Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

			3. Знакозмінні ряди	51
Ряд		1	збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником	2 1
Ряд	n 1 n2		збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником	2 1
	n 1 n2

[12.2.5]; ряд n 1 an збігається за граничною ознакою порівняння.

[Досліджуємо ряд n 1bn .]

Дослідімо ряд n 1bn за другою ознакою порівняння:

b	n	1	1	,n .

n	4n2 1	4 n

Ряд n 1 n розбігається як гармонічний ряд; ряд n 1bn розбігається за другою

ознакою порівняння.

Ряд з комплексними членами розбігається, оскільки розбігається ряд, складений з уявних частин його членів.

		n2
	Довести збіжність ряду	n2
3.2.1.				. Установити скільки членів ряду, тре-
3.2.1.				. Установити скільки членів ряду, тре-
	n 1 n6		1
	ба взяти, щоб забезпечити точність наближення суми ряду його частко-
	вою сумою 10 3. Обчислити суму ряду з точністю 10 2.
Розв’язання. 
[Крок 1. Досліджуємо ряд n 1an . ]
			n2
	an				0.
	an				0.
			n6 1

Дослідімо ряд за другою ознакою порівняння [12.2.2]:

	a		n2	1	b , n .
		n
			n6 1	n4	n

Ряд n 1bn	збігається; за другою ознакою порівняння збігається ряд n 1an .
[Крок 2. Оцінюємо залишок ряду.]

f (n)

, n 1, 2, 3, ... f(x)

n6 1

Дослідімо функцію f (x) на монотонність для x 1.

f (x)

2x(1 2x6)

0, x 1 f (n) n 1.

1 2

x2dx

b x2dx

dx lim

lim

1		1
1		1
				.
	3		3	.
3b	3	3n	3
3b		3n

52	Модуль 1. РЯДИ

[Крок 3. Визначаємо скільки членів ряду треба взяти, щоб забезпечити потрібну точність.]

1		0, 001 n	10	n 7.

	3n3		3 3

1		0, 01 n 3 100		n 4.
3n3
			3

[Крок 4. Обчислюємо суму ряду із заданою точністю, беручи у проміжних обчисленнях хоча б на один знак після коми більше, ніж вимагається.]


	n2	S4 0, 500 0, 061 0, 012 0, 004 0, 58.

n 1 n6 1
Коментар. Для наближеного обчислення суми S збіжного ряду			n 1 f (n)
покладають
		S Sn kn 1 f (k),

нехтуючи залишком ряду Rn S Sn. Щоб оцінити похибку наближення,

треба оцінити залишок ряду.

Для збіжних «додатних» рядів, члени яких спадають починаючи з (n 1) правдива така оцінка залишку

f (x)dx Rn f (x)dx.

n 1

3.2.2.

Довести збіжність ряду

( 1)

. Встановити скільки членів ряду,

(2n

1)3

n 1

треба взяти, щоб забезпечити точність 10 4. Обчислити суму ряду з

точністю 10 2.

Розв’язання. [12.3.3.]

Дослідімо

знакопочережний ряд

із

загальним

членом, модуль якого

, на збіжність за допомогою Лейбніцевої ознаки [12.3.3]:

(2n 1)3

an 1

, n

1, 2, ...

1)3

(2n 3)3

(2n

lim

1)3

n (2n

Ряд збігається за Лейбніцевою ознакою.

2.

(2n

3)3

			3. Знакозмінні ряди		53
3.	1	0, 0001 n 10;

	(2n 3)3
		1		0, 01 n	1.

		(2n 3)3

4. S S1 0, 04.

Коментар. Для збіжних знакопочережних рядів правдива оцінка

												Rn						an 1		.
												1
3.2.3.	Довести збіжність ряду											1		. Обчислити суму ряду з точністю 10 3.
3.2.3.	Довести збіжність ряду											n		. Обчислити суму ряду з точністю 10 3.
									n 1			n	!
Розв’язання.									n 1
Розв’язання.
1. Ряд збігається за д’Аламберовою ознакою.
		1			1							1
2. Rn		1			1							1					...
2. Rn				(n 1)!						(n					2)!		...
	k n 1	k !		(n 1)!						(n					2)!
	k n 1
					1							1								1
					1							1								1
								1															...
								1															...
											n 2							(n 2)(n 3)
			(n 1)!								n 2							(n 2)(n 3)
							1									1					1
							1									1					1
											1												... .
											1												... .
																					2
					(n 1)!										n 1						2
					(n 1)!										n 1				(n 1)
																геометричний ряд
						R					1							1			1	.


						n			(n 1)! 1										1		n n !
									(n 1)! 1										n 1		n n !
																			n 1

3. n n !

n 1 n !

0, 001 n 6.

S6 1 2 ! ... 6 ! 1, 718.

Коментар. Для рядів з додатними членами не існує загальних формул оцінки залишку ряду.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

3.3.Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність ряд:

		arctg( n)n						n 3
1)		arctg( n)n		;	2) ( 1)n 1			n 3	;


n 1	4 2n6 3n 1				n 1			n2 4
	( 1)n 1					( 1)n
3)	( 1)n 1		;		4)	( 1)n	;
3)			;		4)	ln ln n	;
n 1	ln(n 1)				n 3	ln ln n
n 1					n 3

54	Модуль 1. РЯДИ

n !

5) ( 1)n 1

;

2n2

n 1

( 1)

;

n 1

( 1)n cos

;

n 1

cos n

11)

;

n 1

3n n !

13) 1

;

n 1

2 !!

15) n(2 i)n ;

n 1

3.4.Знайдіть наближено (з точністю

	1
1) ( 1)n 1		;
	3n2
n 1

( 1)n nn

;

n 1

(2n)!

n(n 1)

n n 1

;

( 1)

n 2

n 1

( 1)n

sin

10)

;

n 1

n n 1

( 1)

12)

sin

;

n 1

(2n

14) tg

;

n 1

16)

( 1)

n 1

0, 01) суму ряду:

( 1)n 1

2)n ! .n 1

3.5.Визначіть, скільки треба взяти членів ряду, щоб з точністю до 0, 001 обчислити суму ряду:

	( 1)n 1			( 1)n 1
1)	( 1)n 1	;	2)	( 1)n 1	.
n 1	(2n 1)!		n 1	n2n

Відповіді

3.3. 1) збіжний абсолютно; 2) збіжний умовно; 3) збіжний умовно ;4) збіжний умовно; 5) розбіжний; 6) збіжний абсолютно; 7) розбіжний; 8) розбіжний; 9) збіжний умовно; 10) збіжний абсолютно; 11) збіжний абсолютно; 12) збіжний абсолютно; 13) розбіжний; 14) розбіжний; 15) збіжний абсолютно; 16) збіжний.

3.4.1) 0, 28; 2) 0, 62.

3.5.1) 3 члени; 2) 7 членів.

4. Функціональні ряди

Навчальні задачі

4.1.1. Знайти область збіжності функціонального ряду xn 1.

Розв’язання. [12.4.1.]

n 1

[Крок 1.

Знаходимо область означення ряду.]

Область означення ряду — множина .

[Крок 2.

Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність.]

n 1

— геометричний. Для

1 він збігається, а для

1 —

Ряд n 1

розбігається.

[Крок 3. Досліджуємо ряд на збіжність у межових точках області абсолютної збіжності.]

При x 1 ряди 1 1 1 ... та 1 1 1 1 ... — розбігаються.

[Крок 4. Записуємо відповідь.]

Область абсолютної збіжності ряду: ( 1;1).

4.1.2. Знайти область збіжності функціонального ряду lnn x.

n 1

Розв’язання. [12.4.1.]

1.Область означення ряду: проміжок (0; ).

2.Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність за ознакою Коші:

lnn x

;

lim n

ln x

lim n

Ряд збігатиметься для всіх x, для яких:

ln x

1 1 ln x 1 1 x e.

І розбігатиметься для всіх x таких, що

1 x

e; .

ln x

3. Для x 1 ряд 1 1 1 1 ... — розбігається.

Для x e ряд 1 1 1 ... — розбігається.

4. Область абсолютної збіжності ряду:

;e .

56	Модуль 1. РЯДИ

( 1)n

4.1.3. Знайти область збіжності функціонального ряду .

n 1 nx

Розв’язання. [12.4.1.]

1. Область означення ряду: .

2. Ряд

узагальнений гармонічний [12.3.5.] Він збігається для x 1 і ро-

n 1 nx

збігається для x 1.

( 1)n

3. Для x (0;1] ряд n 1

збігається умовно за Лейбніцовою ознакою:

lim

1)x

n nx

Область збіжності ряду: (0; ).

1 kx

4.1.4. Знайти область збіжності функціонального ряду

2 .

Розв’язання. [12.4.1.]

k 1

1. Область означення ряду — множина .

2. Досліджуємо ряд за ознакою Коші:

2 ;

lim

2 .

Ряд збігається для таких x, що 2x

x 0.

Ряд розбігається для таких x,

що 2x 1

x 0.

3. Для x 0 маємо ряд

k 1

Загальний член прямує до числа e [А.1.1], а отже, він розбігається за достатньою ознакою розбіжності ряду.

4. Область збіжності ряду: ; 0 .

	1
4.2. Довести, що ряд		збігається рівномірно за ознакою Веєрштраса.

n 1 n3	x2

Розв’язання. [12.4.3.]

[Будуємо збіжну мажоранту для функціонального ряду.]

		4. Функціональні ряди					57
Для всіх значень x маємо
			1		1	.
		n3 x2				.
		n3 x2		n3

Отже, ряд	1	є мажорантою [12.4.3] заданого ряду.
Отже, ряд	3	є мажорантою [12.4.3] заданого ряду.
n 1 n

Мажоранта збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником 3 1

[12.2.5.]

За ознакою Веєрштраса ряд збігається рівномірно на всій числовій осі

( ; ).


4.3. Показати, що функція f(x) sin4nx неперервна на всій числовій осі
		n 1		n
і що ряд можна інтегрувати на будь-якому відрізку [0; x ].
Розв’язання. [12.4.5.]
	sin nx		1	x .

	n4
		n4

Для всіх x за мажоранту [12.4.3] заданого функціонального ряду можна взяти

збіжний числовий ряд із загальним членом n4 . Отже, заданий функціональний

ряд збігається рівномірно на всій числовій осі.

Оскільки члени ряду неперервні на всій осі функції, отже, f (x) неперервна на всій осі [12.4.5.]

Завдяки рівномірній збіжності, ряд можна почленно інтегрувати на будь-якому інтервалі [12.4.5]:

sin nt

f(t)dt

sin nt

n 1 n

n 1

cos nt

1 cos nx

sin ntdt

n 1 n

n 1

4.4.Знайти суму ряду x(1 x)n, 0 x 1.

n 0

Розв’язання.

Нехай S(x) — сума заданого ряду. S(0) S(1) 0. Для фіксованого x (0;1)

заданий ряд

S(x) x (1 x)n

n 0

58	Модуль 1. РЯДИ

є геометричним зі знаменником 1 x, тобто

S(x) x 1 (1 x) 1, 0 x 1.

Отже,

 0, x 0, x 1,

S(x)

1, 0 x 1.

Коментар. Хоча кожна з функцій u (x) x(1 x)n								C , сума ряду S(x)
			n					[0;1]
виявилась розривною.

4.5. Дослідити властивості суми ряду sin 2n x .
			n 1	2n
Розв’язання. [12.4.5.]
		x n :	sin 2n x		1
			sin 2n x		1
							.
			n			n	.
			2		2
	1
Мажоранта	1	збігається, отже розглядуваний ряд збігається рівномірно на
Мажоранта	n	збігається, отже розглядуваний ряд збігається рівномірно на
n 1	2

за ознакою Веєрштраса [12.4.3.].

1.Сума ряду S(x) — функція неперервна [12.4.5].

2.Ряд його можна інтегрувати почленно на довільному проміжку [12.4.5]:

sin 2n t

S(t)dt

n 1

cos 2n t

1 cos 2n x

n 1

x. Оскільки він розбігається (не ви-

3. Утворімо ряд з похідних: n 1 cos 2

конується необхідна ознака збіжності ряду), то вихідний ряд не можна почленно диференціювати [12.4.5.]

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

4.6. Знайдіть область збіжності функціонального ряду:

n x 1e ;

;

n 1

x e

3) (3 x2 )n ;

4) (2 x2 )n ;

n 1

4. Функціональні ряди

			x
5)	xn tg		x		;
5)	xn tg		2n		;
	n 1		2n
		1
7)		1		;
7)				;
	n 1 xn 1
		n 1				1		n
		n 1				1	x
9)	1								;


	n 1		n
	n 1		n		1		x

11) lnn x;

n 1

	x(x n) n
6)		;
	n
n 1

8) enx ;

n 1

		x	n
10)		x		;
10)	1	x2n		;
n 1	1	x2n

2n sinn x

12) .

n 1 n2

4.7.Знайдіть область рівномірної збіжності функціонального ряду:

						1
1) cos nx;			2)			1		;
1) cos nx;			2)					;
n 1	n2		n 1	2n 1 nx
	1			2		2
3)	1	;	4)	e n	x		.
n 2 n2 cos nx			n 1	n2

4.8.Доведіть, що ряд збігається рівномірно у зазначеному проміжку:

( 1)n 1
1)					, x	0; ;
n 1	n	x
	2	nx	,
	2	nx
3) x e				x 0; ;
n 1
n 1
(sin x cos x)n
5)			n			,x ( ; );
n 1		2

			x						;
2)			x

							, x 0;
	n 1	1 n4x2
		2		nx
4)		sin		nx		, x ( ; );


	n 1	n3 1
		arctg			nx
6)		arctg			nx			, x ( ; ).


	n 1 x2 3 n5

						x2
4.9.	Доведіть, що ряд ( 1)n 1						рівномірно збіжний на всій чис-
4.9.	Доведіть, що ряд ( 1)n 1					(1 x2 )n	рівномірно збіжний на всій чис-
	n 1					(1 x2 )n
			x	2
	ловій осі, а ряд		x		хоча і скрізь збіжний, але нерівномірно.
	ловій осі, а ряд	(1	x2 )n		хоча і скрізь збіжний, але нерівномірно.
	n 1	(1	x2 )n

4.10.З’ясуйте чи можна почленно диференціювати та інтегрувати ряд в області його збіжності:

				5nx.
1) cos4nx;		2) sin		5nx.
n 1	n	n 1	n

60	Модуль 1. РЯДИ

Відповіді

4.6. 1) [1; ); 2) ; 3) ( 2; 2) (2;2); 4) ( 3; 1) (1; 3); 5) ( 2;2); 6) ( 1;1);

							1
7) ( ; 1)		(1; ); 8)			( ; 0); 9) [0; ); 10) \ { 1,1};		1
7) ( ; 1)		(1; ); 8)			( ; 0); 9) [0; ); 10) \ { 1,1};	11)		;e ;

						e
12)	k;			,k	.
12)	k;		k	,k	.
	6	6
	6	6

4.7. 1) ; 2) [0; ); 3) ; 4) .

4.10. 1) можна; 2) можна.

5. Степеневі ряди

Навчальні задачі

2)n .

5.1.1.

Знайти область збіжності ряду 3n(x

Розв’язання. [12.5.6.]

n 1

[Крок

Досліджуємо

степеневий

ряд

на

абсолютну збіжність за

д’Аламберовою ознакою.]

u (x)

x 2

;

(x)

3n 1

x 2

n 1

(n 1)2

un 1(x)

3n2

lim

x 2

un (x)

n (n 1)2

Ряд збігається абсолютно для всіх x, для яких

x 2

;

[Крок 2. Досліджуємо ряд на кінцях інтервалу збіжності.]

Для x 5

( 1)n

маємо знакопочережний ряд

. Він абсолютно збіжний (ряд

n 1

з модулів — узагальнений гармонічний ряд з показником 2 1 [12.2.5.]

Для x 7

маємо ряд

, який збігається.

n 1 n2

[Крок 3. Записуємо відповідь.]

Область абсолютної збіжності:

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc