Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

														15. Обчислення інтегралів за допомогою лишків																																													121
5)											z																			6)							z sin									1				dz;
						e			1 z			dz;																																		1
						e			1 z			dz;																																		2
		z			2																										z			2												z
																																														z

									2 1 z							1																								e		z			sin z
7)						z e										1					dz;									8)										e					sin z											dz;
7)												z									dz;									8)															z			2								dz;
		z			1							z																			z		1 3												z
		z			1																										z		1 3
9)									e2z					cos 9z									dz;							10)										sh iz sin iz																			dz;
9)												z sh iz											dz;							10)															z		3		sh					z					dz;
		z		0,5								z sh iz																					z		4										z				sh					3
																						1					4 ch	iz
																						1					4 ch	2
																												2
11)											z cos																			dz;
																				z		3							2
			z 3																							z(z 2)
			z 3					2
																						i					2 sh		iz
																						i					2 sh			2
12)
																												2		2
												z sin										2						2		2	dz;
				z 2																z		2				(z 1) (z 1)
				z 2				2																		(z 1) (z 1)
13)																e2z						dz;								14)															dz								.
13)														z		3		1				dz;								14)													z		4								.
		x2 y2 2x																														z 1						1													1
		x2 y2 2x																														z 1						1													1
15.6. Обчисліть:
	x2 1																																					x2 x 3
1)															dx;															2)																											dx;
1)						x	4						1		dx;															2)					x		4				10x										2					9	dx;
						x							1																						x						10x															9

										x2dx																																			dx
3)										x2dx									;											4)															dx													;
3)						(x		2			a					2 2			;											4)					(x				2																	2		;
						(x					a						)																		(x								2x 2)
																	dx																															dx
5)																	dx										;			6)																		dx													;

								2								2					2				2										(x				2									2						2
						(x					3) (x													15)											(x							1) (x															16)
	x sin x																																											cos x
7)															dx;															8)																														dx ( 0);
7)						x	2				1				dx;															8)						(x				2			1)(x									2								dx ( 0);
	0					x					1																									(x							1)(x												9)
	0
								x 2 cos xdx																													(x 3 1)sin x
9)																							;							10)																											dx;
9)						x	4						10x					2		9			;							10)							x			4							5x				2					4	dx;
						x							10x							9																	x										5x									4

122	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

				2								dt																									2								dt
	11)											dt							;															12)											dt								;


					0	2				3 sin t 4																											0	4				2 sin t									6
					0																																0
				2									dt																								2								dt
	13)												dt										;											14)											dt											;

																					2																																		2
						(			7												2																	(			5														2
					0	(			7						3 cost)																						0	(			5						2 cost)
				2									dx																								2							dx
	15)												dx												(0 p 1);									16)										dx						(0 b a).

						1	2p cos x p															2																a		b cos x
					0	1	2p cos x p																														0	a		b cos x
Відповіді
15.3. 1) 0; 2)					i ;			3) 0. 15.4. 1)												3 i				; 2)				3 i ;			3) 0.
					4															8								8
15.5. 1)		2 i;			2) 4i;							3)		3 i;				4) 2i; 5) 2 i													; 6)			2 i; 7)					i;						8)	0; 9) 4;									10) 2 ; 11)					i;
			4											2																e
12) 5 ;	13)			2 e2i				; 14)							i		.
					3
														2
														2
																														3
																									15																								1									3		1

15.6. 1) 2;					2)		;3)							4)				; 5)									; 6)					; 7)					; 8)															3				; 9)
15.6. 1) 2;					2)		;3)						;	4)				; 5)									; 6)					; 7)					; 8)						e								e					; 9)			9		;
						2					2a					2					10800								100						2e				16										3										9
						2					2a					2					10800								100						2e				16										3								8 e			e

				1																7								2 15									2												2
4				1																7								2 15									2												2
10)					;	11) ;						12) ; 13)														; 14)							;	15)							; 16)														.
10)					;	11) ;						12) ; 13)														; 14)							;	15)							; 16)														.
	2			e																		4							9							1 p				2								a	2		b			2
3 e				e																		4							9							1 p												a			b

Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

16. Інтеграл Фур’є

Навчальні задачі

16.1.1. Зобразити інтегралом Фур’є у комплексній формі центрований прямоку-



		t
A,		t
				2

тний імпульс f (t)


	0,	t	.
	0,	t	.
				2

Знайти і зобразити його амплітудний та фазовий спектри.

Розв’язання. [14.1.7, 14.2.3, 14.2.4.]
[Крок 1. Зображуємо графік функції.] Рис. 1 до зад.					f (t)
16.1.1.						A
[Крок 2. Перевіряємо умови теореми Фур’є [14.1.1.]]
[Крок 2. Перевіряємо умови теореми Фур’є [14.1.1.]]
		2
		2			O		t
					O		t
	f(t)	dt	Adt A .	2		2
				2		2
				Рис. 1 до зад. 16.1.1
			2	Рис. 1 до зад. 16.1.1
			2

Функція f — абсолютно інтегровна, кусково-стала — для неї виконано умови

теореми Фур’є.

[Крок 3. Зображуємо графік інтеграла Фур’є, який від-

f (t)

різняється від графіка функції лише в точках розриву 1-

го роду.] Рис. 2 до зад. 16.2.

[Крок 4. Записуємо відповідну формулу зображення фу-

нкції інтегралом Фур’є.]

Рис. 2 до зад. 16.2

[14.1.3]

f(t)

F( )ei td .

[Крок 5. Записуємо формулу для коефіцієнта інтеграла Фур’є і обчислюємо його.]

[14.1.3]

e i 2 e i 2

sin .

F( ) A

e i tdt

[Крок 6. Записуємо відповідь згідно з теоремою Фур’є.]

sin

i t

124	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Амплітудний спектр

[14.1.8]

S( ) 2A

Фазовий спектр

				sin		0,
	[14.1.9]	,		sin		0,
	[14.1.9]
( )					2
( )					2

			0,	sin		0,
			0,	sin		0,
					2
					2

S( ) A

1 sin 2 .

0, ( ) ( ).

( )

O	2	4	O	2	4	6


Рис. 3 до зад. 16.1.1
			Рис. 4 до зад. 16.1.1

Коментар. Оскільки		функція f	парна, то окрім зображення			інтегралом

Фур’є можна знайти ще її косинус-перетвір.

						[14.1.5]
						[14.1.5]				2
					f (t)					2		Fc ( ) cos td .
					f (t)							Fc ( ) cos td .
											0
				[14.1.5]				2									A			.
							2	2								2

			Fc( )							A cos tdt								sin
			Fc( )							A cos tdt								sin
								0												2


																	t				,
													A,				t				,
																				2


			2A		1
			2A		1								A
						sin			cos			td			,	t					,
						sin	2		cos			td		2	,	t				2	,
							2							2						2

				0
				0
														0,			t				.
														0,			t				.
																				2
																				2
16.1.2. Зобразити інтегралом Фур’є загаяний прямокутний імпульс
													0 t
										A,			0 t
						f (t)
						f (t)							t 0, t	.
										0,			t 0, t	.


		Знайти і зобразити його амплітудний та фазовий спектри.
Розв’язання. [14.1.8, 14.1.9.]																					f(t)
1. Рис. 1 до зад. 16.1.2.																					A
																					A

2.		f(t)	dt Adt A .																O


	0
	0

16. Інтеграл Фур’є

125

Функція f — абсолютно інтегровна, кусково-стала

— для неї виконано умови теореми Фур’є. 3. Рис. 2 до зад. 16.1.2.

[14.1.3]	1
4. f(t)	1	F( )ei td .
4. f(t)	2	F( )ei td .
	2

[14.1.3]
5. F( )	Ae i tdt
	0

Рис. 1 до зад. 16.1.2

f(t)

Рис. 2 до зад. 16.1.2

	A	(1 e i )	2A sin	e i 2.
	i			2

Амплітудний спектр збігається з амплітудним спектром центрованого імпульсу

(рис. 3 до зад. 16.1.1).

Фазовий спектр (рис. 3 до зад. 16.1.3)

		[Б.2.3]
	( )
arctg tg	,		sin		0,
	2			2	0,
arctg tg		,	sin		0,
	2			2

( ) ( ).

( )

O	2	4	6

Рис. 3 до зад. 16.1.2

16.2.1.Зобразити інтегралом Фур’є функцію f (t) Ae at , t 0, продовживши її на інтервал ( ; 0) парним чином.

Розв’язання. [14.1.5.]

1. Графік функції (рис. 1 до зад. 16.2.1) та її парного продовження f(t) (рис. 2

до зад. 16.2.1).

f (t)	f (t)
A	A

Рис. 1 до зад. 16.2.1

Рис. 2 до зад. 16.2.1

f (t)

2A .

dt 2A e atdt

lim (1 e aN )

Функція f(t), t , абсолютно інтегровна і справджує умови теореми Фур’є.

126	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

[14.1.5]

4. f (t)

Fc( ) cos t d .

[14.1.5]

5. Fc( )

2 Ae at

cos tdt

e at (ei t e i t )dt

t(a i )

i a

a i

2 a i

6. [Зображення функції f (t) косинус-інтегралом Фур’є.]

e at

cos tdt, t 0.

16.2.2. Зобразити інтегралом Фур’є функцію f (t) Ae at , t 0,

продовживши

її на інтервал ( ; 0) непарним чином.

Розв’язання. [14.1.6.]

1.Графік функції (рис. 1 до зад. 16.2.1).

2.Функція f(t), t , що є непарним продовженням функції f (t), абсолютно

інтегровна і справджує умови теореми Фур’є.

3. [Графік непарного продовження.] Рис. до зад. 16.2.2.

	[14.1.6]
	[14.1.6]		2
4.	f (t)		2		Fc ( ) sin t d .
4.	f (t)				Fc ( ) sin t d .
				0
		[14.1.6]
		[14.1.6]		2
5.	Fs( )			2		Ae at sin tdt
5.	Fs( )					Ae at sin tdt
						0

f (t) A

Рис. до зад. 16.2.2

t(a i )

i t

)dt

i a

i 2

a i

i 2 a i

6. [Зображення функції f (t) синус-інтегралом Фур’є.]

t 0,

sin tdt

t 0.

16. Інтеграл Фур’є

127

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

16.3. Зобразіть інтегралом Фур’є у дійсній формі функцію:

			x		1,							0 x 1,

	1,									1,

1)		0, 5,	x		1,				2)		0, 5,	x 0, x		1,

	f (x)									f (x)


			x		1;							x [0;1];
	0,		x		1;					0,		x [0;1];


				x		0;		,				x	0;		,
							2
3)	cos x,								4)	sin x,
3)	f (x)	0,		x 0; ,					4)	f (x)	0,	x 0; .
		0,		x 0; ,							0,	x 0; .
							2
							2

16.4.Зобразіть інтегралом Фур’є функцію f (x), продовживши її парним і непарним чином:

																																	1,
										1, 0 x 1,																		x 1, 0 x					1,
				1) f		(x)																	2) f
				1) f		(x)					0,			x 1;									2) f				(x)			0,		x	1.
											0,			x 1;																0,		x	1.


16.5.				Зобразіть функцію f (x) інтегралом Фур’є в комплексній формі:
												ax		, x 0,																ax	sin x, x		0,
										e				, x 0,														e			sin x, x		0,
				1) f		(x)												a 0;					2) f
				1) f		(x)						0,		x 0,				a 0;					2) f				(x)				0,	x	0;
												0,		x 0,																	0,	x	0;


				3) f (x) sgn(x a) sgn(x b),b a;


															x

																			x	a,
											h 1					,			x	a,
				4) f		(x)									a
				4) f		(x)									a


														0,					x	a.
														0,					x	a.
Відповіді


			2		sin															2	sin		cos				(1 2x)
			2		sin															2	sin	2	cos		2		(1 2x)
16.3. 1)									cos(x )d f (x); 2)																				d f (x);
16.3. 1)									cos(x )d f (x); 2)																				d f (x);
					0																0
																												x 0,
	1													sin									f (x),					x 0,
	1		cos			2								sin	2
3)						2									2
3)						2	cos(x )										2	sin(x ) d						1
			1											1												,		x 0;
			1											1												,		x 0;
		0
		0																						2
																								2
	2			cos 2 cos				( 2x)
4)	2			cos 2 cos						2			d f (x).
4)						1			2				d f (x).
		0				1
		0
16.4. 1) f (x) 2
16.4. 1) f (x) 2										sin cos(x )d , x [0;1) (1; ),
									0
			2			1 cos sin(x )d , x (0;1) (1; );
f (x)			2			1 cos sin(x )d , x (0;1) (1; );
					0

128

Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

2) f (x)

2 sin cos 1 cos(x )d , x [0;1) (1; ),

f (x)

2 2 cos sin sin(x )d , x (0;1) (1; ),

i x

f (x),

i x

16.5. 1)

f (x);

(a i )

i (a b) 2

x a,x b,

f (x),

i x

(b a)e

i x

a e

sin

d f (x).

x a,x b;

Перетворення і спектри деяких сигналів

Несиметричний трикутний імпульс

f (t)

0 t T,

f (t)

0 t, t T;

F( )

(e i T 1) A e i T

S( )

2 T

AT 2

A T

4 sin

sin

T 2

Симетричний трикутний імпульс

f (t)

F( )

4A sin2

S( ) AT

S( )

4A sin2

;

( ) 0

16. Інтеграл Фур’є

129

Однобічний експоненційний імпульс

, t 0,

f (t)

t 0;

F( ) a i

S( )

a2 2

A a

( ) arctg

( )

Косинусоїдальний імпульс

f (t)

;

A cos

2 A

F( ) 2 2 2 cos

S( )

2 A

cos

S( )

2 2 2

O	3	5

130	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

17. Знаходження зображень для перетворення Лапласа

Навчальні задачі

17.1.

Користуючись означенням, знайти зображення функції f(t) e 3t .

Розв’язання. [14.3.1.]

Для функції f(t) e 3t маємо s0

3. Тому зображення F(p) буде аналітич-

но в півплощині Re p 3.

[14.3.1]

F(p)

e 3te ptdt e (p 3)tdt

e (p 3)t

(Re p s 3).

(p 3)

t 0

p 3

Коментар.  Функція F(p)

аналітична при Re p 3, крім того, вона

аналітична скрізь, за винятком точки p 3.

17.2.1. Знайти зображення оригіналу f (t) 2 sin t cos t.

Розв’язання. [14.4.1.]

[Використовуємо властивість лінійності [14.4.1.]]

[14.5.1]

2 p

f(t)

p2 1

[14.5.6] p2

17.2.2. Знайти зображення оригіналу f(t) sin2 t.

Розв’язання. [14.4.1.]

f (t) sin2 t 1

1 cos 2t

[14.5.1]

p(p2

[14.5.6]

17.3.

Знайти зображення диференціального виразу:

f (t) x (t) 5x (t) x(t), x(0)

5, x (0) 1.

Розв’язання. [14.4.5.]

Нехай x(t) — оригінал та x(t) X(p).

[Використовуємо властивість диференціювання оригіналу [14.4.6.]]

x (t) pX(p) 5;

x (t) p2X(p) 5p 1;

x (t) 5x

(t) x(t) p X(p) 5p 1 5(pX(p) 5) X(p)

X(p)(p2 5p 1) 24 5p.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc