PraktykumRiady

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ln(1 3x) ln(7 3(x 2))

ln(1 3x) ln(7 3(x 2))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

5. Степеневі ряди

5.1.2. Знайти область збіжності ряду x3n .

n 1 n !

Розв’язання. [12.5.6.]

1. Дослідімо степеневий ряд на абсолютну збіжність за д’Аламберовою ознакою:

u (x)

3n ;

(x)

(n 1)n 1

3n 3 .

n !

(n 1) !

lim

un 1(x)

lim

(n 1)n 1

n !

1)n

un (x)

n (n

(n 1)n

lim

Ряд збігається абсолютно для всіх

	1	e	x	3 1
		e	x	3 1

2. Для x		дістаємо ряд n 1

	3 e
	3 e

За Стірлінґовою формулою [А.1.7]

x таких, що
	1

x	3

		e

nn en . n !

маємо:

	1
	1
;			.
;	3		.
	3
		e

Оскільки ряд

ником 2 1

ennn

0, n .

n !en

nnen

2 n

— розбігається як узагальнений гармонічний з показ-

2 n

n 1

[12.2.5], то за ознакою порівняння розбігається і ряд .

n 1 enn !

Для x

дістаємо ряд

( 1)

Дослідімо послідовність an

на

3 e

n 1

e n !

enn !

монотонність:

n 1

n !

n 1

n 1 !

оскільки послідовність x

монотонно зростає і за теоремою Веєршт-

раса lim xn

sup xn

e .

Отже, an 1

an,n і ряд

( 1)

збігається умовно за Лейбніцевою

n 1

e n !

ознакою [12.3.3].

62	Модуль 1. РЯДИ

	1			1
3. Область збіжності ряду:	1			1
			;			.
			;			.
	3	e		3
		e			e

(x 1)n

5.1.3. Знайти область збіжності ряду .

n 1 2n n

Розв’язання. [12.5.6.]

1. Дослідімо степеневий ряд на абсолютну збіжність за радикальною ознакою Коші [12.2.7]:

(x)

x 1

2n n

lim

x 1

lim n

(x)

n 2n n

Ряд збігається абсолютно для всіх x таких, що

x 1

2 x ( 1; 3).

2. Для x 3 дістаємо ряд

який розбігається як гармонічний [12.2.5.]

n 1

( 1)n

Для x 1 дістаємо знакопочережний ряд .

n 1 n

Ряд з модулів — розбігається.

n 1 n

1	0, n ;		1	1	.
n		n		n 1

( 1)n

Ряд збігається умовно за Лейбніцовою ознакою [12.3.3.]

n 1 n

3. Область збіжності ряду: [ 1; 3).

5.1.4. Знайти область збіжності ряду n ! xn .

n 0

Розв’язання. [12.5.6.]

1. Досліджуємо степеневий ряд на абсолютну збіжність за д’Аламберовою ознакою [12.2.6]:

u (x)

n !

;

(x)

(n 1)!

n 1 .

x 0,

n 1

(x)

(n 1)n !

lim

un (x)

n !

x 0.

2. Ряд збігається в точці x 0.

	5. Степеневі ряди								63
							n
5.1.5. Знайти область збіжності ряду							n		.

						2 )(x 1)n
Розв’язання.			n 1 (1 n			2 )(x 1)n
Розв’язання.
			1
Ряд зводиться до степеневого заміною y							,x	\ {1} :
Ряд зводиться до степеневого заміною y					x 1		,x	\ {1} :
		n
		n		yn, y 0.
				yn, y 0.
n 1	(1 n2 )

1. Досліджуємо степеневий ряд на абсолютну збіжність за д’Аламберовою ознакою [12.2.6]:

(y)

n2 1

un 1(y)

lim

n 1

un(y)

n (n 1)2 1

Ряд збігається абсолютно для всіх y таких, що

y 1 y ( 1;1).

2. Для y 1 ряд

розбігається, оскільки

n 1

, n .

( 1)n n

Для y 1 ряд збігається умовно за Лейбніцовою ознакою (ряд з

n 1 1 n2

модулів розбігається).

		n
3.	Ряд		yn збігається абсолютно всередині ( 1; 0) (0;1) та умовно
		n2 )
	n 1 (1
в точці y 1.
4.	Область збіжності ряду: ( ; 0] (2; ).


5.2.1 Знайти суму ряду (2n2 2n 1)xn і вказати його область збіжності.
	n 0
Розв’язання. [12.5.7.]
Ряд збігається абсолютно для		x		1.
Ряд збігається абсолютно для		x		1.

	S(x) (2n2 2n 1)xn
			n 0

2	(n 1)(n 2)xn 8		(n 1)xn 5 xn 2f1(x) 8f2(x) 5f3(x).
n 0	n 0			n 0

64	Модуль 1. РЯДИ

							[12.7.7]			1
		f3(x) xn									,	x		1.

										1 x
				n 0						1 x
x						x												x
f2(t)dt (n 1) tndt xn 1																				,	x	1.

																1		x
0		n 0				0				n 0						1		x
		n 0								n 0


							x				1
			f2(x)				x				1
															.
												2			.
												2
						1	x			(x 1)
x
									n 2			x2
												x2

		1						x								,	x		1.
		f (t)dt d						x			1	x				,	x		1.
0	0						n 0
							n 0

						2
					x					2
					x					2
												,	x		1.

	f1(x)
			1		x						3
			1		x						3
									(1 x)

Отже,

S(x)		4

		x)3
(1

5.2.2Знайдіть суму ряду

5x2

2x 1

(1 x)2

(1 x)3

x 4n 3

і вкажіть його область збіжності.

(4n 1)(4n

n 0

Розв’язання. [12.5.7.]

x4n 3

S(x)

(4n 1)(4n

n 0

x4n 3

x4n 2

x4n 1

S (x)

n 0

(4n 1)(4n

n 0

n 1

4n 1

1; S(0) 0.

x4n 1

4n 2

4k 2

G(x)

4n 1

1 x4

n 1

k 0

1;G(0) 0.

1 x

G(x)

t dt

arctg x.

1 t

4 1 x

1 t

S(x)

1 t

arctg t dt

(x4 1)

1 x

2 arctg x .

1 x

		5. Степеневі ряди				65
Отже,
 (x 4 1)			1 x		x3
 (x 4 1)			1 x		x3
S(x)						,	x	1.
S(x)		ln		2 arctg x		,	x	1.
	16		1 x		4

Коментар. Можна показати за означенням, що в точці x 1 ряд збігається

до S	1	, а в точці x 1 до S					1 .		Отже, повна відповідь така:
	4						4
							1
							1
								,					x 1,
							4	,					x 1,
			4				4				3
		S(x)	4	1)		1 x					3
		(x								x
		(x								x
					ln		2 arctg x					,		x	1.
					ln		2 arctg x					,		x	1.
			16			1 x				4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.3. Знайдіть область збіжності ряду:

(x 1)n

;

n(n

n 1

1)n

;

3 n 3n

n 1

x2n 1

;

n ln

n 2 4

(n !)2

xn ;

(2n)!

n 1

n !(x 2)n ;

n 1

11)

x ;

n 1

5.4.Знайдіть круг збіжності ряду:

(z 2i)2n

1) ;

n 1 n2

2) n2 xn ;

n 1 4

(x 2)n

;

n5n

n 1

(x 2)2n 1

;

n 1

(2n)!!

xn ;

(2n 1)!!

n 1

(x 2)n

10)

;

n 1

12) xn

n 1

(z i) .

n 1

3n i

66	Модуль 1. РЯДИ

5.5.Знайдіть суму ряду і вкажіть його область збіжності:


1) f(x) nxn ;	2) f (x) n(n 1)xn ;

n 1
		x2n 2
3) f (x)	( 1)n	x2n 2	;
3) f (x)	( 1)n		;
n 1	2n 1
n 1

n 1
	( 1)n 1xn 1
4) f (x)	( 1)n 1xn 1	.
4) f (x)		.
n 1	n(n 1)
n 1

Відповіді

5.3. 1) ряд збігається абсолютно при

x 1

2; 2) ряд збігається абсолютно при

3) ряд збігається абсолютно при

x 1

і умовно в точці x 2;

4) ряд збігається абсолютно при

x 2

і умовно в точці x 7;

5) ряд збігається абсолютно при

2; 6) ряд збігається абсолютно при

x 2

7) ряд збігається абсолютно при

8) ряд збігається абсолютно при

і умовно при x 1;

9) ряд збігається тільки в точці x 2;

10) ряд збігається абсолютно для x ;

11) ряд збігається абсолютно для

;

12) ряд збігається абсолютно для

1 .

5.4. 1)

z 2i

1; 2)

z i

3 .

5.5. 1)

f (x)

1; 2)

(x)

(1 x)

3) f(x) x arctgx x2,

1; 4)

f (x) (x 1)ln(x 1) x,

6. Тейлорові ряди

Навчальні задачі

6.1.1. Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x ) 2x .

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.1.] 

[Перетворюємо функцію і використовуємо табличне розвинення.]

	[12.7.1]		(ln 2)n
2x ex ln 2			n ! xn, x .
		n 0

Коментар. Можливість «формального» розвинення функцій у Тейлорів ряд ґрунтується на теоремі єдиності [12.6.3.]

6. Тейлорові ряди

6.1.2. Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x)							1	.

							1 2x2
Розв’язання. [12.6.3, 12.7.8.]
	1	[12.7.8]			1
			( 2)n x2n,	x		.

1 2x2
					2
			n 0


6.1.3.	Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x) 3 27																																								x2 .
Розв’язання. [12.6.3, 12.7.6.]
																						x		2		1 3				[12.7.6]
								3								2						x
											27 x						3 1
											27 x						3 1
																						27											1
																						27
																																		3
			1									1					2										1				1								n
			1					1				1					2				1						1				1								n
					2				1						2								1						...				n		1			2
					2				1						2								1						...				n		1			2
				3 x											x																3					x
				3 x				3				3			x						3						3				3					x

	3 1		1! 27					2 !										...											n			!								...
			1! 27					2 !							27														n			!					27


		3			1		x2						1 2			x 4		...			1 2 ... (4 3n)																x2n			...,

						3								7													n ! 3					4n 1
			1! 3									2 ! 3															n ! 3
														x2		1			x

																													27.
														27															27.
														27
6.1.4.	Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x) sin3 2x.
Розв’язання. [12.6.3, 12.7.2.]
								sin3 2x								3 sin 2x						1 sin 6x										[12.7.2]
								sin3 2x								3 sin 2x						1 sin 6x
																4						4
			3					( 1)n 22n 1x2n 1												1								( 1)n 62n 1x2n 1
		4
		4									(2n 1)!									4											(2n 1)!
					n 0																		n 0
								3						( 1)n(4n 36n )
																									x	2n 1, x .
								2								(2n 1)!									x	2n 1, x .
										n 0
6.1.5.	Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x) arcsin x.

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.6, 12.7.7.]

[Виражаємо функцію f (x) через інтеграл або похідну від функції, яку можна розвинути в Тейлорів ряд.]

x	dt
arcsin x		.

0	1 t2

68	Модуль 1. РЯДИ

[Розвиваємо функцію f (t) (1 t2 ) 12 у Тейлорів ряд [12.7.6.] і інтегруємо його всередині інтервалу збіжності.]

x		1				1			1	1																	1		1		1 ...							1	n 1
										1																					1 ...								n 1
		2		2		2			2					4										n			2		2									2							2n
1	1 !		t					2 !					t		... ( 1)																		n	!									t				... dt
	1 !							2 !																									n	!
0										x 3						3 x5																				x2n 1
				x				1		x 3				1		3 x5						...				1	3 ...(2n 1)									x2n 1						...

							2	1 ! 3						222 ! 5														2n n !							2n					1
							2	1 ! 3						222 ! 5														2n n !							2n					1
					1 3			...(2n				1)						x2n 1					[A .1.5]									(2n		1)!!							x2n 1
x																											x																	,		x		1.


				n 1				2nn !									2n 1													n 1			(2n)!!							2n 1
				n 1				2nn !									2n 1													n 1			(2n)!!							2n 1
6.1.6.	Розвинути в Тейлорів ряд за степенями x функцію f (x)																																													1			.

																																															2
Розв’язання. [12.6.3, 12.7.8.]																																										(1				x)
Розв’язання. [12.6.3, 12.7.8.]

																					1										1
																					1										1
											f	(x)																					.
											f	(x)												2									.
																								2
																			(1 x)										1 x
[Розвиваємо функцію													1						у Тейлорів ряд [12.7.8.] і диференціюємо його
[Розвиваємо функцію											1 x								у Тейлорів ряд [12.7.8.] і диференціюємо його
											1 x
всередині інтервалу збіжності.]
																							[12.7.8]
								1												1													n				n
								1												1													n				n
																									( 1)									x
						(1 x)												1		x					( 1)									x
						(1 x)												1		x								n	0
										2												[12.5.7]

( 1)n 1nxn 1, x 1.

6.2.1.Розвинути в ряд за степенями (x 2) функцію f (x) ex і вказати область збіжності одержаного розвинення.

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.1.]

		[12.7.1]			(x 2)n
	ex e 2 ex 2	e 2			(x 2)n	, x .
			n 0		n !
			n 0

6.2.2.							f(x) sin x	і вказати
6.2.2.	Розвинути в ряд за степенями x				функцію		f(x) sin x	і вказати

				4

область збіжності одержаного розвинення.

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.2, 12.7.3.]
			1			1
			1			1
sin x sin x				sin x			cos x
			2			2
	4	4	2		4	2		4

використовуємо формулу синуса суми

1		( 1)n	2n 1




	2 n 0	(2n 1)!	4

1 2

( 1)n

(2n) !

n 0

	2n
		, x .
x		, x .

	4

6. Тейлорові ряди

6.2.3. Розвинути в ряд за степенями (x 1) функцію f (x) 2 x і вказати

область збіжності одержаного розвинення.

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.8.]

n 0

1				1

2 x			3 (x 1)
			n

	n x 1
( 1)

		3			n 0

1	1			[12.7.8]
	1
			x 1
3	1		x 1
3	1
	3
( 1)n
( 1)n
		(x 1)n ,			x 1	3.
n 1		(x 1)n ,			x 1	3.
n 1
3

6.2.4. Розвинути в ряд за степенями (x 2) функцію f(x) ln(1 3x) і вказа-

ти область збіжності одержаного розвинення.

Розв’язання. [12.6.3, 12.7.9.]

використовуємо властивість логарифма

[1.7.9]									n 1
						n						n 1			7
					( 1)			3				n 1			7
	ln 7									2)			,	x 2
	ln 7					1			(x	2)			,	x 2
6.3.1. Обчислити 4				n 0 n				7							3
				n 0 n				7							3
		e	з точністю до 10 5.
Розв’язання. [12.6.1, 12.7.1.] 
Підставляючи в розвинення функції f (x) ex													у ряд Тейлора
[12.7.1] x 1 , одержимо ряд:
4
										1
						4	e			1		.
							e					.
									n 0 4	n	n !
									n 0 4		n !

— Маклорена

його частковою сумою Sn :

Оцінюємо похибку наближення суми ряду ex xn

n 0

n !

R (x)

n 1

...

(n 1)!

(n 2)!

n 1

...

1)!

n 2

(n 2)(n 3)

[12.2.3]

n 1

...

(n 1)!

n 1

(n 1)!

n !

n 1

(n 1)

n 1

геометричний ряд

70	Модуль 1. РЯДИ

[Визначаємо скільки треба взяти членів ряду, щоб забезпечити задану точність наближення.]

							1						5

			1											n 4.
	Rn											10
	Rn					n	n 1			1		10
						n				1
			4		n ! 4
			4		n ! 4					4
			4	1				1			1		1		1
	4					1
	4	e
		e		n				4		32		384
			n 0 4		n !			4		32		384		6144
1, 000000 0, 250000 0, 031250									0, 002604 0, 000162 1, 28403.

Коментар. Для наближеного обчислення використаємо відповідний Тейлорів ряд.

2	sinx x dx
6.3.2. Обчислити	sinx x dx	з точністю до 10 3.
0

Розв’язання. [12.7.2, 12.5.7, 12.6.1.] 

[Розвиваємо підінтегральну функцію у степеневий ряд, який збігається для будь-якого x .]

sin x

[12.7.2]

( 1)n x2n 1

( 1)n x2n

x n 0

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

[Інтегруючи розвинення, дістаємо знакопочережний ряд.]

sin x

( 1)n

( 1)n 22n 1

x2ndx

(2n 1) !

(2n 1) !(2n 1)

n 0

[Оцінимо похибку наближення суми знакопочережного ряду його частковою сумою.]

[Визначаємо скільки членів ряду треба взяти, щоб одержати потрібну точність.]

22n 3

0, 001 n 3.

(2n 3) (2n 3)!

sin x

( 1)n 22n 1

128

1, 605.

(2n 1)!(2n 1)

3 3 !

5 5 !

7 7 !

n 0

Коментар. Первісна для функції f (x)

sin x

не виражається в елементар-

них функціях. Можливість зінтегрувати степеневе розвинення для функції f (x) дозволяє подолати цю складність. Наближене обчислення такого інтеграла виявляється не складніше, ніж наближене обчислення значень синуса.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc