Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

18. Відшукання оригіналу за зображенням

141

18.6.Використовуючи першу теорему розвинення, знайдіть оригінал для зображення:

1)	1 cos		1 ;		2)	sin	1	;
	p		p				p
3)	1	ln p 1		;	4)	1 e1 p2 .
3)	2p	ln p 1		;	4)	1 e1 p2 .
	2p		p 1			p

18.7.Відновіть оригінал за його зображеннями, використовуючи властивість зображення згортки і Дюамелеву формулу:

1) F(p)

3) F(p)

5) F(p)

7) F(p)

9) F(p)

1				;


	p(p2 1)
1						;

(p 1)(p2					1)
(p 1)(p2					1)
	p2					;
(p 1)(p2					1)	;
1		;

(p2 1)2
1			;

(p4 1)2

2) F(p)

4) F(p)

6) F(p)

8) F(p)

10) F(p

(p2 1)2 ;

p3(p 1) ;

(p2 1)(p2 1);

(p2 1)2 ;

) (p2 1)2(p2 4).

Відповіді

18.5. 1) e 3t						sin t; 2)			2		3 et 2 sin 3 3 t; 3) 1 e t te t ; 4) e t(1 t2);
										9					2
5)	1	(e 2t			et 3tet ); 6)								t 2 2tet 2et ;								7)		1		e t				1	et 2 cos					3	t		5		et 2 sin					3	t;
	9																																			t

																						3						3			2								3					2
																						1
8)	2		t		2	t 2			3		t; 9) (t				2)(t 2); 10)							1									2				(t 3)
	3 e				3 e		cos																2 (t					3)(t 3) e									;
	3 e				3 e		cos		2														2 (t					3)(t 3) e									;
11) e2t				(t 1) (t 4)sin 3(t 4); 12)																	cos 2t 2 (t 1) ch 2(t 1).
								t2n												t2n														t2n 1												t2n
18.6. 1) ( 1)n								t2n				;	2) ( 1)n							t2n							;	3)						t2n 1							;	4)				t2n	.
18.6. 1) ( 1)n										2		;	2) ( 1)n														;	3)			(2n 1)!(2n										;	4)					.
				n 0			((2n)!)						n 0			(2n 1)!(2n)!													n 0		(2n 1)!(2n									1)			n 0 n !(2n)!
18.7. 1) 1 cost; 2)									1	sin t				1	t cost;	3)		1		et		1		(cost sin t); 4)											1 t				t2		et ;
18.7. 1) 1 cost; 2)									2	sin t				2	t cost;	3)		2		et		2		(cost sin t); 4)											1 t				2		et ;
									2					2				2				2																	2
5)	1	(et		cost sin t); 6)									1 (ch t cost); 7)								1 (sint t cost); 8) 1 t sint;
	2												2								2										2
9)	t	(ch t cost)							3 (sh t				sin t); 10)				1		t cost							7		sint				1	sh 2t.
9)	8	(ch t cost)							3 (sh t				sin t); 10)						t cost									sint					sh 2t.
	8								8							10								50							50

142	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

19. Застосування операційного числення

Навчальні задачі

19.1.1.Розв’язати задачу Коші:

x2x x sin t, x(0) 0, x (0) 1.

Розв’язання. 

[Крок 1. Припускаючи, що розв’язок задачі Коші x(t) є оригіналом, переходимо від диференціального рівняння до операторного.]

Нехай x(t) — оригінал та x(t) X(p). Тоді:

x (t) pX(p);

x (t) p2X(p) 1; sin t

p2 1

p2X(p) 1 2pX(p) X(p)

;

[Крок 2. Розв’язуємо операторне рівняння.]

X(p)(p2

2p 1)

;

X(p)

(p 1)2(p2 1)

[Крок 3. Знаходимо оригінал для розв’язку операторного рівняння.]

X(p)

Cp D

(p 1)2(p2 1)

p 1

p2 1

(p 1)2

розкладаємо зображення

насуму елементарних дробів

;

p2 1

p 1

A res

p 1

						2										2						3
			p			2							2p(p			2				1)	2p	3	1
			p										2p(p							1)	2p		1
X(p) lim									lim															.

																							2
p 1				2						p 1							2			2			2
p 1		p		2						p 1				(p			2			2
		p					1							(p					1)
p 0 : 0							1			1 D D 0.
		1			1		2	1		2	C								1 .
p 1 :		1			1			1			C	C
p 1 :		8			4			8				C
		8			4			8		2									2
X(p) 1		1					1			1			1					p
X(p) 1	p	1					2	(p 1)2					1		p2
2	p	1					2	(p 1)2					2		p2					1
		1	e t				te t cos t .
		2

19. Застосування операційного числення

143

[Крок 4. Записуємо розв’язок.]

x(t) 12 e t te t cos t .

Коментар. Розв’язання задачі Коші для ЛДР зі сталими коефіцієнтами зі

знаходженням зображення правої частини рівняння.
Задача Коші для диференціальне рівняння 2-го порядку:
a	d2x	a	dx	a x(t) f(t), x(0) x			, x (0) x	,

	0 dt2
		1 dt		2		0	0
де a0,a1,a2 — сталі, a0 0.
Нехай x(t) X(p), f (t) F(p)					(припускаючи, що		x(t) та f (t) — функції-

оригінали). Застосовуючи перетворення Лапласа до обох частин ДР і враховуючи початкові умови, дістаємо операторне рівняння

(a0p2 a1p a2 )X(p) (a0px0 a0x0 a1x0 ) F(p).

З операторного рівняння дістаємо операторний розв’язок

X(p) F(p) a0px0 a0x1 a1x0 . a0p2 a1p a2

Знаходячи по зображенню X(p) оригінал x(t), одержують функцію x(t) — розв’язок задачі Коші.

19.1.2. Розв’язати задачу Коші:

y y 2y 1, y(0) 0, y (0) 1.

Розв’язання.

1. Нехай y(t) — оригінал та y(t) Y (p).

y (t) pY(p) y(0) pY(p);

y (t) p2Y(p) py(0) y (0) p2Y(p) 1.

2.p2Y(p) 1 pY(p) 2Y(p) 1p .

3.Y(p) p(p 1)(p 2) .

y(t) res (Y(p)ept )		res (Y(p)ept ) res (Y(p)ept ).
p1 0	p2 1			p3 2
res (Y(p)ept )	1		; res (Y	(p)ept )	2	e t ;
		2			3
p1 0			p2 1	1 e2t .
res (Y(p)ept )
p3 2				6

4. y(t) 12 23 e t 16 e2t .

144	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

[Перевіряємо виконання початкових умов.]

		y(0) 1		2		1 0;
			2		3	6
	y (t)	2 e t	2 e2t	;	y (0)	2	1	1.
		3	6			3	3
19.2. Розв’язати	задачу		Коші			x 4x	f(t), 2		f(t)
19.2. Розв’язати	задачу		Коші			x 4x	f(t), 2
x(0) x (0) 0.
Розв’язання. [14.3.5.]
[Записуємо функцію f (t) аналітично.]								O	1 2 t
		2t,	0 t		1,			Рис. до зад. 19.2
		2t,	0 t		1,

		2t, 1 t 2,
f (t) 4		2t, 1 t 2,

		0,	t 2.
		0,	t 2.

f (t) 2t ( (t) (t 1)) (4 2t) (t 1) (t 2)

2t (t) 4(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2).

1.Нехай x(t) — оригінал і

x(t) X(p).

x(t) p2X(p).

											f (t)					2					4e p						2e 2p
																														.
															p2							p2					p2			.
															p2							p2					p2
							p2X(p) 4X(p)																2 4e p 2e 2p
																																		.
																											p2							.
																											p2
2. X(p)(p2 4)						2 4e p 2e 2p
																		.
											p2							.
											p2
											X(p)						2 4e p 2e 2p													.
											X(p)									p2(p2							4)			.
																				p2(p2							4)
3.	2 4e p 2e 2p							2 4e p 2e 2p 4 p2 p2
3.	p2(p2 4)												4										p2(p2 4)
	p2(p2 4)												4										p2(p2 4)
										2		4e	p		2e					2p					1				1
										2		4e			2e										1				1
																																	.
																										2			2				.
													4													2		p	2
													4											p				p		4
		1		1																	1
4. x(t)		1		1																	1
4. x(t)			t		sin 2t				(t)			t		1									sin 2(t 1)									(t 1)
				2																	2
		2		2																	2
																	1
										1							1
											t	2							sin 2(t 2)									(t			2).
											t	2							sin 2(t 2)									(t			2).
																	2
									2								2

19. Застосування операційного числення

145

19.3.Знайти силу струму i(t) під час увімкнення одиничної ЕРС в елементарне електричне коло, складене з послідовно ввімкнених самоіндукції L, опору R та ємності C.

Розв’язання. 

Для всього кола матимемо рівняння:

				L di(t) Ri(t)												1			t
																1		i(t)dt 1,
																		i(t)dt 1,
						dt									C			0
																		0
де i(0) 0, що відповідає задачі ввімкнення. Нехай i(t) I(p), тоді:
														t						I(p)
							pI(p); i(t)dt													I(p)		.
				i	(t)		pI(p); i(t)dt														p	.
											0										p
											0
LPI(p) RI(p)									1	I(p) 1							I(p)						1		.
LPI(p) RI(p)										I(p) 1							I(p)								.
								Cp						p							Lp2 Rp			1
								Cp						p							Lp2 Rp			C
Позначаючи	R		, 20					1			і покладаючи 0,												перепишімо оператор-
Позначаючи			, 20				LC				і покладаючи 0,												перепишімо оператор-
	2L						LC
не рівняння так:
I(p)					1															1
I(p)		L(p2 2 p 2 )													L			(p )2 ( 2 2)

											0												0
											0												0
					1												20 2
				L									(p )2						( 20	2)
				L		2		2					(p )2						( 20	2)
					0
					1
					1							e t sin(							20 2t) i(t).


						2	2
			L			2	2
					0

Коментар. Струм i(t) та напруга u(t) на кінцях елементу кола, який містить відповідно лише самоіндукцію L, лише опір R або лише ємність c, пов’язані співвідношеннями:

u(t) L dudt ; u(t) Ri(t); u(t) C1 0 i(t)dt,

якщо початковий заряд на конденсаторі дорівнює нулеві.

Фізичний зміст сталих: — коефіцієнт згасання; 20 2 — колова часто-

та контуру; 0 — колова частота контуру без опору. Умова 0 відповідає коливному контуру.

146	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

19.4. Розв’язати задачу Коші: x x	1	,	x(0) x (0) 0.

	et
1

Розв’язання. 

1.Нехай x(t) — оригінал та x(t) X(p).

x(t) pX(p), x (t) p2X(p),

f (t) 1 et F(p). p2X(p) pX(p) F(p);

X(p)(p2 p) F(p).

2. X(p)

F(p).

p2 p

et 1.

p 1

p2 p

За властивістю зображення згортки маємо

x(t)

0 e

e (et 1) ln(et e )

1 (et 1) ln 2et (et

1) ln(et 1).

4. x(t) et

1 (et

1)(ln 2 t) (et 1) ln(et 1).

Коментар. Розв’язання задачі Коші без знаходження зображення правої частини рівняння.

Задача Коші для диференціального рівняння 2-го порядку з нульовими початковими умовами:

d2x dx

L[x(t)] a0 dt2 a1 dt a2x(t) f (t), x(0) x (0) 0,

де a0,a1,a2 — сталі, a0 0.

Перший метод. Нехай x(t) X(p), f (t) F(p) (припускаючи, що x(t) та f (t) — функції-оригінали), і явний вигляд F(p) не знаходимо.

Тоді розв’язок x(t) шукаємо як згортку:

		t			t
x(t) k( )f(t )d k(t )f ( )d .
		0		0
де K(p) k(t)		1			.

	p2	a	p a
a	p2	a	p a	2
0		1		2

19. Застосування операційного числення

147

Знаходячи по зображенню X(p) оригінал x(t), одержуємо функцію x(t) — розв’язок задачі Коші.

Другий метод. Якщо відомий розв’язок x1(t) задачі Коші:

L[x1(t)] 1, x1(0) x1(0) 0,

то розв’язок x(t) задачі Коші

L[x(t)] f (t),x(0) x (0) 0,

можна знайти за Дюамелевою формулою:

	t		t
	x(t) f ( )x1(t )d f (t )x1( )d .
	0		0
		3y x,
	x	3y x,
19.5.
19.5.	Розв’язати задачу Коші
		x	t	, x(0)	y(0)	1.
	y	x	y e	, x(0)	y(0)	1.

Розв’язання. 

1.Нехай x(t) та y(t) — оригінали і x(t) X(p), y(t) Y (p). Тоді:

x(t) pX(p) 1;

y (t) pY(p) 1;et

3Y(p) X(p),

pX(p) 1

X(p) Y(p)

pY (p) 1

p 1

(p 1)X(p) 3Y(p) 1,

(p 1)Y(p)

X(p)

p 1

Розв’яжімо систему, приміром, за Крамеровим правилом:

p 1

p2 4;

p 1

;

p 1

p2 2p 1

p 1

X(p)

p 1

;

1)(p2

148	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

										Y		(p)					y						p2				2p 1							.
										Y		(p)										(p		1)(p2										.
																						(p		1)(p2							4)
3. X(p)				1				2				p						3				2				et 2 ch 2t												3 sh 2t;
3. X(p)			p	1				2		p2 4								2		p2				4		et 2 ch 2t												3 sh 2t;
			p	1						p2 4								2		p2				4														2
									Y(p)									2 .			1						5			p
									Y(p)									2 .	p 1								5			p2	4
																		3	p 1								3			p2	4
									11			2									2 et						5 ch 2t					11 sh 2t.
									6		p2					4					2 et						5 ch 2t					11 sh 2t.
									6		p2					4					3						3					6
														3
					t									3
	x(t) e				t		2 ch 2t sh 2t,
	x(t) e						2 ch 2t sh 2t,
														2
4.			2					5						2
			2			t		5							11
				e		t	ch 2t						sh 2t.
y(t)				e			ch 2t						sh 2t.
			3					3								6
			3					3								6
																																		x
19.6.	Розв’язати інтегральне рівняння (x) sin x (x t) (t)dt.
																																0
Розв’язання. 
1. Нехай (x) (p).
					x											t (t) (2p) , sin x																				1
				(x t) (t)dt																																1			;
				(x t) (t)dt																															p	2			;
					0																						p								p		1
					0
														(p)								1				(p) .
														(p)						p2				1		(p) .
																				p2				1					p2
2. (p)		p2 1							1		;
2. (p)		p2						p2			;
		p2						p2	1
								(p)										p2												p				p			.
								(p)				(p2 1)(p2									1)							p2 1					p2 1				.
		x
3. (x) ch(x t) cos tdt
		0
																							x
							ch(x t) sin t \|x0														sh(x t) sin tdt
																						0
																											x
						sin x sh(x t) cos t \|x0																			ch(x t) cos tdt.
																											0

4. (x) 12 (sin x sh x).

19. Застосування операційного числення	149
Коментар. Розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра 2-го роду	типу
згортки.
Нехай маємо інтегральне рівняння Вольтерра 2-го роду типу згортки
x
(x) f (x) K(x t) (t)dt.
0
Нехай
(x) (p), f (x) F(p), K(x) L(p).

Застосовуючи до обох частин інтегрального рівняння перетворення Лапласа і

користуючись властивістю зображення згортки, матимемо

(p) F(p) L(p) (p),

звідки
(p)		F(p)	, L(p) 1.
(p)	1	L(p)	, L(p) 1.
	1	L(p)

Для зображення (p) знаходимо оригінал (x) — розв’язок інтегрального рівняння.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

19.7.Розв’яжіть задачу Коші:

1) x 6x 9x 9e3t ,x(0) 0,x (0) 0;

2) xIV x et, x(0) 1, x (0) x (0) x (0) 0;

3)x x t2 2t,x(0) 4,x (0) 2;

4)x 4x 8 sin 2t,x(0) 1, x (0) 0;

5)x 9x cost, x(0) x (0) 0;

6)x 3x 2x 2et cos 2t ,x(0) 1,x (0) 0;

7)x 2x 3x 2t, x(0) 1, x (0) 1;

8)x 4x 4e2t 4t2,x(0) 1,x (0) 2;

9)x 2x x 2x 1,x(0) 3,x (0) 1,x (0) 4;

10)xIV x 2x 20t sint,x(0) x (0) x (0) 0,x (0) 1.

150	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

19.8.Знайдіть при початкових нульових умовах розв’язок диференціального рівняння:

			0	t 2,
	1,		0	t 2,
1)
1)	x x f (t), f (t)			t 2;
	0,			t 2;


				0 t ,
	cost,			0 t ,
2)
2)	x x f(t), f (t)	0,		t ;
		0,		t ;


		t	,	0 t 1,
	e		,	0 t 1,
3)
3)	x x f (t), f (t)
		0,		t 1;
		0,		t 1;


				0 t 1,
	1,			0 t 1,
4)				1 t 2,
4)	x x f(t), f (t) 1,			1 t 2,

				t 2.
	0,			t 2.

19.9. Розв’яжіть задачу Коші з нульовими початковими умовами:

1) x

;

2) x x

;

3) x

;

4) x x

;

cost

tg2 t

5)* x x

e t2 ;

6) x x

th t.

19.10. Розв’яжіть систему диференціальних рівнянь:

2x 4y cost,

x(0) y(0) 0;

x 2y sin t,

5x 2y e ,

x(0) y(0) 0;

2) x

y x 6y e 2t

3y x,

x(0) y(0) 1;

x e

x(0) 0,y(0) 1.

x y 2t,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc