Давыд Цуриков. Диссертация. 2015 г
..pdf41
Исключая из выражений (106) функции ψ , имеем выходные граничные условия рассея-
ния (выходные ГУР):
[K −i∂1]W Ψ = 2Kψ on γ |
(108) |
Граничные условия (107) и (108) являются интегро-дифференциальными, поскольку они содержат как оператор дифференцирования ∂1 , так и интегральный оператор K (97).
Решая задачу (80) с ГУР (107), можно согласно (104) по известным падающим волнам
ψ найти рассеянные ψ : |
|
|
|
ψ |
=W Ψ −ψ |
on γ |
(109) |
и, следовательно, матрицу S (101). Используя ГУР (108) для задачи (80), можно согласно |
|||
(104) по известным рассеянным волнам ψ найти падающие ψ : |
|
||
ψ |
=W Ψ −ψ |
on γ |
(110) |
и, следовательно, матрицу S −1 (102).
При использовании ГУР также удобна их запись в ГСК. Для входных и выходных ГУР
(107) и (108) имеем: |
|
|
[K +i∂n ]Ψ = 2KΨ |
on Γ |
(111) |
[K −i∂n ]Ψ = 2KΨ |
on Γ |
(112) |
соответственно, где оператор K действует на функции в ГСК следующим образом:
|
|
|
|
{ |
|
|
k ∑l K klW l }k |
(113) |
|
= Ψ,Ψ ,Ψ |[K ]k :=W |
|||||||||
Ψ :=W |
ψ , Ψ :=Wψ , ∂n |
– производная по внешней нормали к границе. Выражения |
|||||||
(109) и (110) примут вид: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ψ |
= Ψ −Ψ |
on Γ |
(114) |
|
|
|
|
|
|
Ψ |
= Ψ −Ψ |
on Γ |
(115) |
|
Расчёт S-матрицы методом ГУР
С помощью ГУР S-матрицу узла можно найти поэлементно. Так как она не зависит от вида падающих волн, зададим их амплитуды в виде {cmk = Imqkp }km , зафиксировав номер ру-
кава-канала qp . Применительно к реализации в вычислительных пакетах полученную гра-
ничную задачу удобно записать в ГСК. Из (80), (111), (99), (100) имеем
[−Ψqp[K
+υ]Ψqp
=0
+i∂n ]Ψqp
42
=εΨqp
=2KWhqp
in Ω |
|
on ∂Ω \ Γ |
(116) |
on Γ |
|
Решение задачи (116) зависит от номера фиксированного рукава-канала: Ψqp . На основе
Ψqp из (109), (99)–(101) получим
S kp |
= hk |
W k Ψp (0,...) |
− I kp |
|
(117) |
mq |
m |
q |
mq |
|
|
Очевидно, что для расчёта одного столбца S-матрицы qp |
достаточно решить только одну |
||||
граничную задачу вида (116). Это является преимуществом ГУР при численном исследовании отдельных блоков S-матрицы.
Метод ГУР также позволяет записать S-матрицу в явном виде. В некоторых задачах рассеяния (см. примеры в приложении B) можно ввести в одном из двух эквивалентных представлений оператор G◊ :
W |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◊ |
(x)c |
◊ k |
k |
(118) |
||||
|
Ψ(x, y, z)=: ∑m G |
|
m hm (y, z) |
||||||||||||||||
W |
k |
Ψ(x, y, z)=: |
|
|
|
◊k |
|
|
|
◊ |
|
|
k |
(119) |
|||||
|
∑m cm |
G |
|
(x)h(y, z) m |
|||||||||||||||
На основе (118), (99) и (100) для входной задачи рассеяния из (107) получим |
|
||||||||||||||||||
|
|
c |
◊ |
|
|
◊ |
−G |
◊ −1 |
(0)i2Kc |
|
(120) |
||||||||
|
|
|
= iKG |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Согласно (109), (118), (120), (99), (100) и (101), запишем S-матрицу в виде |
|
||||||||||||||||||
|
|
S = G |
◊ |
|
◊ |
−G |
◊ |
−1 |
(0)i2K |
− I |
(121) |
||||||||
|
|
iKG |
|
|
|
|
|||||||||||||
Расчёт S-матрицы методом DN- и ND-map
Метод ГУР является наиболее наглядным при расчёте S-матрицы узла квантовой сети, предоставляя вид волновой функции в узле при рассеянии. Однако ГУР являются интегродифференциальным граничными условиями, постановку которых поддерживают не все вычислительные пакеты. Поскольку цель данной работы состоит в формулировке универсальной схемы расчёта электронного транспорта, это следует учесть. В подразделе 2.1.2 был рассмотрен метод DN- и ND-map [23, 24, 32–34], для реализации которого достаточно решить задачи Дирихле и Неймана соответственно. Он приемлем в случаях, когда вид волновой функции в узле при рассеянии не является существенным. Конкретизируем метод DN- и ND-map для используемой системы обозначений.
43
Для задачи в узле определим в ЛСК операторы D и N
[− +υ]Ψ = εΨ in Ω |
|
|
Dχ := ∂1W Ψ on γ, Ψ = 0 |
on ∂Ω \ Γ |
(122) |
|
on γ |
|
W Ψ = χ |
|
|
|
|
[− +υ]Ψ = εΨ in Ω |
|
||||
N χ :=W Ψ |
on γ, Ψ = 0 |
|
on ∂Ω \ Γ |
(123) |
|||
|
|
∂ W Ψ = χ |
on γ |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
D – DN-map, N – ND-map. В амплитудном представлении имеем |
|
||||||
∑n Dmnkl |
hnl |
χl (0,...) |
= hmk |
∂1W k Ψ(0,...) |
(124) |
||
∑n Nmnkl |
hnl |
χl (0,...) |
= hmk |
W k Ψ(0,...) |
|||
|
|||||||
В (122), (123) и (124) Ψ неявно зависит от χ ={χk }k , так как Ψ – решение задачи с гра-
ничными условиями, содержащими χ .
Через операторы D и N можно записать S-матрицу узла. С учётом условий сшивания в задаче рассеяния (81) из (122) и (123) имеем
∑l Dklψ l = ∂1ψ k |
on γ |
∑l N kl∂1ψ l =ψ k |
(125) |
on γ |
Тогда на основе (124) из (125), (98)–(100) в амплитудном представлении получим (см. приложение C)
S =[iK − D]−1[iK + D] |
(126) |
S =[NiK − I ]−1[NiK + I ] |
(127) |
Выражения (126) и (127) эквивалентны с учётом свойства: D = N −1 .
По аналогии с (116) матрицы D и N можно найти поэлементно из (124) и (93).
[−
Dmqkp = hmk ∂1W k Ψqp (0,...) , Ψ
Ψ
p q p q
+υ]Ψqp = εΨqp |
in Ω |
|
= 0 |
on ∂Ω \ Γ |
(128) |
=Whp |
on Γ |
|
q |
|
|
|
|
|
p |
p |
in Ω |
|
|
[− +υ]Ψq |
= εΨq |
|
|||
Nmqkp = hmk W k Ψqp (0,...) , |
|
|
|
|
on ∂Ω \ Γ |
(129) |
Ψqp = 0 |
|
|
||||
|
∂ |
Ψp =Whp |
on Γ |
|
||
|
n |
q |
q |
|
|
|
44
Чтобы найти какой-либо элемент S-матрицы, согласно выражениям (126) и (127), нужно найти все элементы оператора D либо N . DN- и ND-map неограниченны, если ε является собственным значением задачи с нулевыми граничными условиями Дирихле и Неймана соответственно.
Связь ГУР с DN- и ND-map
Выражения для S-матриц позволяют также продемонстрировать связь метода DN- и ND-map с методом ГУР. Перепишем (121) в виде
S = |
|
|
◊ |
G |
◊−1 |
−1 |
◊ |
G |
◊−1 |
|
|
(0) |
(130) |
||
iK −G |
|
|
G |
|
|
+iK |
|||||||||
|
◊ |
G |
◊−1 |
|
|
−1 |
|
|
◊ |
G |
◊−1 |
|
(0) |
(131) |
|
S = G |
iK − I |
|
I +G |
iK |
|
||||||||||
Сравнив (130) и (126), (131) и (127), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
D = G◊G◊−1 (0) |
|
|
|
|
|
(132) |
||||||
|
|
|
N = G◊G◊−1 (0) |
|
|
|
|
|
(133) |
||||||
Согласно (132) и (133), операторы D и N записываются через оператор G◊ . Последний же можно определить разными способами для одной и той же задачи, а D и N опре-
деляются однозначно через (122) и (123). Этим формализм G◊ говорит о гибкости метода ГУР. Он позволяет адаптировать расчёт к конкретной задаче для повышения наглядности аналитических построений и скорости численной реализации.
Резонансы и связанные состояния
Наглядность предложенной формы записи ГУР также проявляется в существенной для квантового электронного транспорта задаче на резонансные и связанные состояния. Состояния данного типа определяются через полюсы и нули S-матрицы [38] (табл. 5).
Таблица 5. Нули и полюсы S-матрицы
обозн. |
|
название |
|
|
|
|
|
||
Imε± |
Imε± ≠ 0 |
Imε± = 0 |
||
|
||||
ε+ |
полюс |
энергия |
энергия |
|
S-матрицы |
резонансного состояния |
связанного состояния |
||
|
||||
|
|
|
|
|
ε− |
ноль |
энергия |
энергия |
|
S-матрицы |
антирезонансного состояния |
антисвязанного состояния |
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
ε+ : |
|
S(ε+ ) |
|
|
|
= ∞ |
|
(134) |
|
|
|
|
|||||||
ε− : |
|
S(ε− ) |
|
= 0 |
|
(135) |
|||
|
|
|
|||||||
Из определений (99)–(102) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ψ k = 0}k |
|
S −1c |
= 0 |
(136) |
|||||
{ψ k = 0}k |
|
Sc |
= 0 |
(137) |
|||||
В силу критерия существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений из (136) и (137) в ГСК следует
|
S(ε+ ) |
|
= ∞ |
Ψ |
= 0 |
(138) |
|||||
|
S(ε− ) |
|
= 0 |
Ψ |
= 0 |
(139) |
|||||
|
|
||||||||||
Тогда согласно (138), (139) с учётом (80), (111) и (112) имеем |
|
||||||||||
|
± |
= ε |
± |
Ψ |
± |
in |
Ω |
|
|||
[− +υ]Ψ |
|
|
|
(140) |
|||||||
Ψ± = 0 |
|
|
|
|
|
on ∂Ω \ Γ |
|||||
[K ± ±i∂n ]Ψ± = 0 |
|
on Γ |
|
||||||||
Это означает, что полюсы S-матрицы – собственные числа задачи с нулевыми входными ГУР, нули S-матрицы – собственные числа задачи с нулевыми выходными ГУР.
Задача (140) на резонансные и связанные состояния Ψ+ описывает «излучатель»: узел может излучать электроны при отсутствии падающих в него. Задача (140) на антирезо-
нансные и антисвязанные состояния Ψ− описывает «поглотитель»: узел может поглощать электроны при отсутствии рассеянных им. Здесь термины «падающий» и «рассеянный» употребляются условно для волн в рукавах-каналах с комплексным κ± (92).
Конкретный вид κ± для волн в рукавах-каналах задач (140) зависит от типа соответ-
ствующего ему собственного значения ε± . В свою очередь, тип ε± определяется степенью изоляции узла. Поясним это следующим образом. Энергетическая структура каналов в рукавах {λmk }km создаёт на границах с узлом потенциальные барьеры высотой {minm λmk }k ,
чем может сформировать в нём потенциальную яму. За связь с окружением здесь отвечает
барьер с наименьшей высотой: mink |
λk . В зависимости от вида узла и величины mink |
λk |
||
|
m |
m |
m |
m |
среди собственных значений задач |
(140) могут присутствовать |
вещественные числа |
||
ε± ≤ mink |
λk – энергии связанных и антисвязанных состояний. Прочие собственные зна- |
|||
m |
m |
|
|
|
46
чения с Reε± > minkm λmk имеют отличную от нуля мнимую часть и интерпретируются как энергии резонансных и антирезонансных состояний (табл. 5).
Зависящая от величины minkm λmk изолированность узла легко интерпретируется в тер-
минах ГУР. С ростом энергий каналов (например, за счёт уменьшения поперечного сече-
ния рукавов) растёт изолированность узла. В частности, при minkm λmk → ∞ задачи (140)
примут вид
|
× |
× |
|
× |
|
|
[− +υ]Ψ |
|
= ε |
Ψ |
|
in Ω |
(141) |
Ψ× = 0 |
|
|
|
|
on ∂Ω |
|
Задача (141) описывает полностью изолированный узел. Этот предельный переход экви-
валентен случаю, когда в сравнении с оператором K ± оператор ∂n становится пренебре-
жимо малым. Поэтому в терминах ГУР физический смысл оператора K – изолирован-
ность узла.
Резюме
Таким образом, в данном подразделе для расчёта S-матрицы узла рекомендованы два метода: метод ГУР, метод DN- и ND-map. Последний актуален в случаях, когда используемый вычислительный пакет не поддерживает постановку интегро-дифференциальных граничных условий. Для метода ГУР была предложена специальная форма записи, наилучшим образом выявляющая его преимущества:
•наглядность – интуитивно понятная лаконичная постановка задач рассеяния;
•гибкость – возможность адаптации к конкретной задаче из соображений удобства;
•универсальность – пригодность к решению широкого круга задач, включая самосогласованные.
2.2.4.S-матрица квантовой сети в терминах S-матриц её узлов
Вподразделе 2.1.2 было отмечено, что расчёт S-матрицы квантовой сети проводится на основе объединения S-матриц образующих её узлов [25, 35]. Недостатком используемого в литературе правила объединения является отсутствие в явном виде длин рукавов. Также для этой схемы отсутствует универсальный алгоритм объединения всех узлов произвольной квантовой сети. Это, в свою очередь, усложняет численную реализацию. Введённая в подразделе 2.2.1 система обозначений позволит решить эти вопросы за счёт выражения для S-матрицы произвольной квантовой сети в терминах S-матриц её узлов.
47
Элементарный участок сети
Рассмотрим рассеяние носителя заряда в квантовой сети. Поскольку сеть состоит из узлов и соединяющих их рукавов, её элементарный участок – это соединение двух узлов (рис. 8). Любую квантовую сеть можно представить в виде совокупности таких соединений. Поэтому соотношения для элементарного участка являются основой для расчёта S- матрицы всей сети.
J K L
Ω[...,J] |
Ω[J,K] |
Ω[K,L] |
Ω[L,...] |
Рис. 8. Схема элементарного участка сети Ω[J,L] : сплошные линии – внутренние узлы
( Ω[J,K] , Ω[K,L] ) и рукава ( K – кортеж их номеров), пунктирные линии – внешние узлы ( Ω[...,J] , Ω[L,...] ) и рукава ( J, L – кортежи их номеров).
Элементарный участок сети (рис. 8) представляет собой новый объединённый узел
Ω[J,L] = Ω[J,K] +∑k K (Ωk +Γk ) +Ω[K,L] . Его расширенная матрица рассеяния S[J,L] связыва-
ет амплитуды падающих на него волн c[J,L] с амплитудами рассеянных им волн c[J,L] :
|
|
[J,L] J |
|
[J,L]JJ |
|
|
[J,L]JL |
[J,L] J |
|
|||
c[J,L] |
= c |
|
= S |
|
|
S |
|
c |
|
= S[J,L]c[J,L] |
(142) |
|
|
c[J,L] L S[J,L]LJ |
|
S[J,L]LL c[J,L] L |
|
||||||||
где c[J,L] J – амплитуды волн, падающих на узел Ω[J,L] из внешних рукавов ΩJ , |
c[J,L] J – |
|||||||||||
амплитуды волн, рассеянных узлом Ω[J,L] |
во внешние рукава ΩJ . Аналогичный смысл |
|||||||||||
имеют c[J,L] L и c[J,L] |
L с точностью до замены индексов вне квадратных скобок J ↔ L. |
|||||||||||
S[J,L] разбита в (142) на соответствующие блоки. |
|
|
|
|
||||||||
Из представленной схемы элементарного участка сети (рис. 8) следует, что |
|
|||||||||||
|
[J,L] J |
[J,K] J |
|
|
|
[J,L] J |
[J,K] J |
|
||||
|
c[J,L] |
L = c[K,L] L |
, |
|
c[J,L] L |
= c[K,L] L |
(143) |
|||||
|
c |
|
c |
|
|
|
|
c |
c |
|
|
|
Поэтому c[J,L] можно записать в терминах S-матриц узлов, образующих участок сети,
S[J,K] и S[K,L] :
|
|
[J,K] J |
|
|
∑ |
l S[J,K]Jlc[J,K] l |
|
|||||
c[J,L] = c |
|
|
= |
|
|
[K,L]Ll |
|
|
(144) |
|||
c |
[K,L] L |
|
|
|
l |
S |
c |
[K,L] l |
|
|||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|||||
48
Первую сумму в (144) разобьём как ∑l =∑l J +∑l K , а вторую как ∑l =∑l K +∑l L . С
учётом этого и соглашений выше из (144) следует
|
[J,K] |
J |
[J,K]JJ |
|
JL |
|
[J,K] |
J |
[J,K]JK |
|
JK |
|
[J,K] K |
|
||
c |
|
|
= S |
O |
|
c |
|
|
+ S |
O |
|
c |
|
(145) |
||
c[K,L] |
L |
|
OLJ |
S[K,L]LL c[K,L] |
L |
|
OLK |
S[K,L]LK c[K,L] K |
|
|||||||
Таким образом, для расчёта матрицы S[J,L] следует выразить амплитуды волн, падаю-
щих из внутренних рукавов, c[J,K] K и c[K,L] K через амплитуды волн, падающих из внешних рукавов, c[J,K] J и c[K,L] L .
Формула объединения
Рассмотрим внутренний рукав Ωk элементарного участка сети: k K. Из определений (86) с учётом (82) следует
|
|
[J,K]kψ[J,K]k = Ψk =W |
[K,L]kψ[K,L]k |
(146) |
W |
||||
Тождество (146) является исходным при расчёте S[J,L] – расширенной матрицы рассеяния элементарного участка сети Ω[J,L] в терминах S[J,K] и S[K,L] – расширенных матриц рас-
сеяния образующих его узлов Ω[J,K] и Ω[K,L] соответственно (рис. 8).
Согласно (91) и (101), решения задач в ЛСК [XYZ ][J,K]k и [XYZ][K,L]k примут вид
ψ[J,K]k (x, y, z)= ∑m cm[J,K] k exp(−iκm[J,K]k x)hm[J,K]k (y, z)+
+∑m ∑ln Smn[J,K]klcn[J,K] l exp(+iκm[J,K]k x)hm[J,K]k (y, z)
ψ[K,L]k (x, y, z)= ∑m cm[K,L] k exp(−iκm[K,L]k x)hm[K,L] (y, z)+
+∑m ∑ln Smn[K,L]klcn[K,L] l exp(+iκm[K,L]k x)hm[K,L]k (y, z)
(147)
(148)
соответственно. Найдём неизвестные амплитуды c[J,K] k и c[K,L] k . Для этого перепишем тождество (146) в ЛСК [XYZ ][J,K]k :
|
|
[K,L]kψ[K,L]k |
(149) |
ψ[J,K]k =W [J,K]kW |
|||
Поскольку ЛСК связаны друг с другом преобразованиями трансляции и поворота так, что
X [J,K]k X [K,L]k , согласно условию (84) имеем
|
[J,K]k |
|
|
[K,L]k |
[K,L]k |
[K,L]k |
k |
|
[J,K]k |
|
|
[K,L]k |
|
||
W |
W |
W |
(150) |
||||||||||||
|
|
exp(±iκm |
x)= exp(±iκm |
a |
|
− x )W |
|
|
|||||||
При этом можно показать, что
49
|
|
|
|
|
|
= ∑n hn[J,K]kUnm[J,K]kk , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W [J,K]kW |
[K,L]k hm[K,L]k |
|
λm[J,K]k = λm[K,L]k =: λmk |
|
(151) |
|||||||||||||||||
|
|
|
U [J,K]kl |
:= W [J,K]k h[J,K]k W [K,L]l h[K,L]l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
(152) |
|
|
|
|
U [K,L]kl |
:= W [K,L]k h[K,L]k W [J,K]l h[J,K]l |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Для операторов, отвечающих за смену систем координат из (152) имеем |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[J,K] =U [K,L] |
|
|
|
|
|
|
|
(153) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U } =[J,K],[K,L] |
|
|
|
|
(154) |
||||||
|
|
|
|
{U U |
|
= I =U |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
[J,K]k h[J,K]k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из (152) |
||||||||||
При выполнении свойств W |
|
W [K,L]k h[K,L]k и W [J,K]k h[J,K]k |
W [K,L]k h[K,L]k |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
m≠n |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
также будет следовать, что эти операторы диагональны: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
{U = diag} =[J,K],[K,L] |
|
|
|
|
|
|
|
(155) |
||||||||
Поскольку κm[J,K]k =κm[K,L]k =:κmk , подставляя (147) и (148) в тождество (149) с учётом (150)
и (151), получим
|
[J,K] k |
|
|
[J,K]kk |
exp |
|
|
k |
|
k |
|
|
l |
[K,L]kl |
[K,L] l |
|
|||||||||||
|
cm |
|
=Umm |
|
|
(+iκma |
|
|
)∑n Smn |
|
cn |
|
|
(156) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[J,K]kk exp |
( |
+iκk ak |
|
l |
S |
[J,K]kl c[J,K] l |
|||||||||||||||
|
c[K,L] k =U |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
mm |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
)∑n |
|
mn |
|
n |
|
|
|
|||
С учётом (153) и соглашений в подразделе 2.2.1 (156) примет вид |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
[J,K] K |
|
|
[J,K]KK |
|
|
|
|
|
|
KK |
|
|
KK |
|
l |
|
[K,L]Kl |
|
[K,L] |
l |
||||||
=U |
exp(+iK |
A |
)∑ S |
c |
|||||||||||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(157) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
+iK KK AKK |
)∑ |
l S[J,K]Kl c[J,K] |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||
c[K,L] K =U [K,L]KK exp |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
K kl |
:=κk |
I kl |
, |
Akl |
|
|
:= ak I kl |
|
|
|
|
(158) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
m |
|
mn |
|
mn |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|||||
В системе (157) суммы распадаются на две: в первом уравнении ∑l =∑l K +∑l L , во вто-
ром ∑l =∑l J +∑l K , следовательно
|
[J,K] K |
|
|
−S[J,K]KK |
|
U [J,K]KK exp(−iK KK AKK ) −1 |
× |
|||
c |
|
= |
|
|
|
|
|
−S[K,L]KK |
|
|
c[K,L] K |
U [K,L]KK exp(−iK KK AKK ) |
|
(159) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[J,K]KJ |
|
KL |
|
[J,K] J |
|
|
|
|
|
× S |
O |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
OKJ |
S[K,L]KL c[K,L] L |
|
|
|
|||
Соотношение (159) выражает амплитуды волн, падающих из внутренних рукавов, c[J,K] K и c[K,L] K через амплитуды волн, падающих из внешних рукавов, c[J,K] J и c[K,L] L . Подставляя (159) в (145), с учётом (142) получим:
50
|
|
[J,K]JJ |
|
JL |
|
|
[J,K]JK |
|
JK |
|
|
|
|
|
|
||||
S[J,L] = S |
|
O |
|
+ S |
|
|
|
O |
|
|
× |
|
|
|
|
||||
|
|
OLJ S[K,L]LL |
|
OLK S[K,L]LK |
|
|
|
|
(160) |
||||||||||
|
|
|
|
−S[J,K]KK |
|
|
|
|
U[J,K]KK exp(−iK KK AKK ) |
−1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S[J,K]KJ |
OKL |
|||||||||||
× |
|
|
[K,L]KK |
exp(−iK |
KK |
|
KK |
) |
|
|
|
[K,L]KK |
|
|
OKJ |
S[K,L]KL |
|||
|
|
|
|
|
−S |
|
|||||||||||||
|
U |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Формула объединения (160) выражает расширенную матрицу рассеяния элементарного участка сети в терминах расширенных матриц рассеяния образующих его узлов. В слу-
чае отсутствия внешних рукавов, например, справа на рисунке 8 |
( L = , |
|
Ω[K, ] = Ω[K] ) |
||||||||||||||||||||||
формула (160) также применима (при этом S[J, ] = S[J] , |
S[K, ] |
= S[K] ). С учётом соглаше- |
|||||||||||||||||||||||
ний в подразделе 2.2.1 она примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S |
[J] |
= S |
[J,K]JJ |
|
|
[J,K]JK |
|
O |
JK |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−S[J,K]KK |
|
|
|
|
|
U [J,K]KK exp(−iK KK AKK ) −1 |
S[J,K]KJ |
|
(161) |
||||||||||
|
|
|
[K]KK |
|
|
|
KK |
|
|
KK |
|
|
|
|
[K]KK |
|
OKJ |
|
|
||||||
|
|
× |
exp(−iK |
A |
) |
|
−S |
|
|
||||||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При отсутствии |
связи |
между |
узлами |
|
( K = , |
Ω[J, ] |
= Ω[J] , |
Ω[ ,L] = Ω[L] , |
S[J, ] = S[J] , |
||||||||||||||||
S[ ,L] = S[L] ) выражение (160) запишется как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[J]JJ |
|
JL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S[J |
,L] = S |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
(162) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OLJ |
S[L]LL |
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, формула (160) является универсальной: за счёт соглашений подраздела 2.2.1 она применима при объединении узлов сети во всех возможных случаях.
S-матрица сети
На основе формулы объединения (160), полагая в ней, что
J = A \ B ={k A| k B} |
|
K = A∩B ={k A| k B} |
(163) |
L = B\ A ={k B| k A} |
|
для S-матриц с идентификаторами-кортежами A и B определим операцию объединения: (164)
При этом S[J,K] S[A] и S[K,L] S[B] (могут отличаться друг от друга перестановкой строк и столбцов). Операция не является бинарной, так как, помимо элементов матриц S[J,K] и S[K,L] , (160) содержит элементы U [J,K]KK , U [K]KK и exp(−iK KK AKK ). Здесь и всюду ниже для краткости они опущены.