Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

6. Тейлорові ряди

6.4.Знайти перших чотири члени розвинення в Тейлорів ряд розв’язку задачі

Коші: y y2 ex 2,y(0) 2.

Розв’язання. [12.6.1.]

Оскільки початкову умову задано в точці x 0, то розвинення розв’язку шукатимемо за степенями x :

	y(n)(0)
y(x)		xn .

n 0	n !

[Значення y (0) знаходимо підставляючи в диференціальне початкову умову: x 0, y 2.]

(0)

[Диференціюємо

диференціальне

рівняння за

змінною

x, пам’ятаючи, що

y y(x), і підставляємо початкові умови: x 0, y 2, y 3.]

; y

y (x) 2yy

(0) 13.

2yy

;

71.

(x)

2(y )

y (0)

Шукане розвинення:

y(x) 2 3x 13 x2

71 x3

....

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.5. Розвиньте в Тейлорів ряд за степенями (x x0) функцію f (x):

1) f (x)

1 ,x0 2;

2) f (x)

,x0 1;

1 x

3) f (x) x 3,x0 1;

4) f (x) x,x0 4;

5) f (x) ln x,x0 1;

6) f (x) ln(x 2),x0

7) f (x) cos x,x0

;

8) f (x) 2x ,x0

9) f (x)

x 2

x 1

,x0

10) f (x)

x 3

,x0

1)(x

(x 1)2

11)f (x) ln(x2 3x 2),x0 0; 12) f (x) ln(x 1 x2 ), x0 0.

6.6.Користуючись Тейлоровим рядом, обчисліть з точністю до 10 4 :

150;

2) 10

1027;

72	Модуль 1. РЯДИ

3)sin 0,5;

6.7.Обчисліть з точністю до 10 3 :

1 3	dx
1)	dx	;

	1 x4
0	1 x4

0,1

3) ln(1 x)dx ; x

4)	1	.

	5 e

2) sin x2dx;

4) e x2dx.

6.8.Знайдіть розвинення у степеневий ряд (до вказаного степеня) розв’язку задачі Коші:

1)	y	x 2	y2,y(1)		2,	до (x 1)2;
2)	y	y xey ,y(0)			0,	до x4;
3)	y	xy	2				4	;
				y ,y(0) 2,y (0) 1,			до x

4) y yy x 2,y(0) 1,y (0) 1, до x3.

6.9.Знайдіть похідні вказаного порядку від функції f (x) :

	(x 1)3
1) f (x)	5x 3 , f (6)(1);	2) f (x) x sin x, f (99)(0).

6.10.Покажіть, що ланцюгову лінію y ch a (a q ,H — горизонтальний

натяг нитки, q — вага одиниці довжини нитки) можна замінити параболою, якщо x мале порівняно з a. Записати рівняння цієї параболи.

Відповіді

						(x 2)n												(x 1)n 1
6.5. 1)						(x 2)n			x 2					2;2)				(x 1)n 1						x 1	2;
						n 1		,	x 2					2;2)						n			,	x 1	2;
						n 1														n
3)				n 0		2											n 1			2
3)			2				2	2 1						2					2	2 1			... 2		n 1				n
			2				2	2 1						2					2	2 1			... 2		n 1				n
1			3	(x 1)			3	3					1)		...				3	3			3				(x 1)			...,			x 1		1;
											(x
		1!						2!			(x													n !
		1!						2!																n !
					1 (x 4)			1				1		(x 4)2						1		1 ... 1				n 1		(x 4)n
4) 2			1		2				2			2					...				2		2		2							...		;
4) 2			1													2	...														n	...		;
				1!		4				2!					4	2									2!					4	n
				1!		4				2!					4										2!					4

	x 4			4;

7. Ряди Фур’є (дійсна форма)

( 1)n 1(x 1)n

( 1)n 1

, x (0;2]; 6)

(x 1)n, x ( 2;0];

n 1

;

, x

4 !

lnn 2

2n 1 ( 1)n

8) 8

3)n , x ; 9)

xn,

n !

n 1

n 0

n 1

10) ( 1)n (2n 3)xn ,

1; 13)

ln 2 (1 2 n ) xn

, x [ 1;1);

n 0

n 1

(2n

1)!!

x2n 1

14) x ( 1)n

n 1

(2n)!!

2n 1

6.6.1) 5, 3133; 2) 2, 0006; 3) 0, 4794; 4) 0, 8187.

6.7.1) 0, 333; 2) 0, 310; 3) 0, 098; 4) 0, 245.

6.8. 1)	y 2		3(x 1) 7(x 1)2 ...; 2)							y	x2	x3			x 4		...;
6.8. 1)	y 2		3(x 1) 7(x 1)2 ...; 2)							y	2		6			6	...;
											2		6			6
3) y 2		x	1	x2	5	x3	1	x4	...; 4) y	1	x		x	2		2x3		...
3) y 2		x	2	x2	6	x3	8	x4	...; 4) y	1	x		2!			3!		...
			2		6		8						2!			3!
6.9. 1)		5625 ;	2) 0.
		256

7. Ряди Фур’є (дійсна форма)

Навчальні задачі

7.1.Побудувати графік суми ряду Фур’є функції y x 1, x [0, 2].

Розв’язання. [12.8.2.]
Періодично продовжуємо функцію з періодом 2 і			S(x)
враховуємо теорему Діріхле			3
		x (0; 2),	2
x 1,		x (0; 2),	1

S(x)	3 ,
S(x)		x 2k, k ,	2 O 2	4 6 x
		x 2k, k ,	2 O 2	4 6 x
	2		Рис. до зад. 7.1
	2		Рис. до зад. 7.1
	T 2.

Коментар. Графік суми ряду Фур’є може відрізняється від графіка заданої функції на заданому проміжку значеннями в точках розриву 1-го роду і на кінцях проміжку.

7.2.Продовжити графічно: а) парним, б) непарним чином та в) періодично з

періодом l		функцію f (x) sin 2x 1, x 0;		.
	3		3

Розв’язання .

[Графічно продовжуємо функцію.]

74	Модуль 1. РЯДИ

Парне продовження — рис. 1; непарне продовження — рис. 2; періодичне продовження — рис. 3.

	y			y
				y
3		3					3
		x			3
				O		x
			3

Рис. 3 до зад 7.2

Рис. 1 до зад. 7.2

Рис. 2 до зад. 7.2

Коментар. Графік парної функції симетричний щодо осі Oy; графік непарної симетричний щодо початку координат.


	2
			x,
			x,
7.3.
7.3.	Розвинути в ряд Фур’є функцію f(x)

		1,
		1,


	0,
x	0,	,
			з періодом .
		2	з періодом .


x		,

2

Розв’язання. [12.9.6.]

[Крок 1. Від аналітичного задання функції переходимо до

y f (x)

графічного.]. Рис. 1.

[Крок 2. Перевіряємо умову Діріхле [12.8.2] для функції на

заданому проміжку.] Функція f в інтервалі (0; ):

1) кусково-неперервна;

2) обмежена;

Рис. 1 до зад. 7.3

3) кусково-монотонна.

[Крок 3. Будуємо графічне розвинення функції f

у ряд Фур’є — графік суми ря-

ду Фур’є, враховуючи теорему Діріхле.] Рис. 2.

y S(x)

Рис. 2 до зад. 7.3

[Крок 4. Визначаємо за графіком S(x)

період розвинення і основну частоту.].

T ; 1 2 2.

[Крок 5. Записуємо ряд Фур’є з невизначеними коефіцієнтами, підставляючи частоту і враховуючи можливу симетрію графіка S(x). ]

							7. Ряди Фур’є (дійсна форма)																								75
							[12.9.1]			a0
					f (x)					a0			an cos 2nx bn sin 2nx.
					f (x)				2				an cos 2nx bn sin 2nx.
									2						n 1
[Крок 6. Записуємо формули для коефіцієнтів Фур’є і обчислюємо їх.]
			[12.9.1]			2											4		2					2			( 1)dx 1 .
		a0				2	f (x)dx										4		xdx					2
		a0					f (x)dx										2		xdx
							0													0						2					2
								[12.9.1]							2
							an								2		f (x) cos 2nxdx
							an										f (x) cos 2nxdx
			2													0
	4		2									2													( 1)n 1
			x cos 2nxdx														cos 2nxdx													(n	1, 2...);
	2		x cos 2nxdx														cos 2nxdx										2 2			(n	1, 2...);
			0											2												n
								[12.9.1]							2
							bn								2		f (x) sin 2nxdx
				2												0
			4	2										2													1
			4	x sin 2nxdx										2			sin 2nxdx										1		(n		1, 2, ...).
			2	x sin 2nxdx													sin 2nxdx										n		(n		1, 2, ...).
				0												2											n
[Крок 7. Записуємо відповідь, враховуючи теорему Діріхле.]
							1							( 1)n 1													1
			S(x) 4																		cos 2nx								sin 2nx.
			S(x) 4														2n2				cos 2nx							n	sin 2nx.
								n 1

											f (x),							0;
											f (x),							0;						; ,
																				2
																				2		2

							[12.8.2]						1
				S(x)									1		,			x 0, x ,										T .
				S(x)											,			x 0, x ,										T .
													2
													2

												0,								x			,
												0,								x			,
																						2
																						2

Коментар. Будуємо в точках															x (a,b)							неперервності функції f (x) графік

S(x) f(x). Далі продовжуємо побудовану функцію з періодом (b a), і доозначуємо S(x) в точках розриву (рис. 3 до зад 7.3) за формулою:

S(x) S(x 0) S(x 0). 2

Якщо S(x0 0) S(x0 0) і раніше S(x) була неозначена в точці x0 , то

S(x0 ) S(x0 0), тобто в точці x0 сума S(x) стає неперервною функцією

(рис. 4 до зад 7.3).

76	Модуль 1. РЯДИ
S(x 0)
S(x)
S(x 0)			x0	x			x0	x
x			x0	x			x0	x
Рис. 3 до зад. 7.3				Рис. 4 до зад. 7.3
1. Якщо графік y S(x) симетричний щодо осі Oy , тоді усі bn							0 :
[12.9.2]		a0
f (x)		a0	an cos(n 1x).
f (x)			an cos(n 1x).
	2		n 1
			n 1
2. Якщо графік y S(x) симетричний щодо точки A(0;c), тоді					a0	c,an		0 :
2. Якщо графік y S(x) симетричний щодо точки A(0;c), тоді						c,an		0 :
				2
	[12.9.4]
f (x)	c bn sin(n 1x).
			n 1
І, зокрема, якщо c 0, то:
	[12.9.3]
f (x)			bn sin(n 1x).

3.У загальному випадку маємо розвинення:

	a0
f (x)		an cos(n 1x) bn sin(n 1x).

2		n 1

7.4. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами функцію

	2
	2
		x,		0,
		x,	x	0,		,

					2
f (x)


cos 2x,			x		,

			2

Розв’язання. [12.9.2.]

1.[Будуємо графік функції y f (x).] Рис. 1.

2.Функція f(x) справджує умови Діріхле на (0; ).

3.[Функцію f (x), яку задано на (0;b), спершу продовжують (графічно) парним чином на ( b; 0] — симетрично щодо Oy.] Рис. 2.

[Для допоміжної функції fп(x) на ( b;b) будують графік суми ряду Фур’є y S(x).] Рис. 3.

y	y f (x)
1
O		x
O	2	x
1	2
1

Рис. 1 до зад. 7.4

y1 y fп(x)

O		x
O	2	x
	2
1

Рис. 2 до зад. 7.4

7. Ряди Фур’є (дійсна форма)


2	O
1

	y S(x)
					x
					x
		3
		3	2	5	3
2		2	2	2	3

Рис. 3 до зад. 7.4

4. Період розвинення T 2 ; основна частота 1 1.

[12.9.2]						a0
5. f (x)						a0				an cos nx.
5. f (x)						2				an cos nx.
						2				n 1
[12.9.2]				2											[12.9.2]				2
6. a0				2		f (x)dx; an													2		f (x) cos nxdx.
						0																0
[Обчислюємо коефіцієнти.]
										2																						2
										2																						2
			a0					4		xdx 2						cos 2xdx											2		x2				1 sin 2x								1 .
			a0					2		xdx 2						cos 2xdx											2		x2				1 sin 2x								1 .
										0						2																0								2	2
										0				2		2																0								2
													4	2											2
									an				4		x cos nxdx												cos 2x cos nxdx
									an				2		x cos nxdx												cos 2x cos nxdx
															0												2

																		I1
											4				1														1
											4	I1			1	cos(n 2)dx													1		cos(n 2)dx .
											2	I1				cos(n 2)dx															cos(n 2)dx .
															2															2

																						I2													I3
Інтеграл I2						потребує окремого обчислення при n 2. Отже,
																		cos nx								2		sin n								cos		n 1
																										2		sin n								cos		n 1
							I1				x sin nx																			2								2
																																									;
																						2																	2		;
													n									2							2n										2
													n							n						0			2n									n
																				n						0												n
	I	3				1					sin(n 2)x														sin( 2n )									sin 2n				(n 1, 2, ...).
						1																			sin( 2n )									sin 2n

						n 2												2								n 2								n 2
						n 2												2								n 2								n 2
I	2					1				sin(n 2)x													sin( 2n )										sin 2n				(n 1, 3, 4, ...);
						1																	sin( 2n )										sin 2n

					n 2												2									n 2							n 2
					n 2												2									n 2							n 2

															n 2 : I2									dx .
																										2				2
																										2

78	Модуль 1. РЯДИ

				2					1							1				sin					n					4(cos n 1)
				2					1							1										2									2
		an
		an																															2			2
									2 n																								2			2
			n n						2 n							2																	n
						4		n2 2								n							1							n
													sin																								,
									2				sin													cos									1		,
					n				2	4							2															2
					n			n		4							2					n										2
												n 1, 3, 4, 5, ...
												a							2				1 .
												a	2						2				1 .
													2												2
																									2
	1	2									4						(n	2			2) sin							n						cos		n		1
7. S(x)	1	4									4						(n				2) sin								2					cos		2		1
				cos 2x																																			cos nx.
	4		2	cos 2x														n(n					2	4)											n		2		cos nx.
	4		2								n 1							n(n						4)											n
												n 2


																	0;										;
							f (x),										0;										;			,

																		2						2
			[12.8.2]
			[12.8.2]
														;
		S(x)					f( x),							;																	; 0				T 2 .
		S(x)																											2						T 2 .
																					2								2


										0,					x 0, x																	,
										0,					x 0, x																	,
																													2
																													2
										1,									x ,
										1,									x ,

7.5.

Розвинути в ряд Фур’є функцію f

(рис. 1) за синусами.

Розв’язання. [12.9.3.]

1. [Від графічного задання функції

y f (x)

переходимо

до аналітичного.]

[0,1],

2 x

1 x, x

f(x)

1, x

[1, 2].

Рис. 1 до зад. 7.5

2. Функція y f (x) справджує умови Діріхле [12.8.2] на проміжку (0; 2).

3. [Функцію

f(x)

яку задано на (0;b)

y S(x)

спершу продовжимо (графічно) непар-

1 y fн(x)

ним

чином

на ( b; 0] — симетрично

щодо точки O.]

2 3

[Для допоміжної функції fн(x) на ( b, b)

будуємо графік y S(x).] Рис. 2.

Рис. 2 до зад. 7.5

4. T 4; .

[12.9.3]

5. f (x)

sin

n 1

		7. Ряди Фур’є (дійсна форма)			79
[12.9.3]	1		2
6. bn	(1 x) sin n x dx		(x 1) sin n x dx
	0	2	1	2
	0		1

				2(1 ( 1)n )						8			sin		n		, n
											2n2		sin		2		, n
					n						2n2				2
		2(1		n		8			n					nx
	S(x)	2(1	( 1) )			8			n					nx
7.
								sin								.
			n					sin		2		sin			2	.
			n			2	2			2					2
	n 1					n


		f (x),	x (0; 1) (1; 2),
		f (x),	x (0; 1) (1; 2),

	f ( x),		x ( 2; 1) ( 1; 0),
S(x)	f ( x),		x ( 2; 1) ( 1; 0),

		0	x 0, 2,
		0	x 0, 2,

7.6. Розвинути в ряд		Фур’є	на ( 2, 2) функцію

T 4.

	y f (x), задану графічно на рис. 1 до зад. 7.6.					1
Розв’язання. [12.9.4.]					2	O	2 x
			x		2	O	2 x

				, x ( 2, 0),		Рис. 1 до зад. 7.6
	1			, x ( 2, 0),

1.			2
1.	f (x)		2
	x
		, x (0, 2).
		, x (0, 2).

	2

2. Функція f(x) на інтервалі( 2, 2):
1)	має лише один розрив 1-го роду в точці x 0 (кусково-неперервна);
2)	обмежена;
3)	кусково-монотонна. Отже, функція справджує умови Діріхле [12.8.2].
3. Рис. 2.		y
		y	y	S(x)
		1	y	S(x)
		1
	2	1
	2	2
		O	2	2	x
			2

Рис. 2 до зад. 7.6

4.T 2; 1 .

5.[Графік функції симетричний щодо точкиA 0; 12 , яка лежить на осі Oy.]

[12.9.4]

f (x)

bn sin n x.

n 1

[12.9.4]

x sin nxdx

( 1)n 1

6. b

x sin nxdx

, n .

80	Модуль 1. РЯДИ


	1		( 1)n 1
7. S(x)						sin nx.
7. S(x)	2			n		sin nx.
		n 1
									x ( 2, 0) (0, 2),
					f (x),				x ( 2, 0) (0, 2),

							1		T 2.
			S(x)				1		T 2.
								, x	2, x 0, x 2,
								, x	2, x 0, x 2,
							2
							2

Коментар. Для функції, графік якої симетричний щодо точки A(0;c): a20 c, an 0, n .

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

7.8.Розвиньте в ряд Фур’є функцію f(x) періоду T 2 :

1) f (x)

3) f (x)

5) f (x)

	1
	1
		, x 0,
	2	, x 0,
	2
1,		0 x ;
1,		0 x ;

2x 3, x [ ; ];

	x 0,
0,	x 0,

	0 x ;
sin x,	0 x ;

2) f (x)

4) f (x)

6) f (x)



			, x 0,
			, x 0,
	4
	4

		,	0 x ;
		,	0 x ;
4
4

5x 2, x [ ; ];




	0,	x 0,
	0,	x 0,

		0 x ,
x,		0 x ,



		, x ;
	2	, x ;
	2

7)	f (x) sin x				, x ( ; );	8) f (x) cos x		, x ( ; );
		2					3
9)	f (x )		x	, x [ ; ];		10) f (x)	x		, x (0; 2 ).
9)	f (x )		x	, x [ ; ];		10) f (x)	x		, x (0; 2 ).
							2
							2

7.9.Розвиньте в ряд Фур’є функцію f(x) періоду T :

1) f (x) x 5, x ( 2;2),T 4;

2)f (x) 3 x , x ( 5;5),T 10;

3)f (x) 5x 1,x ( 5;5),T 10;

4)f (x) 2x 3,x ( 3; 3),T 6.

7.10.Розвиньте в ряд Фур’є періодичну функцію:

1) f (x )

sin x

;

2) f (x )

cos x

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc