PraktykumRiady

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e 2t sin t.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

	17. Знаходження зображень для перетворення Лапласа											131
17.4.	Знайти зображення оригіналу f (t) t sin t.
Розв’язання. [14.4.6.]
[Використовуємо властивість диференціювання зображення [14.4.6].]
	[14.5.5]
	sin t					;

			p2		2

								2 p
								2 p

	t sin t										.
	t sin t	2		2			2		2	2	.
		2		2	(p		2		2	2
	p				(p					)
					t
17.5.	Знайти зображення оригіналу f (t) 2e d .
					0

Розв’язання. [14.4.6, 14.4.7.]

[Використовуємо властивість диференціювання зображення [14.4.6] та інтегрування оригіналу [14.4.7].]

[14.5.2]

2 t

;

t e

;

p 1

2e d

p(p

17.6.1. Знайти зображення оригіналу f (t)

1 e t

Розв’язання. [14.4.8.]

[Використовуємо властивість інтегрування зображення [14.4.8.]]

1 e t

[14.5.1]

;

t [14.4.8]

[14.5.2]

1 e

lim ln q ln(q 1)

q 1

lim

ln 1

A 1

17.6.2. Знайти зображення оригіналу f (t) sin t .

Розв’язання. [14.4.8.]

[14.5.5]

sin t

;

p2 1

sin t	[14.4.8]			dq		p
					arctg q
t				2
		p	q	1

2 arctg p arcctg p.

132	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

17.7. Знайти зображення оригіналу f(t) tet cos t.

Розв’язання. [14.4.4, 14.4.6.]

[Використовуємо властивості диференціювання зображення [14.4.6] та зсунення аргументу зображення [14.4.4]]:

[14.5.6]

cos t

;

p2 1

[14.4.6]

t cos t

;

[14.4.4]

1)2

p2 2p

ett cos t

((p 1)2 1)2

(p2 2p 2)2

17.8. Знайти зображення оригіналу (t) (t )2

ch d .

Розв’язання. [14.4.9.]

[Використовуємо теорему множення [14.4.9.]]

[14.5.3]

[14.5.8]

, ch t

[14.4.9]

(t) t2 ch t

p4 p2

p2 1

17.9.1. Знайти зображення оригіналу (t

3).

Розв’язання. [14.4.3.]

[Використовуємо теорему про запізнення оригіналу [14.4.3.]]

[14.5.1]

;

(t 3)

e 3p

17.9.2. Знайти зображення оригіналу sin(t b) (t b).

Розв’язання. [14.4.3.]

[3.5.5]

sin t

;

p2 1

sin(t b) (t b)

e pb

p2 1

17. Знаходження зображень для перетворення Лапласа

133

17.9.3. Знайти зображення

оригіналу

f (t) (функції-

f (t)

«ножиці»).

Розв’язання. [14.3.5.]

[14.4.3]

b t

f (t) (t a) (t b)

[14.5.1]

Рис. до зад. 17.9.3

e pa

e pb

e pa e pb

17.9.4. Знайти зображення оригіналу f (t).

f(t)

Розв’язання. [14.3.5.]

[Записуємо функцію-оригінал аналітично.]

2 t

1 , 0

t 1,

1, 1

t 2,

f (t)

Рис. до зад. 17.9.4

[Застосовуємо функцію-«ножиці» [14.3.5]. Так, бачимо, що функція

f1(t) 1

«діє» лише на проміжку (0;1), а функція f2(t) 1 на проміжку (1; 2).] f (t) 1 (t) (t 1) ( 1) ( (t 1) (t 2))

[14.4.3] 1

(t) 2 (t 1) (t 2) 1 2e p e 2p .

[14.5.1] p


		sin t,	0 t 2 ,
		sin t,	0 t 2 ,

17.9.5.			2 t ,
17.9.5.	Знайти зображення оригіналу f (t) cos t,		2 t ,

		0,	t .
		0,	t .

Розв’язання. [14.3.5.]

[Записуємо функцію одним аналітичним виразом.]

f (t) sin t (t) t

cos t

(t )

(t) sin t t

(sin t cos t) (t ) cos t

(t) sin t (t ) cos(t )

cos

sin

[14.4.4]

e p

e p 2(p 1)

e pp

[14.5.5],[14.5.6] p2

134	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

17.10. Знайти зображення періодичного оригіналу f (t).	f (t)
Розв’язання. [14.4.11.]	1
1-й спосіб.
Оригінал — періодична функцією з періодом T 1.	O	1	2 3 t
f (t) t, 0 t 1.	O	1	2 3 t
f (t) t, 0 t 1.

Рис. до зад. 17.10

[Використовуємо властивість зображення періодичного оригіналу [14.4.11.]]

F(p)

tdt

1 e

p 1

1 e

2-й спосіб. Маємо

f(t)e ptdt f0(t)e ptdt F0(p),

t [0;T ],

f (t),

де f (t)

t [0;T ].

[Розгляньмо допоміжну функцію.]

[0;1)

f (t)

[0;1).

[Записуємо її за допомогою функції-«ножиці».]

f0(t) t[ (t) (t 1)] t (t) (t 1) (t 1) (t 1).

[Знаходимо зображення допоміжної функції.]

F (p)

e p

1 e p

(1 e p pe p )

Отже,

F (p)

1 e p pe p

ep p 1

F(p)

p2(ep 1) .

1 e pT

p2(1 e p)

що дорівнює f (t)

на проміжку [0;\]на основному періоді

f0(t) t,t [0;1) і

запишемо

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

17.11. Знайдіть зображення оригіналу:

1)	f(t) cos2 t;	2)	f(t) sin4 t;
3)	f (t) sin t sin 2t;	4)	f (t) cos 2t	cos 3t;

17. Знаходження зображень для перетворення Лапласа

135

5) f(t) ch 2t 2e 3t 1;

17.12. Знайдіть зображення оригіналу:



1) f (t) cos t		;
	2
	2


				2, 0	t	1,
				2, 0	t	1,

3)				1, 1	t 2,
3)		f (t)		1, 1	t 2,

					t 2;
			0,		t 2;

	5) f (t) sh(3t				5);
	7) f(t) eat sin bt;
	9) f (t) (рис.);
	11) f (t) (рис.);
	f (t)
1
1
	O	1		2	3	t

		Рис. до зад. 17.12.9)
f (t)
2
1
1
1		1 2		3	4
	O	1 2		3	4		t
1
1

Рис. до зад. 17.12.11)

6)f(t) e t 3e 2t t2.

2)f(t) (t 2)3;

					0 t ,
	a ,				0 t ,
			1						1
				,			t			,
	a			,			t			,
			2			1			2
4) f (t)				,			t			,
	a		3	,		2	t			,
			3			2			3
		0,					t		;
		0,					t	3	;
								3
6) f (t) ch(5t 1);
8) f(t) e at					ch bt;
10) f (t) (рис.);
12) f (t) (рис.).
f (t)
1					2		3
O								t

Рис. до зад. 17.12.10)

f (t)

O 1 2 3 4 t

Рис. до зад. 17.12.12)

17.13.Знайдіть зображення оригіналу (x x(t)):

1)f (t) x 5x 7x 2, x(0) 1, x (0) 0;

2)f(t) x 3x 2x 1, x(0) 1, x (0) 2;

3)f (t) x 2x x 1, x(0) x (0) x (0) 0;

136	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

4)	f (t) x 6x x 2x, x(0)	3, x (0) 7, x (0) 1;
5)	f (t) t sin t;	6) f(t) t2 cos t;
7) f(t) (t2 t 1)e3t ;		8) f(t) t3e2t .

17.14. Знайдіть зображення оригіналу:

1) f (t)	eat ebt	;
	t

3)	f (t) e t 1 cos t		;
		t
	t	ch 1 d ;
5)		ch 1 d ;
	0
	0

7) cos cos d ;

2)	f (t) sh t		;
		t
4)	f (t) e at		sin t		;
				t
	t	sh d ;
6)		sh d ;
	0
	t	e e
8)				d .
8)				d .
	0
	0

17.15. Знайдіть зображення згортки функцій:

		1)			f (t) cost, f (t) sint;																								2)		f (t) e2t, f (t) sin 3t;
					1								2																			1						2
		3) f (t) cost, f (t) cost;																											4)		f (t) et, f (t) e t .
					1								2																			1				2
17.16. Знайдіть зображення періодичного оригіналу:
																								a																					a
																								a																					a
											1,								0 t ,																	1,				0 t ,
											1,								0 t ,																	1,				0 t ,
		1) f (t)																						2					2) f (t)																2
		1) f (t)													a									2					2) f (t)									a							2
															a																							a
																t a,T a;																				0,			t a,T a;
									1,							t a,T a;																				0,			t a,T a;
													2																									2
													2																									2
		3) f (t)								sin t				;															4) f (t)						cos t				.
		3) f (t)								sin t				;															4) f (t)						cos t				.
Відповіді
			1						p													4 !								1				p				p
			1		1				p													4 !								1				p				p
17.11. 1)																													3)
																												;															;
												; 2)																;															;
			2				p	2										p(p			2	4)(p			2	16)				2			2	1			p	2
			2		p		p				4							p(p				4)(p				16)				2		p		1			p			9
			p						p											p				2				1				1				3				2
1			p						p											p				2				1				1				3				2

4)																											; 6)																	.
4)	2							2				; 5)															; 6)																	.
	2				25 p			2									p		2	4			p 3 p								p 1				p			2			p	3
2 p					25 p						1						p			4			p 3 p								p 1				p			2			p
17.12. 1)					p	e p 2					; 2)				6		e 2p; 3)					2				1 e p			1 e 2p;
17.12. 1)				p2 1		e p 2					; 2)				p4		e 2p; 3)					p				1 e p			1 e 2p;
				p2 1											p4							p				p			p

18. Відшукання оригіналу за зображенням

137

	a		a	2	a				p
4)		1		2	1		e		1
4)		p					e		1
		p			p
7)			b					; 8)

				2	b	2
	(p a)				b

3e 5p 3

e p 5p

3 ; 5)

; 6)

;

p a

;

(e p

e 3p );

(p a)2 b2

ap2

10)2e p 1 (e p 2e 2p e 3p ); p p2

11)p1 ( 1 2e p e 2p 2e 3p 4e 4p ); 12) 2p (e p e 2p ) p3 (e 3p e 4p ).

17.13. 1) (p2 5p 7)X(p) p 5																														2			;			2) (p2 3p 2)X(p) p 5																				1	;
																														p																										p
3) (p3 2p 1)X(p) 1																				; 4)				(p3		6p2							p 2)X(p) 3p2 11p 40;
																			p
5)			2 p						; 6)				2p3 6 2p											; 7)		p2 7p 14														; 8)				6				.
5)		2				2 2			; 6)				(p		2						2 3			; 7)				(p								3				; 8)							4	.
(p						)							(p				)											(p								3)					(p 3)
								p b					; 2) 1 ln p 1 ;															1												1							arctg(p a);
17.14. 1) ln								p b																	3)			1	ln					1						1			; 4)
17.14. 1) ln																									3)				ln					1							2		; 4)
								p a									2 p 1										2														2						2
								p a									2 p 1										2										(p 1)										2

		1								1								1					p 1							1							p	2			2				1				p
		1								1								1					p 1							1							p								1				p
5)				ln			1														ln						; 7)									ln						; 8)					ln					.

													; 6)
		2p									p	2							2p p 1												2p						p		2		2				p				p
		2p									p								2p p 1												2p						p								p				p
17.15. 1)					t		sin t											p				; 2)			e2t 3 cos 3t 2 sin 3t																									3						;
17.15. 1)					2		sin t													1)2		; 2)														13											(p			2)(p2					9)	;
					2								(p2							1)2																13											(p			2)(p2					9)
3)	sin t t cos t																	p2					; 4)			sh t										1				.
3)					2														1)2				; 4)			sh t														.
					2									(p2					1)2																p2 1
17.16. 1)					1 th ap							; 2)									1						; 3)									1			cth p			; 4)						p						1		1			.
17.16. 1)					1 th ap							; 2)				p 1 e							ap 2				; 3)												cth p			; 4)																	.
					p					4													ap 2									p		2		1				2						p	2	1			p		2		1 sh			p
																																p				1										p		1			p				1 sh		2

18. Відшукання оригіналу за зображенням

Навчальні задачі

18.1.1. Знайти оригінал для зображення F(p) p2 4p 5 .

Розв’язання. [14.4.4.]

[Перетворюємо зображення, що можна було скористатись властивостями перетворення Лапласа і таблицею зображень.]

138	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

18.1.2. Знайти оригінал для зображення F(p)

Розв’язання. [14.4.6.]

[14.5.2]

e t te t e t (1 t).

(p 1)2

p 1

(p 1)2

[14.4.4]

18.1.3. Знайти оригінал для зображення F(p)

p2(p2

Розв’язання. [14.4.6.]

[Розкладаємо дробово-раціональний вираз на суму елементарних дробів.]

	1						1 p2								p2										1										1				[14.5.3]
	1						1 p2								p2										1										1				t sin t.
	p2(p2							p2(p2																	p2														t sin t.
	p2(p2		1)					p2(p2											1)						p2							p2 1 [14.5.5]
18.1.4. Знайти оригінал для зображення F(p)																																										p 2								.

																																	(p					1)(p 2)(p2
																																	(p					1)(p 2)(p2											4)
Розв’язання. [14.4.6.]
					F(p)										A										B					Cp D .
					F(p)							p							1			p 2								Cp D .
												p							1			p 2													p2 4
[Коефіцієнти A та B знаходимо методом викреслювання.]
					A									p 2																									1		.
														p 2																									1
											2)(p2 4)
									(p																				p 1										15
																													p 1
				B									p 2																							4				1			.
				B																																							.
							(p 1)(p2															4)					p 2								24					6
			p 2																			4)					p 2																	Cp D .
			p 2																		1						1								1				1
(p 1)(p 2)(p2											4)									15					p					1					6		p			2
(p 1)(p 2)(p2											4)									15					p					1					6		p			2					p2 4
			p 0 :							1									1					1				D							D										2 .
			p 0 :							4								15										D							D										2 .
										4								15				12								4															5
	p 1 :					3										1					1		C										2			C											1	.
	p 1 :				10									30							6		C									25				C										10		.
					10									30							6						5					25														10
		1		1						1						1							1								p							1							2		[14.5.2]
F(p)		1		1												1							1			.					p														2
F(p)				p		1							p						2			10				.			p2						4							p2
15				p		1				6			p						2			10							p2						4			5				p2					4 [14.5.5],[14.5.6]
									e2t							e t							cos 2t											sin 2t					.
										6							15							10												5			.
										6							15							10												5

18. Відшукання оригіналу за зображенням		139
18.2 Знайти оригінал, який відповідає зображенню F(p)	1	.


	p2 1
	p2 1

Розв’язання. [14.6.2.]

[Щоб знайти шуканий оригінал, використовуємо першу теорему розвинення

[14.6.2].]

Якщо p

1 1 p

1, то

																					2				1 2		[12.7.6]
									1												2						[12.7.6]
									1								1				1

			F(p)															1
													2				p
							p 1					1					p			p
												1
												p
		2												4																2n
1						1				3													n (2n 1)!!						1
1		1				1		1		3			1										n (2n 1)!!						1
																	... ( 1)														...
																	... ( 1)									n					...
																										n
2 p						2 !		2			2 p															2		n ! p
				( 1)n (2n										[14.6.2]
								1)!!						[14.6.2]
								1)!!					1						1					( 1)n(2n 1)!!t2n
						n ! 2n					p2n 1								1
	n 0					n ! 2n					p2n 1									n 0						2n n !(2n)!
			(2n 1)!!							(2n 1)!!												1						1
					(2n)!				(2n 1)!! (2n)!!												(2n)!!							2n n !
																		n		2n
																		n
									1					( 1)					t
																				.
																2				.
																2
													n 0		(n !)				2

Коментар.Сума одержаного ряду є Бесселевою функцією 1-го роду

		( 1)n t				2n
	(t) 1
J	(t) 1		2			.
0			2
		n 0	(n !)		2
18.3. Знайти оригінал зображення F(p)						1	.

				3)2(p 1)
			(p	3)2(p 1)

Розв’язання. [14.6.3.]

[Щоб знайти шуканий оригінал, використовуємо другу теорему розвинення [14.6.3.] Визначаємо характер особливих точок функції F(p). ]

Особливі точки F(p) : p1 1, p2

1. p1

1 — простий полюс.

[13.8.6]

(p 1)

res

lim

p 1

(p 1)(p

p 1

1)(p 3)

2. p2

3 — полюс порядку 2.

140	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

[13.8.5]

(p 3)

res

lim

p 3

1 !

p 1

(p 1)(p 3)

lim

eptt(p 1) ept

e 3t

2t 1

(2t 1)e 3t .

(p 1)2

p 1

e t

e 3t

F(p)

(2t 1).

18.4. Знайти оригінал зображення F(p)

Розв’язання. [14.4.10.]

[Використовуємо Дюамелів інтеграл [14.4.10.]]

(p2 1)2

p2 1

1 t sin t.

cos cos(t )d cos t

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

18.5. Відновіть оригінал за його зображенням:

1			1
1) F(p)		;	2) F(p)		;
	p2 6p 10			p2 p 7

3) F(p)

;

p3 2p2 p

5) F(p)

;

1)2(p 2)

7) F(p) 2p 3 ;

p3 1

9) F(p)

e 2p

;

11) F(p)

e p

p 2

4) F(p)

p2 2p 1

;

p3 3p2 3p 1

6) F(p)

p2 1

;

(p 1)

8) F(p)

p 1

;

p3 1

10) F(p)

e 3p

;

3e 4p

;

12) F(p)

2pe p

p2 9

4 p2 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc