Давыд Цуриков. Диссертация. 2015 г
..pdf51
Расположение границ рукавов в сети можно выбрать произвольным образом, в частности, так, что
{ak = 0}k I |
(165) |
Тогда согласно (158), (160) и (165) получим
|
[J,K]JJ |
|
JL |
|
|
|
[J,K]JK |
|
JK |
|
|
||||
S[J,L] = S |
|
O |
|
|
+ |
S |
|
|
O |
|
|
× |
|
||
|
OLJ S[K,L]LL |
|
|
OLK S[K,L]LK |
|
(166) |
|||||||||
|
|
[J,K]KK |
|
|
[J,K]KK |
|
−1 |
[J,K]KJ |
|
KL |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
× −S |
|
U |
|
|
|
|
S |
|
O |
|
|
|
|||
U[K,L]KK −S[K,L]KK |
|
|
OKJ S[K,L]KL |
||||||||||||
В формуле (166) отсутствует элемент exp(−iK KK AKK ). Следовательно, в случае «безру-
кавной» сети (165) операция объединения (164) упрощается. Формально это удобно. Однако длины рукавов – это параметры, влияющие на S-матрицу сети. Их учёт принципиально важен при проектировании сетей с предопределёнными транспортными свойствами.
С помощью (164) запишем сетевую формулу – выражение для S-матрицы произвольной квантовой сети:
A N |
(167) |
S[E] = S[A] |
Здесь кортеж N также задаёт порядок объединения узлов сети посредством (167). Существенной особенностью формулы (167) является то, что она записана в терминах
расширенных матриц рассеяния. Это позволяет корректно учесть закрытые каналы в сети при вычислении её транспортных свойств. Следовательно, в расчётах корректно учитываются туннельные эффекты между узлами, что особенно важно для сетей, в которых есть короткие рукава.
Резюме
Таким образом, в данном подразделе была предложена формула для S-матрицы квантовой сети в терминах S-матриц её узлов. За счёт развитой в подразделах 2.2.1 и 2.2.2 системы обозначений формула имеет следующие преимущества:
•наглядность – лаконичность и простота интерпретации всех составных элементов;
•универсальность – применимость к квантовым сетям произвольной структуры;
•алгоритмичность – удобство в реализации вычислительной процедуры.
Данные преимущества особо актуальны как в аналитических (приложение D), так и в численных расчётах (приложения E, G).
52
2.3. Квантовый электронный транспорт
Изложенный в разделе 2.2 подход позволяет эффективно рассчитывать рассеивающие свойства низкоразмерных полупроводниковых структур в модели квантовой сети. Как упоминалось в разделе 2.1, это лежит в основе вычисления электронного транспорта в них. Электронный транспорт также определяется статистикой носителей заряда в структуре. Учесть её позволяет формализм Ландауэра–Бюттикера [25, 26]. В данном подразделе он будет адаптирован к развиваемой в работе схеме расчёта. Предварительно для этого будет последовательно рассмотрен переход от рассеивающих свойств структуры к её потоковым свойствам. Как и в подразделе 2.2.3, для краткости изложения здесь редуцирован идентификатор узла.
2.3.1. Потоки вероятностей и S-матрица
Известно, что в формализме Ландауэра–Бюттикера фигурируют вероятности рассеяния носителей заряда в квантовой сети. Связь вероятностей рассеяния с S-матрицей можно установить на основе выражений для потоков вероятностей в рукавах.
Потоки вероятностей
Поток вероятности в квантовой механике определяется через волновую функцию частицы во временном представлении [21, с. 68]. Поскольку в данной работе рассматривается рассеяние электрона с фиксированной энергией на потенциале, не зависящем от времени, его можно записать в терминах решения стационарной задачи (76). Тогда безразмерные падающие и рассеянные потоки в рукаве-канале km примут вид
ι k := |
i |
|
ds ψ |
k ∂ψ |
k −ψ |
|
k ∂ψ |
k , |
ι k |
:= |
i |
|
|
ds ψ |
k∂ψ |
k −ψ |
k∂ψ |
k |
) |
(168) |
|||||
2 ∫βk |
|
2 ∫βk |
|
||||||||||||||||||||||
m |
( m |
1 m |
|
|
|
|
m |
1 m |
) |
m |
|
( m |
1 m |
m 1 m |
|
|
|||||||||
Переписав (100) как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ψmk (x, y, z)= cmk exp(−iκmk x)hmk (y, z), |
ψmk (x, y, z)= cmk exp(+iκmk x)hmk (y, z) |
(169) |
|||||||||||||||||||||||
из (168), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ιmk = −κmk |
|
cmk |
|
2 [mk O], |
ιmk = +κmk |
|
cmk |
|
2 [mk O] |
|
|
|
(170) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где O:={km| λmk < ε} – кортеж номеров открытых рукавов-каналов, O:={km| λmk ≥ ε} – кор-
теж номеров закрытых рукавов-каналов. Также ниже будем использовать принятую в литературе сокращённую запись:
53
f f+ := fO, f− := fO
По определению, полный поток в рукаве-канале km имеет вид
ιmk := 2i ∫βk ds(ψmk ∂1ψmk −ψmk ∂1ψmk )
Из (172), (169) и (170) следует
|
|
|
|
|
ιk =ι k +ι k +ι k |
ιk = ιm |
|
+ιm |
|
, |
|
m O |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk O |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ιmk , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ιm |
(x):= 2 λm −ε ch (2 λm −ε x)Im(cm |
|
cm |
|
) |
[m O] |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
k |
|
|
|
|
||
где {ι k }k |
– фиктивные потоки. Ниже будет показано, что {ι |
k |
= 0}k . |
|
||||||||||||||||||||||
m m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
||
Падающий и рассеянный потоки в рукаве Ωk |
определяются как |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ι k := |
i |
∫βk |
ds(ψ |
k ∂ψ |
k −ψ |
k ∂ψ k ), |
ι k := |
i |
|
∫βk |
ds |
(ψ |
|
k ∂ψ |
k |
−ψ |
k∂ψ k ) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||
Подставляя (99) и (169) в (175), согласно (170) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ι k = ∑mιmk , |
ι k = ∑mιmk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда для полного потока в рукаве Ωk
ιk := 2i ∫βk ds (ψ k ∂1ψ k −ψ k ∂1ψ k )
сучётом (177) и соотношений выше получим
ιk = ∑mιmk
Согласно (178), потоки в каналах аддитивны. При этом с учётом (173) и (178)
ιk = ∑m (ιmk +ιmk )+ ∑mιmk
Для падающих и рассеянных потоков имеем
ι |
= ∑k ι k = ∑mk ιmk = −∑mk [mk O] κmk |
|
|
cmk |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
ι |
= ∑k ι k = ∑mk ιmk = +∑mk [mk O] κmk |
|
|
cmk |
|
2 |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
аполный поток запишется в виде
ι:= ∑k ιk = ∑kmιmk = ∑km (ιmk +ιmk )+∑kmιm~k
(171)
(172)
(173)
(174)
(175)
(176)
(177)
(178)
(179)
(180)
(181)
54
Структура оператора K
Для дальнейшего рассмотрения введённый выше оператор K запишем в терминах закрытых и открытых каналов. В представлении (95) имеем
|
|
|
|
KOO |
|
OOO |
|
(182) |
|||||||||||||
K = O |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
OO |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
OO |
|
|
|
|
|||||||||||||
Оператор K также можно записать в виде суммы эрмитова и антиэрмитова операторов: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
K = K++ + K−− |
(183) |
||||||||||||||||
K++ := |
1 |
|
(K + K |
), |
|
|
|
++ = +K++ |
|
||||||||||||
K |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
(184) |
|||||||||||||||||||
K−− := |
1 |
(K − K |
) |
, |
|
|
|
−− = −K−− |
|||||||||||||
K |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||
Согласно (184), в представлении (97) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
K++kl = I kl ∑n[nk O] hnk κnk hnk , |
K−−kl |
|
= I kl ∑n[nk O] hnk κnk hnk |
(185) |
|||||||||||||||||
Тогда с точностью до представления и расширения из (182), (183), (185) следует |
|
||||||||||||||||||||
K++ = KOO, |
K−− = K |
|
|
|
|
(186) |
|||||||||||||||
OO |
|||||||||||||||||||||
что находится в полном соответствии с соглашением (171). При этом (182) примет вид
K++ |
O+− |
|
|
K = O |
K |
|
(187) |
−+ |
|
−− |
|
Сохранение потока и S-матрица
Как известно, закон сохранения вероятности обуславливает свойства S-матрицы. На основе введённых выше определений поясним, что это означает в рамках используемой системы обозначений.
В процессе упругого рассеяния полный поток (181) равен нулю:
c |
ι = 0 |
(188) |
|
Согласно (170) и (174), ιmk ,ιmk = const (x) |
и ιmk ≠ const (x). Тогда из (170), |
(173), (188), |
|
(187) следует |
|
|
|
c+ K++ c+ |
− c+ K++ c+ = 0 |
(189) |
|
ι k |
= 0 |
(190) |
|
|
m |
|
|
Потоки в закрытых каналах {ιmk }km являются фиктивными в силу сохранения потока.
55
Из выражения (189) можно получить свойство соответствующего блока S-матрицы (101). Согласно (171), её структура примет вид:
c = Sc |
c+ |
|
S |
|
|
= |
|
|
c− |
|
S |
++ |
S+− c+ |
|
(191) |
|
|
|
|
−+ |
S−− c− |
|
|
С учётом соглашений в подразделе 2.2.1 для объектов с индексами-кортежами выполняется свойство:
|
|
|
A |
KL = |
ALK |
|
|
(192) |
Тогда из (189), (191) и (192) получим |
|
|
||||||
0 = |
c+ |
(S++K++S++ − K++ ) c+ + c+ S++K++S+− |
c− |
(193) |
||||
+ |
c− |
S−+K++S++ c+ + c− S−+K++S+− c− |
|
|||||
|
|
|||||||
Поскольку S-матрица не зависит от вида падающих волн, положим c− = 0 . Тогда, согласно
(193), для блока S++ выполняется свойство
|
|
++K++S++ − K++ = O++ |
(194) |
S |
Расширенная потоковая матрица рассеяния
Свойство (194) можно сформулировать в терминах унитарной матрицы. Запишем выражения (170) в виде
ιmk = − |
|
dmk |
|
|
|
2 [mk O], |
d |
:= K1/2c |
||
|
|
|
||||||||
ιmk = + |
|
|
dmk |
|
|
2 [mk O], |
|
(195) |
||
|
|
|
d |
:= K1/2c |
||||||
где d , d – потоковые амплитуды. Связь между ними имеет такой же вид, как между волновыми амплитудами (101):
d =: Cd dmk =: ∑ln Cmnkl dn l |
(196) |
где C – расширенная потоковая матрица рассеяния (совмещение понятий расширенной
[35] и потоковой [28] матриц рассеяния). При этом из (195) и (196) для потоков имеем
|
|
|
|
ιmk =[Cd ]mk [Cd ]mk [mk O] |
(197) |
||
Из (195), (196) и (101) можно найти связь матрицы C с матрицей S :
C = K +1/2SK −1/2 S = K −1/2CK +1/2 |
(198) |
56
Разграничение понятий матрицы, связывающей волновые амплитуды, и матрицы, связывающей потоковые амплитуды, позволяет избежать двусмысленности в интерпретации аналитических рассуждений и результатов расчёта.
С учётом (187) из (198) получим
S++ |
S+− |
|
|
K++−1/2C++K+++1/2 |
K++−1/2C+−K−−+1/2 |
(199) |
||||
|
|
= −1/2 |
+1/2 |
|
−1/2 |
+1/2 |
|
|||
S−+ |
S−− |
|
|
K−− |
C−+K++ |
K−− |
C−−K−− |
|
|
|
Согласно (199), свойство (194) примет вид |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
++C++ = I++ = C++C++ |
|
|
(200) |
||||
Таким образом, унитарным является блок расширенной потоковой матрицы рассеяния,
отвечающий за связь между открытыми каналами – потоковая матрица рассеяния C++ .
Согласно свойству (200), квадраты модулей её элементов имеют вероятностную интерпретацию.
2.3.2.Электрические токи
Вподразделе 2.3.1 была установлена связь S-матрицы квантовой сети с вероятностями рассеяния носителей заряда. От вероятностей рассеяния зависят электрические токи через сеть в формализме Ландауэра–Бюттикера. Адаптируем его к используемой системе обозначений. Это является заключительным шагом в формулировке развиваемой схемы расчёта квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах.
Токи в рукавах-каналах
Проведём последовательный вывод формулы для токов в терминах средних значений по ансамблю носителей заряда во внешних рукавах сети. Пусть они плавно соединяются с резервуарами электронов. Вне участков соединения внешние рукава трансляционноинвариантны. Поскольку конструктивно рукав – это квантовая проволока (табл. 3), закон дисперсии носителей заряда в системе отсчёта энергии подраздела 2.2.2 примет вид
(табл. 4):
Ek |
= Ek |
= Ek + |
p2 |
(201) |
|
x |
|||||
2m |
|||||
M |
snp |
n |
|
||
|
|
||||
Ek |
= 2 / (2mL2 ) λk |
(202) |
|||
n |
|
|
n |
|
|
57
где Ekn – размерная энергия рукава-канала kn , px – проекция квазиимпульса вдоль рукава, m – эффективная масса носителя заряда. Переходя в плотности состояний (1) от сумми-
рования по px к интегрированию, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gk = ∑n gnk |
|
|
|
|
|
|
(203) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
gk |
( |
E |
) |
:= |
Lx |
∫−∞ |
|
dp |
δ |
Ek |
|
+ |
px |
− E |
(204) |
|||||||
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
x |
|
|
|
n |
|
2m |
|
|
|
|||||||||
где gk |
– плотность состояний в рукаве-канале |
|
k |
, |
Lk |
– длина k-го рукава. На основе gk |
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x |
|
|
|
|
n |
можно найти среднее значение физической величины Q в рукаве-канале nk : |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
+∞ |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Q n |
= |
Nnk ∫−∞ |
|
dEf |
|
|
(E)gn |
(E)Q |
|
|
(205) |
||||||||||
|
|
|
|
Nnk |
= ∫−∞+∞ dEf k (E )gnk (E ) |
|
|
(206) |
|||||||||||||||
|
f k (E ):= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(207) |
||||||
|
|
exp[(E − Ek ) / (k T k )] + |
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где Nnk |
– число частиц в рукаве-канале nk , |
f k – функция распределения в k-м рукаве, EFk – |
|||||||||||||||||||||
уровень Ферми в k-м рукаве (резервуаре).
Как видно из (207), функции распределения в рукавах отличаются расположением
уровней Ферми. Уровень Ферми EFk записывается в виде |
|
EFk = EF −eU k |
(208) |
где EF – уровень Ферми квантовой сети при отсутствии напряжений на резервуарах (рас-
считывается из уравнения электронейтральности); e – заряд носителя заряда; U k – напряжение, приложенное к k-му резервуару.
Разность напряжений на резервуарах приводит к появлению токов через квантовую сеть. Поскольку внешние рукава сети имеют большую длину, пренебрежём эффектами подбарьерного туннелирования в них. Это означает учёт только открытых каналов. Для тока в k-м рукаве имеем:
J k = J k + J k
где J k – ток, падающий на сеть из k-го рукава, J k Согласно (180), токи в каналах аддитивны:
(209)
– ток, рассеянный сетью в k-й рукав.
58
|
J |
k = ∑m Jmk , J k = ∑m Jmk |
|
(210) |
||
где Jmk – ток, падающий на сеть из рукава-канала mk , |
Jmk |
– ток, рассеянный сетью в ру- |
||||
кав-канал mk . Падающие и рассеянные токи можно найти, как средние значения (205) |
|
|||||
Jmk = |
ek [ px < 0]px |
/ m mk Nmk , |
Jmk = ∑ln el |
Pmnkl |
[ px > 0]px / m ln Nnl |
(211) |
|
L |
|
L |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
где P ={Pmnkl }klmn – матрица вероятностей рассеяния. Как было показано в подразделе
2.3.1, вероятностную интерпретацию имеют квадраты модулей элементов матрицы C++ .
Поэтому с учётом (78) имеем
Pmnkl (E ):=[Ekm < E] |
|
Cmnkl |
(2mL2 −2 E ) |
|
2 [E > El n ] |
(212) |
||
|
|
|||||||
Из (211), (205) и (204) получим |
|
|
|
|
||||
|
Jmk = ∫−∞+∞ dEjmk (E), |
Jmk = ∫−∞+∞ dEjmk (E) |
(213) |
|||||
jmk (E):= − |
e |
f k (E)[Ekm < E], |
jmk (E):= −∑ln Pmnkl (E) jn l (E) |
(214) |
||||
π |
||||||||
Токи в рукавах и проводимость
Выражения для токов в рукавах-каналах позволяют найти полные токи в рукавах. Из
(209), (210), (213), (214) запишем
J k = ∫−+∞∞ dEjk (E) |
(215) |
||
jk := ∑m jmk |
(216) |
||
jk |
:= j |
k + j k |
(217) |
m |
m |
m |
|
Выражение для токов в рукаве получим на основе (213)–(217) и упростим с помощью свойства унитарности (200) (см. приложение F):
J k = |
e |
∑lmn ∫−∞+∞ dEPmnkl (E){f l (E)− f k (E)} |
(218) |
π |
где {Pmnkl }lmn≠k – матричные вероятности прохождения в k-й рукав (прозрачности). Погреш-
ность расчёта тока по формуле (218) можно оценить по величине полного тока
J := ∑k E J k |
(219) |
59
Теоретически он равен 0 в силу закона сохранения заряда.
Выражение (218) также можно записать в псевдолинейном по напряжению виде:
|
|
J k = ∑l σ klU lk |
|
|
(220) |
|
|
|
σ kl := πe2 ∑mn Pmnkl |
|
|
(221) |
|
|
Pmnkl := |
1 lk ∫−∞+∞ dEPmnkl |
(E ){f l (E)− f k (E )} |
|
|
(222) |
|
|
eU |
|
|
|
|
|
|
U kl := (EFk |
− EFl )/ e |
|
|
(223) |
где σ :={σ kl }kl – проводимость (кондактанс) узла (зависит от {EFk }k ), e2 / (π |
) – квант про- |
|||||
водимости, Pkl |
– средняя вероятность рассеяния из рукава-канала |
l |
в рукав-канал k , |
|||
mn |
|
|
|
n |
|
m |
U kl – напряжение между резервуарами k и l (напряжение смещения). Выражение (220) известно в литературе, как формула Ландауэра–Бюттикера при измерении проводимости по двухточечной схеме. Формула (220) приближается к линейной при малых напряжениях (см. приложение F).
Наконец, выражение для токов (218) запишем также в безразмерном виде. Это удобно при вычислениях совместно с предложенной в разделе 2.2 схемой расчёта S-матрицы квантовой сети. Из (218) и (212) с учётом (78) получим
Ιk = |
l +∞ dε[λk |
< ε] |
|
Ckl |
ε |
) |
|
2 [ε > λl |
] |
F |
([εl |
−ε] / μl )− F |
([εk |
−ε] / μk ) |
(224) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∑mn ∫−∞ |
m |
|
|
mn ( |
|
|
n |
{ |
−1 |
F |
−1 |
F |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F−1 – интеграл Ферми–Дирака порядка −1 (см. приложение A), а связь безразмерных величин с размерными задают соотношения
J k =: |
e |
|
Ιk |
(225) |
|
2 |
|||
|
2πmL |
|
||
μk := 2mL2 |
−2k T k |
(226) |
||
|
|
0 |
|
|
С применением безразмерных величин запишем также приближение для проводимости (221) при малых напряжениях смещения (223)
|
|
|
|
σ kl := πe2 ∑mn Pmnkl |
(227) |
|||||
Pmnkl = |
1 |
|
∫−∞+∞ dε[λmk |
< ε] |
|
Cmnkl (ε ) |
|
2 [ε > λnl ]ch−2 ([εF −ε] /[2μ= ]) |
(228) |
|
|
|
|
||||||||
4μ |
= |
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в случае резервуаров с одинаковой температурой (см. приложение F)
60 |
|
{ k = =| =T, μ}k E |
(229) |
Как видно из (227) и (228) приближённая проводимость низкоразмерных полупроводниковых структур не зависит от уровней Ферми резервуаров. Это удобная величина для анализа их вольт-амперных характеристик при малых напряжениях смещения.
Резюме
Таким образом, в данном подразделе к используемой в работе системе обозначений был адаптирован формализм Ландауэра–Бюттикера. В итоге было записано безразмерное выражение для электрических токов через квантовую сеть. Это стало заключительным шагом в формулировке объединённой схемы расчёта квантового электронного транспорта
внизкоразмерных полупроводниковых структурах.
2.4.Выводы
Вэтой главе была предложена объединённая схема расчёта электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах в модели квантовой сети. Схема построена на оригинальной системе обозначений, упрощающей численную реализацию. В зависимости от возможностей вычислительного пакета для расчёта расширенной матрицы рассеяния узла сети рекомендованы два широко известных метода.
•Граничные условия рассеяния. Удобны при наличии возможности численно поставить интегро-дифференциальные граничные условия, а также для аналитических расчётов. В данной работе для них была предложена лаконичная наглядная форма записи.
•ND-map. Достаточна возможность постановки граничных условий Неймана.
Для расчёта S-матрицы всей сети в терминах S-матриц образующих её узлов в работе была предложена сетевая формула. Она представляет собой развитие и обобщение известной в литературе операции объединения S-матриц соседних узлов. Сетевая формула учитывает в явном виде длины рукавов, а также является универсальным алгоритмом расчёта, пригодным для сетей произвольной структуры.
К используемой в работе схеме расчёта был адаптирован формализм Ландауэра– Бюттикера. Был продемонстрирован простой, интуитивно понятный способ получения формулы для электрических токов на основе среднего по статистическому ансамблю носителей заряда. В совокупности с граничными условиями рассеяния это позволит развивать предложенный подход для квантового самосогласованного расчёта электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах.