Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

13. Нулі та ізольовані особливі точки функції

111

1 z ez

1 z z22!

... 1 z

...

2 !

3 !

2 !

3 !

Отже, z 0 — нуль 1-го порядку.

13.2.1. Знайти особливі точки функції f (z)

і визначити їхній характер.

1 sin z

Розв’язання. [13.7.1, 13.7.6.]

g(z) 1 sin z 0 zk

Arcsin 1

2 k;

2 k 0;

g (z)

cos z; g

g (z) sin z; g

2 k 1.

Отже, zk — нулі 2-го порядку для g(z) і полюси 2-го порядку для f (z) [13.7.6.]

13.2.2. Знайти особливі точки функції f (z) 1 cos z і визначите їхній харак-

тер.

Розв’язання. [13.7.1, 13.7.3.]

z2 0 z

1 1 z22! z44! z66! ...

f (z)

4 !

6 ! ...

2 !

Отже, z0 0 — усувна особлива точка для f (z) [13.7.3.]

13.2.3. Знайти особливі точки функції f

і визначити їхній характер.

(z) e

z 2

Розв’язання. [13.7.1, 13.7.5.]

Дослідімо особливу точку z0

ez 2

....

2)2

2 !(z

Оскільки головна частина Лоранового розвинення в околі точки z0 2 міс-

тить нескінченно багато членів, то z0 — істотно особлива точка.

112	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

13.2.4. Знайти особливі точки функції f (z)				1		1	і визначити їхній
13.2.4. Знайти особливі точки функції f (z)			e z 1				і визначити їхній
		характер:	e z 1		z2
		характер:
Розв’язання. [13.7.1, 13.7.6.]
[Особливі точками функції шукаємо серед нулів знаменників.]
		e z 1, z 0 zk 2 ki, k .
Отже, zk 2 ki, k , — особливі точки функції f (z).
[З’ясовуємо їхній характер.]
I . z	k	2 ki, k 0 : g(z) e z 1,
	k

g(2 ki) 0; g (z) e z ; g (2 ki) 1

zk 2 ki, k 0 прості нулі функції g(z) прості полюси для

;

—

e z

аналітична у цих точках zk

2 ki, k 0 — прості полюси для f (z).

z2 e z 1

[13.6.5] z

23 z2

z3 ...

ІІ. z0

3 !

0 : f (z)

z2(e z 1)

z2( z

...)

z 1 23 z

z2 ...

2 !

3 !

1 23 z

z2 ...

3 !

3(1

z2 ...)

z2(1

z2 ...)

3 !

2 !

3 !

Отже, z0 0 — полюс 2-го порядку [13.7.6].

13.3.

Визначити

характер

особливої

точки

для

функції

f (z)

sh z

z sin z

Розв’язання. [13.7.1, 13.7.6.]

Розвиньмо чисельник і знаменник дробу в Тейлорів ряд:

sh z

[13.6.5]

...

(z)

3 !

5 !

z sin z

z z

...

3 !

5 !

7 !

...

z 4

...

5 !

3 !

5 !

...

3 !

5 !

7 !

3 !

5 !

7 !

Оскільки z 0 є нулем 2-го порядку для функції

, то ця точка є полюсом

f (z)

2-го порядку для функції f (z) [13.7.6.]

	13. Нулі та ізольовані особливі точки функції				113
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
13.4. Знайдіть нулі функції f (z) і визначте їхній порядок:
1)	f (z) cos z;	2)	f (z) tg3 z;
3)	f (z) (z 3 1)2;	4)	f (z) (z2 1)(z2	3z 2)2	;
			z 1
5)	f (z) 1 ch z;	6)	f (z) cosz shiz.

13.5.Знайдіть усі особливі точки функції f (z), вкажіть їхній характер, у разі полюса — його порядок, якщо:

1
1) f (z)		;
	z z 3

3) f (z)						1			;

		z	3	(z	2			2
		z		(z			4)
5) f (z) e			z
5) f (z) e			1 z		;
7) f (z)			z	2		;

		sin z
		sin z
9) f (z)					1			;

	z(1 e2z )

2) f (z) 1 z 4 ;

2z2 1 4) f (z) z5(z2 9)3 ;

6) f (z) z2 sin z1 ;

sin z

8) f (z) (z )(z2 1) ;

10) f (z) tg 2z.

13.6. Визначити характер особливої точки z0 0 для функції:

sin z

1) f (z)

;

2) f (z)

e z

z 1

cos z 1

Відповіді

13.4.

1) zk

k — прості нулі; 2)

k, k , — нулі 3-го порядку;

3) z1

1, z2

1 i

, z3

1 i

— нулі 2-го порядку;

4) z1

i, z2 i — прості нулі, z3 1, z4 2 — нулі 2-го порядку;

5) zn

(2k 1) i,k — нулі 2-го порядку; 6) нулів немає.

13.5. 1) z1

0, z1 1, z2

1 — прості полюси; 2) z1,2,3,4

— прості полюси;

3) z1

— полюс 3-го порядку, z2,3 2i — полюси 2-го порядку;

114	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

4)z1 0 — полюс 5-го порядку, z2,3 3i — полюси 3-го порядку;

5)z 1 — істотно особлива точка; 6) z 0 — істотно особлива точка;

7)z0 0 — усувна особлива точка, z k k, k , — прості полюси;

8)z1 — усувна особлива точка, z2,3 1 — прості полюси;

9)z0 0 — полюс 2-го порядку, z k ki, k , — полюси 1-го порядку;

10)zk 4 2 , k , — прості полюси.

13.6. 1) полюс 1-го порядку; 2) полюс 4-го порядку.

14. Лишки

Навчальні задачі

14.1.1. Знайти лишки функції f (z)

tg z

у її особливих точках.

Розв’язання. [13.8.1, 13.8.7.]

Знайдімо особливі точки функції f(z) :

, z

k, k .

z z

0, cos z 0

Точка z 0 — усувна, оскільки

lim

tg z

4 .

z 0 z z

Точки z , z

— прості полюси, оскільки вони прості нулі функцій

z та cos z. Отже:

res f (0) 0;

[13.8.7]

tg z

;

res f

z z 4

z 4

[13.8.7]

sin z

res f

z z

cos z

z 2

1

z z

	4	z		k
	4	z	2	k
			2

k k , k .

2 4

	14. Лишки		115
14.1.2.	Знайти лишки функції f (z)	ez	у її особливих точках.
		z3(z 1)

Розв’язання. [13.8.1, 13.8.5, 13.8.6.]

Знайдімо особливі точки функції f(z) :

z3(z 1) 0 z 0, z 1.

Точка z 0 — полюс 3-го порядку, точка z																																1— простий полюс. Отже,
													[13.8.6]															ez
							res f (1)											lim										ez						(z 1) e;
							res f (1)											lim																(z 1) e;
																		z 1 z3(z													1)
			[13.8.5]																		z																				z
								1											e										3						1					e (z
								1											e										3						1					e (z			2)
	res f (0)										lim																z									lim


								2 !			z 0					3		(z 1)																	2	z 0									2
								2 !						z				(z 1)																	2			(z 1)
											1		lim			ez			(z2					4z 5)													5		.
													lim								(z				1)3														.
											2 z 0										(z				1)3												2
14.1.3. Знайти лишки функції f (z)																							sin					1		у її особливих точках.
																												z
																						1 z
Розв’язання. [13.8.1, 13.8.6.]																						1 z
Розв’язання. [13.8.1, 13.8.6.]
Особливими точки функції f(z) :																	z 0, z 1.
																	z 0, z 1.
Точка z 1 — простий полюс, точка z																											0— істотно особлива точка.
																								1
																			sin z
						res f(1) lim																						(z		1)					sin 1.
						res f(1) lim																						(z		1)					sin 1.
														z 1								z
														z 1					1			z

																									1					1			[13.6.5]
												f (z) sin													1					1
												f (z) sin													z			1		z
																									z			1		z
		1	1							1								1															1 z z								2				3	...
		1	1							1								1																							2				3
																						...																				z
						3						5								7		...																				z
				3 ! z		3			5 ! z			5			7 ! z					7
	z			3 ! z					5 ! z						7 ! z
										1							1							1						1
										1							1							1						1
				...									1																						...			...
																3 !						5 !								7 !
										z						3 !						5 !								7 !
																		1								1					1						[12.7.2]
			res f (0)								1							1								1					1			...						sin 1.
			res f (0)								1							3 !						5 !										...						sin 1.
																		3 !						5 !						7 !
14.2. Знайти лишок функції f (z)																								1								у нескінченно віддаленій точці.

																						z10					1
Розв’язання. [13.5.3.]
Функція f (z) в околі нескінченності																							z				1 розвивається в Лоранів ряд:
Функція f (z) в околі нескінченності																							z				1 розвивається в Лоранів ряд:
	1				1			1					[13.6.5]																				1							1				1
	1				1			1											( 1)k														1							1				1		... .
											1								( 1)k											z10(k 1)																... .
1 z10				z10 1							1								k 0																			z10						z20
1 z10				z10 1							10								k 0																			z10						z20
											z

116	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

Отже, c 1 0, тобто res f ( ) ( 1) 0 0.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

14.3. Знайдіть лишки функції f (z)

	1
1) f (z)						;
		z z 3
3) f (z)			2z 5				;

			z2 2z 1
5)	f (z) cos z				;

		z 2
7)	f (z) sin			1	;
				z2

9) f (z) zez 1 ;

14.4. Знайдіть лишок функції f (z)

1) f (z) z 4e1z , z0 ;

zn 1

3) f (z) sinn z ,n ,z0

у всіх її особливих точках:

1
2) f (z)		;
	sin z 1
2

4) f (z) z3(z2 4)2 ;

6) f (z) sinz z ;

8) f (z) z 3 cos z1 ;

10) f (z) ez 1.

у точці z0 :

	2)	f (z) z cos2		, z0 ;
				z
0;	4)	f (z)	ez	1 z	,z0	0.
			(1 cos 2z)sin z

Відповіді

14.3. 1) res f (0) 1, res f ( 1)												1				, res f (1)						1 ;
															2							2
								2								2								2
2)								2								2								2
	res f				2 k					, res f							2 k								;


			3						3							3								3
			3						3							3								3
3)	res f (1) 2;				4) res f (0)								1		, res f ( 2i)						1		;
3)	res f (1) 2;				4) res f (0)										, res f ( 2i)					64			;
												32								64
																					k
5)	res f			0; 6)		res f (0) 0, res f ( k)															k		k;
5)	res f			0; 6)		res f (0) 0, res f ( k)												( 1)					k;
		2
		2
7)	res f (0) 0;				8) res f (0)							1		;	9) res f (1)				3 ;			10) res f(1) e.
7)	res f (0) 0;				8) res f (0)						24			;	9) res f (1)				3 ;			10) res f(1) e.
											24								2
						1						res f( ) 2;
14.4. 1) res f ( )									; 2)									3) res f(0) 1; 4) res f(0) 1.
14.4. 1) res f ( )							120		; 2)									3) res f(0) 1; 4) res f(0) 1.

15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків

117

15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків

Навчальні задачі

ez 3

15.1.1. Обчислити інтеграл

zdz

Розв’язання. [13.9.1.]

z 1

Особливими

точками

підінтегральної

функції

Im z

f (z)

є прості полюси

O z2

ez 3

[13.2.4]

z 3 Re z

zk Ln( 3)

ln 3 i (2k 1), k

Усередину

круга

z 1

потрапляють

точки

Рис. до зад. 15.1.1

z1 ln 3 i та z2 ln 3 i .

Отже, за теоремою Коші:

zdz

[13.9.1]

ez 3

2 i

res f (ln 3 i) res f (ln 3 i)

C :

z 1

2 i

z ln 3 i

ln 3

ln 3 i

2 i

ln 3 i

4 i

ln 3 i

2 i

ln 3.

15.1.2. Обчислити інтеграл

dz.

z i

Розв’язання. [13.9.1.]

Особливими

точками

підінтегральної

функції

f (z)

ez2 1

є нулі знаменника

z0 0, z1

i. Обидві

z2(z i)

точки потрапляють усередину круга z i 3 .

Точка z 0 — усувна особлива точка, оскільки

Im z

O 1 Re z

Рис. до зад. 15.1.2

lim

ez2

z2,

lim

z 0

z 0 z2(z i)

z 0 z i

118	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

Отже, res f(0) 0 [13.8.4].

Точка z i — простий полюс. Отже,

ez2 1

2 i res f (0) res f(i)

C :

z3 iz2

z i

2 i 0 2 i lim

ez2 1

2 i(1 e 1).

z i

15.1.3. Обчислити інтеграл

z3 sin 1 dz.

Розв’язання. [13.9.1.]

Особливою точкою функції f (z) z 3

sin 1

є z 0

— істотно особлива точка.

Ця точка потрапляє всередину круга

1. Знайдімо res f (0) за означенням:

[13.6.5]

sin

...

3 ! z

5 ! z

[13.8.2]

... res f (0)

3 !

5 ! z3

Отже,

z3 sin z dz 2 i 0 0.

xdx

15.2.1. Обчислити інтеграл I

Розв’язання. [13.9.2.]

4x 13)

Особливими точками функції

f (z)

(z2 4z 13)2

(z 2 3i)2(z 2 3i)2

є точки z1,2 2 3i

— полюси 2-го порядку, які не лежать на дійсній осі.

Степінь многочлена у знаменнику на 3 більше, ніж степінь многочлена в чисельнику. Отже,

I1 2 i res f ( 2 3i)

(лишок береться в точці з додатною уявною частиною). Знайдімо

15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків

119

[13.8.5]

res f ( 2 3i)

lim

z 2 3i

(z 2

3i)

lim

2 3i z

2 3i)3

216i

z 2 3i (z

I 2 i

x sin xdx

15.2.2. Обчислити інтеграли I

x2 4x 20

Розв’язання. [13.9.3, 13.9.4.]

[13.9.4]

xeixdx

4x 20

Функція

f (z)

zeiz

z2 4z 20

(z 2 4i)(z 2 4i)

має у точках z1,2

2 4i — прості полюси. Отже,

xeixdx

[13.9.3]

I Im

Im 2 i res f ( 2 4i)

4x 20

(лишок береться в точці з додатною уявною частиною).

Знайдімо

[13.8.6]

zeiz

( 2 4i)e 4(cos 2 i sin 2)

res f ( 2 4i)

lim

2 4i)

z 2 4i

Отже,

xeixdx

( 2 4i)e 4(cos 2 i sin 2)

2 i

x2 4x 20

4 ( 2 cos 2 4 sin 2 i(4 cos 2 2 sin 2))

e 4(2 cos 2 sin 2)

15.2.3. Обчислити інтеграл

(0 a 1).

a cos x

Розв’язання. [13.9.5.]

Виконаймо заміну змінної:

120	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

eix

z,dx

, cos x

z2 1

2z a

1 iz

1 a

1 az

Знайдімо особливі точки функції f (z)

az2 2z a

az2 2z a 0;

1 a2

1,2

Усередину круга

1 потрапляє лише точка z

1 a2 1

— полюс 1-

го порядку. Отже,

res f

[13.8.6]

1 a

lim

1 a

2 1 a

z a

1 a 1 a z

I 2i 2 i

2 1 a2

1 a2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.3.

Обчисліть

, якщо контур:

z(z 2)

1) C :

z 5

1; 2) C :

1; 3) C :

15.4.

Обчисліть

якщо контур:

(z 1)

1) C :

z 1

1; 2) C :

z 1

1; 3) C :

15.5.

Обчисліть:

cos 2 z

dz;

sin z

dz;

z 1

(z 1)(z 3)

z i

3 z

cos2 z

dz;

z 1

4) sin

2 z sin z

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc