Ситникова Математика Ч. 1 для менедж

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вслучае,если

существует.

вслучае,если

существует.

частнаяпроизводная

Аналогичнымобозначается

частнаяпроизводная

попеременной

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

24.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

РАЗДЕЛV

ΙΙ.ФУНЕСКОКЦИИ

ЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ

Понятиефункциидвухпеременных

(x; y).

Пусть D

это упоряд

парчисел

Соответствие f,

каждойпаречисел

(x; y) D соподноиставляет

одействительное

z = f

y).

z ,называется функциейдвухпеременных

записываетсявиде

Приэтом

и y называются независимымипеременными

(аргументами),

а z – зависипеременной

(функцией).

Множество D = D( f

называется

областьюопределения

функции.

Множествозначений,принимаемых

z вобластиопределения,называется

областьюзначений

этойфункцииобозначается

E(f) или E.

Найтиобластьопределенияфункции

z =

4 − x2 − y2

Решение.

Функциядвухпеременных

4 − x2 − y2 ≥ 0.

множество пар (x; y)

таких,что

Записывают:

D( f ) = {(x; y)

4 − x2 − y 2 ≥ 0}.

Геометрическиобластьопределения

Oxy,

2 y

представнекоторуючастьлоскостияет

изображающуюнеравенство

4 − x2 − y2 ≥ 0.В

Рисунок 23

ирадиусом

R=2.

являетсянекповето, редставляющаяхнсобоймножествостьвсехточек

Графифункцииом

двухпеременных

(x; y; z),

z = f (x; y) называется

пространства

Oxyz

скоординатами

где

аппликатой точки.

На

рисункеизображен23 фун

z =

4 − x2 − y2

представляющийсобойполусферуцентромточке

O(0;0;0) ирадиусом R=2.

Частныепроизвпервогопоряддныедвухп ацииременных

z = f (x; y).Т

и y

Пустьфункция

как

–

независимые

переменные,тооднанихизменяться,адругаясохранятьсвое

x приращение

x ,сохпраняяи

значение.Придадимпеременной

этом

.Тогда

получитприращение,котороеназывают

частным

по x иобозначают

x z .Итак,

z = f (x + x; y) − f (x; y).

Аналогичнополучаем

частноеприращение

z по y:

z = f (x; y + y) − f (x; y).

Частная

функции

z = f (x; y)

вточке

M (x; y)по

переменной x

следующимравенством:

		На длянахожденияпро спзвользуютдных
правила,чтоивслучаедифференфункоднойцирования
переменной,приэтом					zʹx ,полагают		y постоянной,апринахождении
zʹy	– .
Пример.			Найтичастныепроизводные				z = 4x + e x2 − y + 3.
Решение.
zʹ	=	x + ex2 −y		+ 3)ʹ = x)ʹ +	2 −y )ʹ	+ (3)ʹ = 4 + ex2 −y (x2 − y)ʹ + 0 =
x				x	x	x	x
= 4		x2 −y (2x − 0) = 4 2x e			y ;
zʹ	= x + e x2 − y			3) = + e x2	(−1) + 0 = −e x2 − y .
y

Геометрическийсмыпроизводныхтныхл

α	Рис.24.
кривой z = f (x	0 )

Графифункомции			z = f (x; y),
некповерхностьто. ая
производной	zʹx	вточке(	x0;y0).
Полагаем	y = y0 ,тогдаграфик
функции	z = f (x; y ) естьлиния
y = y .Исходяизгеометрического
переменной,заключаем,			что
zʹx (x0 ; y0 ) = tgα ,где		α –	уголмежду

осью Ox икасательной,проведенной

M x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )) (рис.24).

Аналогично,

zʹy (x0 ; y0 ) = tgβ ,где

β – уголмеждуосью

Oy икасательной,

проведеннойккривой

z = f (x0 ; y) вточке

M 0 (x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )) .

Частныепроизввысшихпорядковдные

zʹx

и zʹy называются частнымипроизводными

Частныепроизводные

первогопорядка

. Онитожеявляютсяфункциядвухпеременныхи

x и y.Эти

функциимогутиметьчастныепроизв,котназордныеваются

частными

произввтпорядкарогодными

иопредслеобразомдуля:ютсящим

zʹʹ

)

;

zʹʹ

)

;

zʹʹ

)

;

zʹʹ

)

ʹ.

Аналогичноопределяютсячастныетретьегоизводные..порядка.

Частныепроизводные

вторилибовыслеегопо,взятыерядкакогопо

различнымпеременным,называются

смешаннымичастнымипроизводными

Например,

zʹʹ .

Приэтомследуучитывать,чтоеслипроизввысшегорядкадные

непрерывны,тосмешанныепроизводнодныег

опорядка,отличающиесялишь

порядкомдиффере,равмеждунсобойы.цированияТак,например,

zʹʹ

= zʹʹ .

Поэтомунапрактикедостнайоднуточноизакихпр .изводных

Пример.

Найтичастныепроизввторогопорядфункциидныеа

y = x3 − 3xy2 + y3 + 2.

Решение.

Таккак

zʹ

= 3x 2 − 3y 2

и zʹ

= −6xy + 3y 2 ,то

zʹʹ

= (3x2

− 3y2 )ʹ = 6x, zʹʹ = (3x 2 − 3y 2 )ʹ

= −6 y ,

zʹʹ

= (−6xy + 3y 2 )ʹ = −6x + 6 y .

Экстремумфункциидвухпеременных( аксиминимумум

м)

δ-окрестностьюточки

M 0 (x0 ; y0 )

называетсямножествовсехточек

M (x; y)

плоскос,координатыудовлетворяюторыхнеравенству

(x − x0 )2 + (y − y0 )2

< δ .Сгеометточкизрения,ической

δ-окрестностьточки

M 0 (x0 ; y0 )

– этовсевнутренниеточкикругасцентром

М0 ирадиусом δ.

функция

z = f

•

f(x0;y0) f(x;y)

N1 • ••

x	Рисунок 25

(x; y) определенавнекоторойобласти				D,точка
	(x ; y ) D .
•	Точка		(x0 ; y0 )	называется
	точкоймаксимума			функции
•
	z = f (x; y),ес		лисуществует
	такая	δ-окрестностьточки
	(x0 ; y0 ),чтодлякаждойточки
y	(x; y),отличнойточки			(x ; y )
	,изэтойокрестности
N2 • •	выполнянераветсянство
	Точка		(x0 ; y0 )	называется

минимума	функции	z = f (x; y),е литакая		δ-окрестность
(x0 y0 ),чтодлякаждойточки		(x; y	отточки	(x0 ; y0 ),изэтой
выполняераветсянство		f (	) > f (x0 ; y0 ).
Нарисунке25:	N2 – точкамаксимумафункции			z = f (x; y).
1 – минимума,
Значениефункцииточкемаксми(му)ниазываетсямума
(минимумом) функции,или			экстремумами функции.

Напрактикемаксимум минимумфункциинах дятмощью идостатсуществованиячноговийэкстремума.

Необхусловфункциидмое

д	ифферефункцияцируемая		имеетэксв очкеремум
	,то производнэторавныйчкенулю: е
		.

	Критическими точками функцииазываютсявнутренниеточки
определения,вкоторыхчастные			ервпоравныгоядка
лхотябыиоднаизчастныхпроизводныхнесуществует.
	Однаконелюбаякритичеточкабудетэксткаяфункцииремумом.		O(0;0) для
,подтверждающимэтотфактможетслужитьточка
	z = xy,	котораяявляекритичточкойся,ноявляетсяской
функции. средикритичеточекуточкиэкстремумаких
выявляютспомощью		достаточного	:

			75

Пустьвкритическойточке			инекееокрестноститорой
функция		имнеетпрерывныечастныепроизводныедо
второгопорядкавключительно.Вычислимточке				значения
			.Обозначим
			.
Тогда: 1)	если	тофункциявточке	имеетэкс: ремум
мак,еслиимум	А<0 ;минимум,если		A>0; если2)	тофункцияв
точке	экстремуманеимеет.
Вслучае	=0эксвтремумочке		можетбыть,аможетнебы. ь
Необходимодополнительноеисследование.

Плнахожденияэкстремумовфункции:						z = f (x; y);
1) найтикритическиеточкифункции						z = f (x; y);
2) найтизначениеопред лителя						длякаждойизкритическихточек;
3) всоответствиидостатуслэкстрчнымвиемсдвыводлатьмуманаличии
внейэкстремумаинайтиегозначение.						z = 3xy − x3 + y3 .
Пример.		Найтиэкстремумфункции				z = 3xy − x3 + y3 .
Решение.			1)	zʹx = 3y − 3x2 ;		zʹy = 3x + 3y 2 .Точки,вкоторыхчастные
произвнесущеотсутствуют, дные.
	Найдемточки,вкоторыхониравнынулю,решаясистемууравнений:
3y − 3x 2			= 0 .
3x + 3y 2			= 0
	Получаемследующието				чки:	M1 (0;0), M 2 (−1;1) .
	Получаемследующието				чки:	M1 (0;0), M 2 (−1;1) .	zʹʹ = −6x, zʹʹ = 3,		zʹʹ = 6 y .
2)Находимчастныепроизввторогопорядка:дные							zʹʹ = −6x, zʹʹ = 3,		zʹʹ = 6 y .
							xx	xy	yy
	Вточке		M1 (0;0) имеем:		A=0, B=3, C=0, тогда		= AC − B 2	= 0 − 32	= −9,т.е.
	< 0.		M 2 (−1;1) имеем:		A=6, B=3, C=6, тогда		= AC − B 2 = 6 6 − 32 = 27,
	Вточке		M 2 (−1;1) имеем:		A=6, B=3, C=6, тогда		= AC − B 2 = 6 6 − 32 = 27,
т.е.	> 0.		M1 (0;0) экстремуманет.
3)Вточке			M1 (0;0) экстремуманет.
	M 2 (−1;1) – точкаминимума(					A=6>0),
	zmin	= z(−1;1) = 3 (−1) 1− (−1)3 +13 = −1.
Условныйэкстремумфункциидвухпеременных
	Инпрактикеогдавозадникаетхождечаэкстремумафуниякции
двухпеременных				x и y	вслучае,когдаэтип ременныенеявляются

				76
независимымидруготдруга.Соотмеждуниопшениемисывается
уравнением ϕ(x; y) = 0,котороеназывается					уравнениемсвязи		.Такаязадача
нахождеэкстремумафуниякции				z = f (x; y)		приусловии,что		x и y
удовлетуравнениюс язиоряют				ϕ(x; y) = 0		иноситназадачивание
нахожденияусловногоэкстр			емума.
Способрешенияэтойзадачизависитоттого,явлураяетсяисвнениези					x или y.
разрешимымотноднойсительноизпеременных
1) Еслиуравнение		ϕ(x; y) = 0 разрешимоотн днсительноизпеременныхй						x
или y,тогдаизур связивыражаютнения					однупеременнуючерездругуюи
подставляютнайденноевыражениефункцию						z = f (x; y).Врезультате
получаютфункцию		z	однойпеременной		x	или y	иисследуютеена
экстремум.		ϕ(x; y) = 0 неразрешимоотн днсительной
2) Еслиуравнение							зпеременных
x или y,тогдасоставляюттакназываемую						функциюЛагранжа		:
F(x; y; λ) = f (x; y) + λ ϕ(x; y),где				λ	– вспомножительогательный,
исследуютеенаэкстремумкакфункциюп ременных.					z = 2x − y ,ес ли x2 + y2
Пример.	Найтиусловныйэкстремумфункции							= 4.
Урасвязинение			x2 + y2 = 4	неможетбытьразрешеоднозначно
относительнопеременной			x		или	y.Преобразуемего:
x2 + y2 = 4 x2 + y2 − 4 = 0.
СоставимфункциюЛагранжа:			F(x; y;λ) = 2x − y + λ (x2 + y2 − 4).
Найдемчастныепроизводные				первогопорядфункации				F (x; y; λ):

Fxʹ = 2 + 2λx , Fyʹ = −1 + 2λy, Fλʹ = x2 + y2 − 4.

																												2 + 2λx = 0
		Решаясистемууравнений																										−1 + 2λy = 0						,находимкритическиеточки
		Решаясистемууравнений																										−1 + 2λy = 0						,находимкритическиеточки
																												2	+ y		2	−	4 = 0
																								x					+ y			−	4 = 0
				4			2										4					2
M				4		;	2			;		5					4					2							5
	1	−											, M			2				;−				;−						.
		−											, M							;−				;−						.
				5				5			4						5					5						4
				5				5			4						5					5						4
		Длякаждойиз													критическихточексо																ставляемопределитель								:
											0						ϕ		ʹ ( x ; y				0			;λ )					ϕʹ ( x ; y			0		;λ )
																			x			0	0					0				y	0	0		0			( x		; y
			= −				ϕ	ʹ	( x ; y					0	;λ )		F		ʹʹ		( x ; y				0		;λ )				F ʹʹ		( x ; y		0		;λ )	,где	( x	0	; y	0	;λ ) –
								x			0			0	0			xx				0			0		0					xy	0		0		0			0		0	0
							ϕ	ʹ	(x ; y					0	;λ )		F		ʹʹ		(x ; y				0		;λ )				F ʹʹ		( x ; y		0		;λ )
								y			0			0	0			xy				0			0		0					yy	0		0		0
координатыкритическойточки.
		Сначаланаходимчастныепроизвпервогопорядфундныекации
ϕ(x; y) = x2 + y2 − 4 ичастныепроизввторогопорядфундныекации
Лагранжа F(x; y;λ) = 2x − y + λ (x2 + y2 − 4):
		ϕʹ			= 2x; ϕʹ								= 2 y; Fʹʹ								= 2λ; Fʹʹ									= 0; Fʹʹ					= 2λ.
			x									y						xx											xy				yy

																			77
		Тогда										8			4									8			4
						0				−												0				−


												5			5									5			5
						8						5			5							8		5			5
(M1) = −												5			0		= 8			>0, (M 2 ) = −					5		0		= −8		< 0
					−							5							5				−		5					5
										2														2
						5																5
						5																5
						4				0						5					−	4		0		−		5
															2												2
						5																5
						5				4				2				10				5
										4				2				10
		Значит,					z		−				;		= −				– условныйминимум,

										5				5				5
										5				5				5
	4			2				10
z			;−			=					– условныймаксимум.

	5			5					5
	5			5					5

Упражнение15

15.Найти1 области

пределенфункциизобразитяй

полученное

множествокоординатнойплоскости:)

z =

;б)

z =

;

x + y

в)

z = ln(x + y) ;г) z = arcsin

15.2Постролинииуровняследтьфу:а)нкцющихй

z = xy :

y − x2

б) z = x + y ;в)

z =

;г) z =

z = x3 + 3x2 y − y3 ;

15.3Найтичастные. производныеотфункций:а)

б)

z =

;в)

z = x2 sin y ;г)

z = x

;д)

z =

;е)

z = arctg

;

x − y

ж)

z = xye2 x+3y .

15.4Найтичастные. произввторогопорядка:)дные

z =

;

1− 2y

z = xey ;в)

z = sin x cos y ;г)

z = ln(x + exy ) ;д)

z = x2 y .

б)

15.5Найти. экстремумыфункции:

а)

z = x2 + y2 + xy − 4x − 5y ;

б) z = y2 − x2 + xy − 2x − 6y ;в)

z = y

− y2 − x + 6y ;г)

z = x2 y − y3 − x2 − 3y2 + 3;

д) z = ex 2 (x + y2 ) .

15.6Найтиусловные. экстремумыфункции:

2x + 5y =100 ;

а)

z = xy2 при x + 2y = 4 ; б)

z =

при

в)

z = 2x + y при x2 + y2 = 5 .

15.7Найтивыс. радиусоснованиятуцилиндранаибольшегообъема,

еслиегоп поверхностьлнаяравна

6π .

15.8Общиеиздержки. производствазаданыфу

нкцией

z = 0, 5x2 + 0, 4y2 + 0, 6xy + 700x + 600y + 2000 ,где

х и у – количествотоваровА

В.Общееколичествопроизведенпродукциидолжбытьравно500ед. й

СколькоедиництовараАВнужнопроизводить,чтобыиздержкинаих

изготовлениебылиминимальными?

Домашзадани№ ее

1Найти. частныепроизводныефункций:

z = 2x2 − xy2 + 3x2 y − 2y3 + 3x − 4y +1;б)

z = arcsin(xy) ;в) z = e−

а)

;

г)

z = ln( + ) .

z = x2 + y2 − xy + 9x − 6y + 20 ;

2Найти. экстремумыфункций:а)

б) z = xy2 − xy3 − xy (x > 0, y > 0) ;в)

z =

3Найти. условныеэкстремумыфункции:

2 + y2

а)

z = x2 + y2 − xy + x + y при x + y + 3 = 0 ;б)

z =

при x + y = 2 .

Задомашнейанияконтрольнойработы№1

1Провести. полноеисследованиепостр

1	y =	1		x3	− 2x2 − 2x + 3
	y =			x3	− 2x2 − 2x + 3
	3
	3					3
	y = x2 +					3
	y = x2 +					x
			2			x
3	y =		2	x3	− 3x2 − 2x + 4
	y =			x3	− 3x2 − 2x + 4
	3
	3						3
	y = 2x +						3
	y = 2x +						x − 2
							x − 2

5y = x3 − x2 −3x + 5 y = −x2 + 3x

7 y = 2x3 −

x2 − 3x + 6

y = 4x2 +

y = −

x2 + 2x − 8

y = 5x −

x + 3

y = −

+ 3x2 + 3x − 5

y = −2x +

x − 3

y = −x3 +

x2 + 2x − 4

y = 2x +

x −1

y = −2x3 + x2 + 5x −3

	15	6
	y = −3x2 +
		x

y =	1	x3	+ 2x2 − 3x − 5
y =	3	x3	+ 2x2 − 3x − 5
17	3				3
17
y = 5x −
y = 5x −				x + 2
	2			x + 2
y =	2	x3		− x2 − 3x + 4
y =	3	x3		− x2 − 3x + 4
19	3				2
19
y = −5x +
y = −5x +					x −1
					x −1

Приложения

оитьграфифун. кций

y = −2x3

+ 2x2 + 3x − 5

y = 3x −

x + 2

y =

+ x2 − 4x + 6

y = −2x2

y =

−

x2 − 4x + 5

y = −3x +

x + 3

y = x3 + x2 −5x −3

y = −4x −

x −1

y = 2x3 + x2 − 5x + 2

y = −5x2

y = −

+ x2 + 2x + 3

y = x2 −

y = −

+ x2 + 3x − 2

y = 3x −

x +1

y = −x3 + x2 + 4x + 5

y = 2x +

x − 2

y = −2x3

x2 + 4x − 3

y = 4x2

y =

− x2 − 5x + 4

y = 5x2

21	y = x3 + 2x2 − 2x + 5											22	y = −x3 + 2x2 + 3x − 4
21	y = 2x2 −								3			22	y = −x +									3
									3													3
									x										x − 3
									x										x − 3
23	y = 2x3 − x2 − 4x + 3											24	y = x3 −						1		x2 − 4x + 5
23	3											24	y = x3 −						2		x2 − 4x + 5
	3																		2
	y = x −																					3
	y = x −						x + 3						y = −2x					2				3
																			+
																			+						x
25	y = −				1	x3			− 2x2 + 4x − 5			26	y = 2x3 +							1					x2 − 3x − 3
	y = −					x3			− 2x2 + 4x − 5				y = 2x3 +												x2 − 3x − 3
	3																		2
	3																		2
	y = −4x2 +									8			y = 2x +						6
	y = −4x2 +												y = 2x +						x −1
				2							x				1				x −1
27	y = −			2		x3			+ 2x2 + 4x + 3			28	y = −		1		x3 − x2 + 5x + 2
	y = −					x3			+ 2x2 + 4x + 3				y = −				x3 − x2 + 5x + 2
	3												3
	3								2				3									2
	y = 3x2 +								2				y = −4x +									2
	y = 3x2 +								x				y = −4x +								x − 3
									x												x − 3
29	y =	2	x3 + x2 − 5x + 3									30	y = −	2		x3 +								3		x2 + 4x − 5
		2												2										3

	3												3									2
	y = 4x −								3				y = −5x2 −										3
																									x
								x − 2
								x − 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019270.97 Кб11Реферат педиатрия.doc
#
11.07.2019129.02 Кб4РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛ....doc
#
19.11.2018412.67 Кб3Родыгин А.Д. Логика.doc
#
27.08.2019759.81 Кб6Сборник задач 2012.doc
#
27.05.2015165.89 Кб9сельхозпредприятия.doc
#
25.03.201624.24 Mб13Ситникова Математика Ч. 1 для менедж..pdf
#
12.09.2019334.85 Кб13Сквозная задача по налогообложению.doc
#
27.05.2015219.76 Кб6Содержание.doc
#
10.07.201949.66 Кб2Социология (1 семинар).doc
#
12.11.20192.64 Mб6статистика_лекции_2.rtf
#
20.09.2019841.87 Кб5Статья Содержание и процедуры составления конс...rtf