Давыд Цуриков. Диссертация. 2015 г

81

ских токов через неё в рамках формализма Ландауэра–Бюттикера (224) следует найти её S-матрицу с помощью сетевой формулы (167). Это можно сделать на основе S-матриц типовых узлов сети (рис. 16) с учётом конкретизации её структуры (238). При этом будем полагать, что локальные системы координат при узлах связаны друг с другом поворотом и трансляцией (рис. 17).

S-матрицы Q- и Y-узлов

Для расчёта S-матриц Q- и Y-узлов можно использовать один из методов, предложенных в подразделе 2.2.3. Преимуществом метода ГУР (117), (116) является его универсальность и наглядность. Однако на данный момент не все вычислительные пакеты поддерживают постановку нелокальных граничных условий. Более простыми для реализации прямого численного расчёта на основе триангуляции являются методы DN- и ND-map.

S-матрицы Q- и Y-узла найдём методом ND-map (127), (129) в вычислительном пакете FreeFem++. Расчёты показали, что в сравнении с DN-map для потоковой матрицы рассея-

ния С++ , рассчитанной с его помощью, лучше выполняется условие унитарности (200).

Поэтому метод ND-map является предпочтительным.

S-матрица I-узла

S-матрицу I-узла найдём аналитически с помощью ГУР. Для краткости в этом подразделе редуцируем его идентификатор. Конструктивно он представляет собой участок двумерного волновода, к которому приложено электрическое поле (рис. 18). Рассмотрим I- узел с потенциалом вида

Рис. 18. Конструкция I-узла: 1 – металл, 2 – диэлектрик, 3 – полупроводник; A – длина узла, B – ширина узла,

E – напряжённость поперечного электрического поля.

84

3.3. Логический элемент NOT в двумерном электронном волноводе

Управляющими элементами QIY-сети, предложенной в разделе 3.2, являются I-узлы. С их помощью посредством изменения напряжений на латеральных затворах модифицируются рассеивающие свойства сети и, следовательно, электрические токи через неё. В данном разделе выясним, насколько эффективно I-узел может влиять на рассеяние электронов. Для этого решим задачу инверсии потоков в каналах двумерного электронного волновода посредством I-узла. В этом разделе также всюду опустим его идентификатор.

3.3.1.Проект устройства

Сточки зрения компьютерной техники, инверсия электронных потоков в двух каналах эквивалентна логической операции NOT. Двухуровневая система в этом случае формируется за счёт эффектов размерного квантования в двумерном волноводе. Функциональность элемента достигается за счёт управления электронным транспортом через него внешним электрическим полем в I-узле (рис. 18).

Рассмотрим диапазон энергий электрона, соответствующий двум открытым каналам:

ε (λ2=,λ3=) , O ={11,12 ,12 ,22 } . Пусть электрон падает на узел только из 1-го канала 1-го рука-

где p – вероятность того, что электрон пройдёт сквозь узел, изменив канал. Ассоциируем поток в 1-м канале с логическим нулём («0»), а поток во 2-м канале – с логической едини-

Рис. 19. Схема работы логического элемента NOT в двумерном электронном волноводе: преобразование «0» в «1» и «1» в «0».

85

На рисунке 19 сплошные линии – энергии каналов λ1= и λ2= , стрелки на них указывают направление электронного потока в каналах. Штриховые линии и стрелки на них иллюстрируют принцип работы устройства: смена электроном канала с вероятностью p при уп-

ругом рассеянии в узле.

3.3.2. Оптимизация параметров

Наиболее эффективно устройство будет работать в случае, когда значение p будет близким к 1. Для этого оптимизируем параметры задачи (242) ε , ε , a с помощью гене-

тического алгоритма (приложение G). В качестве примера рассмотрим следующие диапа-

зоны: ε (λ2=,λ3=) , ε [−700,−100], a [0.1,1.5] . S-матрицу I-узла, отвечающую за эффек-

тивность работы устройства согласно (258) и (198) вычислим посредством (121) и (257). В результате расчётов был найден набор параметров, отвечающих локальному макси-

муму функции p . Зафиксируем значения ε и a , построим график вероятности p как функции энергии ε (рис. 20).

Рис. 20. Эффективность работы логического элемента NOT:

ε = −547 , a = 0.452 , εmax = 57.3 , pmax = 0.971 , ε =15.

Из рисунка 20 видно, что найденные значения параметров обеспечивают эффективность работы логического элемента NOT, близкую к 100%. Так как важной характеристикой прибора также является рабочий диапазон энергий электрона, обозначим за ε ширину пика на уровне p = 0.9 . В данном случае ε =15.

Для оценки параметров устройства в случае конкретных материалов перейдём от безразмерной задачи к размерной. Найдём длину и ширину узла, а также напряжённость внешнего электрического поля на основе проведённых расчётов, зафиксировав размерный рабочий диапазон энергий E . Из (241) получим

86

Рассчитаем параметры устройства (259) для полупроводников из таблицы 9. Положим

Как видно из таблицы 11, высокая (> 90%) эффективность работы логического элемента NOT достижима при ширине волновода, существенно превосходящей постоянную решётки (табл. 9). Это говорит о применимости используемой при расчётах зонной теории твёрдого тела. Напряжённость электрического поля укладывается в принятый диапазон

вышается. Это связано с тем, что его функциональность обеспечивают эффекты размерного квантования, которым способствуют как большое электрическое поле, так и малая ширина волновода. В целом высокая эффективность логического элемента NOT говорит о возможности гибкого управления рассеянием электронов посредством I-узла.

3.4.Двухузловой переключатель

вдвумерной полупроводниковой структуре

Рассмотренная в разделе 3.3 модель логического элемента NOT является в большей степени теоретической, чем практической. В ней было показано применение эффектов размерного квантования для простейшей логической операции, но не рассматривался вопрос об измерении потоков в каналах. Для этих целей можно использовать элемент квантовой сети, разделяющий потоки в каналах по отдельным рукавам. Однако при этом оба элемента должны иметь близкий рабочий диапазон энергий, что усложняет численное моделирование и практическую реализацию.

87

С практической точки зрения, для наноэлектроники больший интерес представляет переключатель – устройство, направляющее ток из входного рукава в один из выходных. В этом разделе будет предложена модель переключателя на основе QIY-сети. Используемый в расчётах формализм Ландауэра–Бюттикера [25, 26] позволит учесть статистику электронов в полупроводнике, что особенно важно для моделей наноустройств, работающих при комнатной температуре.

3.4.1. Проект устройства

Структура и эффективность

В последнее время в литературе широко обсуждается переключатели, функционирующие за счёт квантовых эффектов в двумерном электронном газе [47–54]. Для этого устройства характерно наличие в области ветвления (в Y-узле) внешнего электрического поля, управляющего электронным транспортом. Согласно проекту QIY-сети (раздел 3.2), в Y-узлах электрическое поле отсутствует. Тем не менее, на её основе можно смоделировать устройство с функциональностью переключателя (рис. 21a). Его особенностью является то, что управляющее электрическое поле предшествует области ветвления (рис. 21b).

Drain

Рис. 21. Двухузловой переключатель. a – структура; b – конструкция:

1– металл, 2 – диэлектрик, 3 – полупроводник.

Втерминах QIY-сети структура двухузлового переключателя (237) запишется в виде

При этом верна конкретизация (238). Электрические токи через данную сеть будем вычислять с помощью развитой в главе 2 объединённой схемы расчёта. Поскольку она включает в себя формализм Ландауэра–Бюттикера [25, 26], такой расчёт позволит учесть статистику электронов в полупроводнике.

88

Эффективность работы переключателя – это относительное смещение тока в один из выходных рукавов. Выберем в качестве целевого рукав 3 (см. подраздел 3.4.2). Тогда эффективность устройства формализуется как

Относительное смещение (261) является функцией параметров переключателя. Для поиска её максимума определим фиксированные и варьируемые при оптимизации величины.

Параметры

Следуя подразделу 3.2.1, определим сначала значения и диапазоны изменения размерных параметров. В первую очередь, примем для переключателя установленные там же

геометрические характеристики QIY-сети (239). Для длины рукава 1 A1 и длины I-узла

A I выберем диапазон значений 10–50 нм.

Диапазон значений для уровня Ферми переключателя EFsw – область между энергия-

ми первого и третьего канала: EFsw (E=1, E=3 ) (табл. 10). Очевидно, это является предпоч-

тительным, так как в реальном эксперименте наблюдение высших каналов затруднено.

при решении подобных задач типичные значения напряжений смещения 10 мВ [41, 43].

Выберем для расчётов U = 50 мВ.

Как было принято для QIY-сети, температура всех резервуаров одинакова (229). Поскольку для наноэлектроники наиболее интересны устройства, работающие при комнат-

ной температуре, положим T = = 300 K . Наконец, с учётом заявленных в подразделе 3.2.1

максимально допустимых напряжённостей управляющих электрических полей положим

E I = −108 –0 В/м.

с учётом таблицы 8 для процедуры оптимизации получим таблицу 12.

89

Таблица 12. Значения и диапазоны безразмерных параметров

двухузлового переключателя

3.4.2. Оптимизация параметров

Оптимизация

Эффективность переключателя (261) определяется отношением протекающих через него электрических токов. Для их вычисления применим предложенную в главе 2 схему расчёта квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах. В данном случае она запишется следующим образом.

1.Расчёт S-матрицы Y-узла (рис. 16c) при r Y =1/ 2 и b Y =1 методом ND-map согласно

(127) и (129).

2. Расчёт S-матрицы I-узла (рис. 16b) при b I =1 и текущих значениях a I и ε I согласно

(121) и (257).

3.Расчёт S-матрицы переключателя (рис. 21a) согласно (167), (160) и (236) при b1 =1 и

текущем значении a1 .

4.Расчёт безразмерных электрических токов на основе S-матрицы переключателя со-

гласно (224) и (198) при фиксированных μ= , υ (табл. 12) и текущем значении εFsw .

Найдём максимум эффективности переключателя δ sw (261) как функции его варьи-

руемых параметров a1 , a I , ε I , εFsw . Для этого оптимизируем их в заданных диапазонах

(табл. 12) с помощью генетического алгоритма (приложение G). В представленной выше схеме на основе него организуется цикл обработки п. 2–4 до достижения максимума

функции δ sw , при этом п. 1 осуществляется однократно. Такая организация расчётов обеспечивает высокую скорость оптимизации. Её результаты запишем в терминах размерных параметров устройства (табл. 13).

90

Таблица 13. Оптимальные параметры и эффективность

двухузлового переключателя (T = = 300 K)

Оптимизация параметров при альтернативном смещении тока (в рукав 2) дала мень-

шие значения δ sw (результаты не приводятся). Поэтому в определении эффективности переключателя (261) в качестве целевого был выбран рукав 3.

Интерпретация

Поскольку при оптимизации длина рукава 1 стремилась к нулю, в таблице 13 было положено A1 = 0 . Длина управляющего I-узла для всех полупроводников близка к минимальному возможному значению, а модуль напряжённости электрического поля – к максимальному. С уменьшением эффективной массы электронов оптимальный уровень Ферми приближается к энергии второго канала (табл. 10). Для всех трёх материалов относительное смещение тока в рукав 3 имеет значение 77–78%, что говорит о высокой эффективности переключателя.

Построим вольт-амперные характеристики (ВАХ) двухузлового переключателя с параметрами из таблицы 13 (рис. 22). Для всех полупроводников ВАХ сходны по форме, но отличаются по величине тока. Большие токи наблюдаются через переключатели из материалов с меньшей эффективной массой электронов. Этот результат находится в согласии с экспериментами, показавшими, что квантовые эффекты в электрических характеристиках TBJ на базе полупроводников с более низкой подвижностью выражены слабее [46].

Дополним ВАХ переключателя таблицей относительных токов (табл. 14). Из неё видно, что в рассмотренном диапазоне напряжений оптимальная эффективность устройства (261) составляет не менее 77% для всех трёх материалов. Погрешность проведённых расчётов можно оценить снизу на основе полного тока (219) по величине невязки. В данном случае она составляет менее 0.001%, что является приемлемым значением.

Поскольку ВАХ переключателя близки к линейным (рис. 22), его проводимость (221) на данном участке слабо зависит от уровней Ферми резервуаров. Применим для неё приближение малых напряжений смещения (227): σ[0,3,2] ≈σ[0,3,2] (табл. 15). Здесь для прово-