						x ифункции		y;
	соответствующимзначениямаргумента						x ифункции		y;
	3) аналитически,..либо		однойформулой,вэтомслучаефункциясчитается							1) y = 2x2;
	элементарной,либонескформуламилькими.Напр, мер									1) y = 2x2;
	x2 +1	при x < 2	.
	2) y =	при x ≥ 2	.
	x − 4	при x ≥ 2
		Преобразованияграфифункций							:
	wГрафикфункции	y = f (x) + b			( y = f (x) − b ),			b>0,может		бытьполучениз
графифункации		y = f (x) сдвигеговдосильм						Оу на b единицвверхвниз().
	wГрафикфункции	y = f (x − a)			( y = f (x + a) ), а>0,можетбытьполучениз
графифункации		y = f (x) сдвигеговдоольм						си Ох на		а единицвправо
(влево).						1
	wГрафикфункции	y = k f (x)			( y =	1	f (x) ), k>1,можетбытьполучениз
	wГрафикфункции	y = k f (x)			( y =		f (x) ), k>1,можетбытьполучениз
						k
графифункации		y = f (x) растяжениемсжатием( )еговдольоси								Оу в k раз.
	wГрафикфункции	y = − f (x) может бытьполученизграфифункации
	y = f (x) симметрическотражениемегоотносительном								Ох.

wГрафикфункции

y = f (kx)

( y = f (

x) ),

k>1,можетбытьполучениз

графифункации

y = f (x) сжатиемрастяжением(

)еговдольоси

Ох в k раз.

wГрафикфункции

y = f (−x)

можетбытьполученизграфифункации

Оу.

y = f (x) симметрическотражениемегоотносительном

wГрафикфункции

y =

f (x)

можетбытьполученизграфифункации

y = f (x)

следующимобр:чграфистьзомфункации

y = f (x) ,расположенной

нижеоси

Ох,симметричноотражаетсяотносительноэт, йстальнаячасть

остаетсябези менения.

y = f (

)

wГрафикфункции

можетбытьполучен

изграфифункации

y = f (x)

следующимобр:чграфистьзомфункации

y = f (x) ,расположенной

вобласти

х ≥0,остаетсябези менения,егочастьдляобласти

х<0заменяется

симметричеотраженотноосикимемтельно

Ох частиграф

икадля х≥0.

Основныеэлементарныефункции.

- степенная:

y = xn, n R .Областьопределениямножествозначений

зависятотпоказателя;

- показательная: y = ax, a > 0, a ≠ 1. D( f ) = {x

x R},

E( f ) = {y

y > 0};

-логарифмическая: y = loga x, a > 0, a ≠1 , D( f ) = {x x > 0},

E( f ) = {y y R};

-тригонометрические: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ;

-обратные тригонометрические:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x .

Всякаяфункция,котмобытьраяжетвнымобраззаданаспомощью
формулы,сод	ержащейлишьконечнчисларифмоопееитическихраций				элементарной
суперпоснэлемеозицийвныхфу, тарныхазываетсякций					элементарной
функцией.
	Упражнения10.		1
10Найти.областьопределения1. функций:а)		y =	1	;б)		;
10Найти.областьопределения1. функций:а)		y =	x2 −1	;б)		;
			x2 −1

в)

y = lg

x − 5

;г)

y = log2 (x2 + 6x + 9) +

;д)

2 + x − x2

arcsin(x −1)

ж)

y = 3

+ 3

;з)

y =

ln x

y = x2

10Найти.2множество. значефункций:а)

в)

y =

;г)

y =

sin x ;д) y = 2x − 3;е) y = 31−x2 ;ж)

y =

x + 2

10Каждую.3изфункций. представьтевидекомпозицииболеепростых

функций:

y = tg	1	;е) y = ctgπ x ;
	x

−1;б) y = ;

2x . x2 +1

а)

F(x) = (x10 +1)10 ;б)

F(x) =

; в)

F(x) = 2

;г)

F(x) = cos

;

д)

F(x) =

;е) F(x) = tg(4sin x ) .

f (x) = 2x4 − x2 + 3;

10Выяс.4четнос. нече( ите)фут:ьан) остькций

б)

f (x) = x5 − 3x3 + x ;в)

f (x) =

x −1

;г)

f (x) =

;д)

f (x) = sin x3 ;

1+ cos x

x2 +1

е)

f (x) =

; ж)

f (x) =

(x −1)x2

1− cos x

x −1

10Найдите.5функцию.

, обрдатннойую

, ипостройтеграфикиданной

обратнойфункций:)

y =

x − 3;б)

y =

;в)

y =

;г)

y = 2x2 −1, x ≤ 0 .

x − 2

3х − 2

10Постройте.6графи. фун:) кций

у = х2

− 5х + 6;б)

у =

;

х +1

y = 2 log2 (x + 4) ; г)

y = 3x 2 − 2 ;д)

#x − 3, x ≤1

в)

y = 2cos3x ;е ) y = $

%x2 + 4, x >1

Домашзадани№10. ее

1Най.

тиобластьопределенияфункций:а)

y =

;б)

y = log

3− x

;

7 5 + x

в)

y = ctg

;г)

y = arcsin

x + 3

2Определить. ,какиеизфункций

являютсячетилинечетными:

а)

y = x3 + x2 ; б)

y = x2 + 3x −1;в) y = cos x + x sin x ;г)

y = 5−x2 .

3Найдите.

, функциюобрдатннойую

, ипостройтеграфикиданной

обратнойфункций:)

y = 2x +1;б)

y = 2x ;в)

y =

x −1

x + 2

3− x

4Постро. граффун:аи) тькций

y = −3x2 +10x − 3 ;б)

y =

;

в) y = 3 2x+1 .

2 + x

Числоваяпоследовательностьеепредел

Числовойпоследовательностью

a1 , a2 , a3 ,…, an ,… называютфункцию,

заданнамножеснатуральныхуючисел,..ве

an = f (n), n N;

называют

общим или n-членомпоследовательности

Числовуюпоследовательностьможнозадать:

−

аналитически,..формулойее

n-огочлена

an = f (n). Пример:

an = 2 +

;

−

таблицей.Пример:

…

2 +

…

стро

кувтаблице,какправило,опускают;

–

граф.

ческизображенграфикчисловойпоследовательности

= 2 +

3	•	•	•	…
2		•


1
	1 2 3			4	n
			Рис.8

Число А называется предечисловойпоследовательностим

an = f (n),

есдлияположительногочисла

найдетакоесячисуральное

чтодлявсех

n > N

выполнянеравется

an − A

< ε .Запи

сывают:

lim an = .

n→∞

Пределфункциивточке

y = f (x) вточке

Определение 1.Число b называется пределомфункции

а,еслипоследовательностьзначенийфункциистремится

b,втовремякак

последовательзн ченийргумстр нтамитость

сяк а,несовпадаяним.

Определение 2. Число b называется пределомфункции

y = f (x) в

точке а

есдлякаждогоиположительногочисла

можноуказатьтакое

положительной

δ,чтодлявсех

отличных

а иудовлетв

оряющих

неравенству

x − a

< δ ,иместонеравенствоет

f (x) − b

< ε , т.е. lim f (x) = b.

x→a

x → a ,оставаясьприэтоммен ше

а (x<a),топишут

x → a − 0,а

число b

lim f (x) называют

функции

y = f (x) вточкеаслева

x→a−0

а (x>a),топишут

x → a + 0,а

x → a ,оставаясьприэтомбол ше

число b

lim f (x) называют

функции

y = f (x) вточкеасправа

x→a+0

Длясуществования

функциив необходимо

существование порознь иравенствопредесправаи л: ова

lim f (

= lim f (x) = A

x→a −0

x→a +0

Основныете пределахремы

Пусть lim f (x) и lim g(x) существуютиконечны.

	x→a	x→a
1)	limC = C, C − const ;
	x→a
2)	limC f (x) = C lim f (x), C − const ;
	x→a	x→a
		x→a
3)	lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x);
	x→a	x→a	x→a
4)	lim( f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x);
	x→a	x→a	x→a

5) lim

x→a

6) lim

x→a

f (x)		lim f (x)			, если lim g(x) ≠ 0;
	=	x→a
g(x)		lim g(x)
					x→a
		x→a			lim g ( x)
f (x)	g ( x)		=			.
				[lim f (x)]x→a

x→a

Бесконечнобольшие,бесконечномалыевеличины,связьмеждуними				α(x)			бесконечномалойвеличиной
Если limα(x) = 0,то				α(x)		называется	бесконечномалойвеличиной
	x→a		а.
(функци)вточкей			а.		бескбольшонечно		йвеличиной
Функция f(x)называется					бескбольшонечно		йвеличиной	(функцией)в
точке а, если lim f (x) = ±∞,					т.е.длюбогоячисла		E > 0 найдетсятакоечисло
		x→a	x, отличных			а иудовлнеравенствутворяющих			x − a
δ > 0,что длявсех										< δ ,
δ > 0,что длявсех										< δ ,
иместонеравенет			ство	f (x) > E ( f (x) < −E) .
Еслифункция			α(x)	являетсябесконечномалойточке			а,	тофункция
1		являетсябескбольшойтонечкено					а инаоборот .
f (x) =
f (x) =	α(x)
Свойствабесконбольшихесконечномалыхфункций							:
	1) Суммаконеч		ногочислабесконечномалыхфункцийбесконечно
малаяфункция.
	2) Произведебесконечномалойфунаограниченнуюиекции
функциювтом(численапостоянную,надругуюбесконечномалую)
бесконечномалаяфункция.
	3) Частноеотделб сконечнониямалойфункциина						ункцию,предел
которойотличбесконечнонуля, малаяфункция.

4)Произведебескбольшойфункциинечнонафункциюие,предел которойотличнуля,бескнбольшаяфункциянечно.

5)Суммабескбольшойфункциинечноограниченнойфункции

бескбольшаянечно	функция.
6) Частноеот	делбескниябольшойфункциинечнонафункцию,
имеющуюконечныйпредел,бескбольшаяфункциянечно.

Если lim

α(x)

= 1,то α(x) и

β(x)

называют эквивалентнымибесконечно

x→x0 β(x)

.Зап исываютα(x) β(x) .

малымифункциями

Замечатпредельные

sin x

Первыйзамечатпредельный

: lim

= 1.

x→0

Следствия: 1) lim

tg x

=1; 2)

lim

arcsin x

= 1; 3) lim

arctgx x

= 1.

x→0

Второйзамечатпредельный

1 x

: lim 1 +

= e.

x→∞

Следствия: 1) lim(1 + x)x = e; 2) lim ln(1 + x) = 1.

x→0

Пусть α(x) - бесконечномалаяфункцияпри

x → x0 .Пользуясь

определенималыхэквивалбесконечнофунт,замечательнымикцийых

пределамиследствиямиизнихможнополучитьследующуютаблицу

эквивалентныхфункций:

sinα(x) α(x); tgα(x) α(x); arcsinα(x) α(x);

arctgα(x)

α(x)

;

ln(1

α(x))

α(x)

; ( α ( x)

)

α(x)

−1

Пределотношениядвухбесконечномалыхфункцийизмен,еслэтится бесконечмалыезамнаэквивалентныеитьоим.

Методвычислпределовкания

1)Непосредвычислпределовтвенноение .

Этотмеподразумвычислпределовфункцийваетспомощьюие

применеосновтепнреиыхсвоймяделахбесконечномалыхтви бескбольшихвеличиннечно.

Пример.

3x2 +1

lim (3x2 +1)

3 lim x2 +lim1

= (2

−1)

31+1

=1;

а) lim(2x −1)

= lim(2x −1)x→1

= (2lim x − lim1) x→1 x→1

x→1

б)

lim

= lim 2 lim

,т.к.функция

y = x2 – бесконечномалаяпри

x → 0,то

x→0

функция

y =

будетбескбольшой,следовательнонечно,

lim

= ∞ .Значит,

x 2

x→0

lim

= ∞ .

x→0

2) Раскрытиенеопределенностей

Методыраскрытнеопревидя аеленности

а)разложениечислителязнамдробинамножителинателяс

послесокраедую. щениемим

Пример.

x2 − 2x

x(x − 2)

lim

= lim

= 2;

(x − 2)(x −1)

x→2 x2 − 3x + 2

x→2

(x −1)

б)исключениеиррациональ

ностиизчисзнаменателяли дроби;

− 3

(

− 3)(

+ 3)

Пример.

lim

2 + x

= lim

2 + x

= =

x − 7

x→7

(x − 7)(

2 + x + 3)

lim

x − 7

= lim

;

x→7 (x − 7)(

2 + x + 3)

x→7

2 + x

+ 3

в) использованиеэквивалентныхбесконечномалых

(5x)2

Пример.

lim

1 − cos10x

lim

2sin

2 5x

= lim

,т.к.

sin5x 5x,

1 − cos14x

2sin

2 7x

x→0

x→0 (7x)2

sin7x 7x при x→0.

∞

Раскрытнеопревидеаеленности

осуществляется

вынесениемза

∞

скобкив

числителе

изнаменател

дробистарш

ей

степени аргумента и

последующим сокращенидробинаэтустепеньм

Пример.

lim

8x −1

∞

x→+∞ x2 + 3x +1 +

x2 − 5x + 2

∞

x 8 −

= lim

x→+∞

1 +

+ 1 −

−

8 − 0

= 4 .

= lim

x→+∞

1 +

+ 1 −

1 + 0 + 0 +

1 − 0 + 0

Неопревидаеленность

(1∞ )

раскрываетсясведениемковторо

замечательномупределу.

Пример.

4x −1 3x+2

(

∞ )= =

4x + 3

− 4

3x+2

lim

x→∞

4x + 3

x→∞ 4x + 3 4x + 3

		− 4
	lim 1 +
	lim 1 +	4x + 3
	x→∞	4x + 3

4 x+3 −4
		(3x+2)	lim	−4(3x+2)
−4	4 x+3
				4x+3 = e −3 .
			= ex→∞

Неопревидаеленности

(

∞

) и (

)

преобразуютсяквиду

или

∞ − ∞

∞

Пример.

а)

x sin

0)=

= y x =

= lim

2sin y

∞

при x → ∞ y →

y→0

= 2lim

sin

2 1 =1;

y→0

(1 + x) − 2

б) lim

(

− ∞) = lim

1 − x2

x→1 1 −

x→1

= lim

= −

(1 − x

+ x)

(

x→1

	x −1		0
= lim		=		=
	1 − x2		0
x→1

Непрерывностьфункцииточке			y = f (x		непрерывной		x = x0 ,если:
	Функция		y = f (x	называется	непрерывной	вточке	x = x0 ,если:
1)	определенавт			очке x0 ;
2)	lim f	) =	lim	(x) = lim f (x) = A − const;
3)	x→x0 +0		x→x0 −0	x→x0
3)	A = f (x .
	Еслинарушенохотяодноусл,товий			).		x0 называется точкой
разрыва функции y = f				).
	В элемефункцияможтаимретазрывнаяьтехточках,где
онопределена.
Классификацииточекразрыва					перодавого	функции y = f (x),
	Точка	0 назывразрывается			перодавого	функции y = f (x),
есливэтосуществуютйчкеконечны					еодноспр,те..оронниеделы

y	x→x0	−0	x→x0 +0

перодадлявогофункции

lim

Рис.9

x→0+0

x→0−0

1 + e x

точкаразрыванаг

рафункцике,покраизаноисунке

второгорода

Точка 0

назывразрывается

есливэтосуществуетйчкеодин

y =	1	,т.к.
y =		,т.к.
= 1.Каквыгляд		ит
= 1.Каквыгляд		ит

функции y = f (x), йодносторонний

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019270.97 Кб11Реферат педиатрия.doc
#
11.07.2019129.02 Кб4РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛ....doc
#
19.11.2018412.67 Кб4Родыгин А.Д. Логика.doc
#
27.08.2019759.81 Кб6Сборник задач 2012.doc
#
27.05.2015165.89 Кб9сельхозпредприятия.doc
#
25.03.201624.24 Mб13Ситникова Математика Ч. 1 для менедж..pdf
#
12.09.2019334.85 Кб13Сквозная задача по налогообложению.doc
#
27.05.2015219.76 Кб6Содержание.doc
#
10.07.201949.66 Кб2Социология (1 семинар).doc
#
12.11.20192.64 Mб6статистика_лекции_2.rtf
#
20.09.2019841.87 Кб5Статья Содержание и процедуры составления конс...rtf