Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Розділ 14. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

14.4. Властивості перетворення Лапласа

Лінійність оригіналу та зображення

Ck fk (t) CkFk (p)

k 1

Подібність оригіналу та

f ( t)

зображення

, 0

Запізнення оригіналу

Зміщення зображення

(t a)f (t a) e paF(p), a 0

F(p ) e t f (t),

Диференціювання оригіналу

Диференціювання зображення

n 1

F(n)(p) ( t)n f (t)

f (n)(t) pnF(p) pn k 1f (k )(0)

k 0

Інтегрування оригіналу

Інтегрування зображення

F(p)

f (t)

f ( )d

F(q)dq

Зображення згортки

f1(t) f2(t) F1(p)F2(p)

f1(t) f2(t) f1( )f2(t )d

функцій f1(t) та f2(t) (теорема

f1(t) f2(t) f2(t) f1(t)

множення)

Формула Дюамеля

pF1(p)F2(p)

f1( )f2(t )d

f1(t)f2(0) f1( )f2(t )d

Зображення періодичного оригіналу

f (t) f (t T )

(T — період)

f (t)e ptdt

Розділ 14. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

14.5. Таблиця основних перетворень

1 1

e t

tn

n !

, n

t

( 1)

, Re 1

pn 1

p 1

 sin t

 cos t

p2 2

 sh t

 ch t

p2 2

t sin t

t cos t

(p2 2 )2

14.6. Знаходження оригіналу за зображенням

Схема знаходження оригіналу за

Оригінали для елементарних дробів

допомогою таблиці зображень.

знаходять за формулами таблиці

Зображення розкладають на суму

зображень і властивостями

елементарних дробів.

перетворення Лапласа.

Використовують властивість

лінійності й подібності.

Перша теорема розвинення. Якщо

Друга теорема розвинення. Якщо

функція F(p) аналітична в деякому

зображення F(p) є однозначною

околі і її розвинення в ряд за

функцією і має лише скінченну

степенями 1

має вигляд

кількість особливих точок

p1, p2, ..., pk , що лежать у скінченній

частині площини, то функція

F(p)

n 0 pn 1

f (t) res epktF(pk )

k 1

то функція f

, t 0,

і є оригіналом для зображення F(p).

(t)

n 0

t 0,

є оригіналом для зображення F(p).

Модуль 1. РЯДИ

1. Числові ряди

Навчальні задачі

2n 1

1.1.1. Задано загальний член ряду an n2 1 . Записати чотири перших чле-

ни ряду, десятий член ряду, (n 1)-й член ряду і сам ряд.

Розв’язання. [12.1.1.]

[Знаходимо члени ряду, підставляючи у формулу загального члена ряду їхні номери.]

				a 2 1 1													3 , a						5					1, a									7		, a				9				,
				a 2 1 1													3 , a			2			5					1, a						3					, a	4							,
					1			12 1									2			2						5								3		10				4		17
								12 1									2									5										10						17
					a					21				,a						2(n 1) 1																		2n 3						.
					a									,a																														.
					10				101						n 1			(n 1)2											1						n2 2n 2
									101									(n 1)2											1						n2 2n 2
Шуканий ряд:
3			7		9								21									2n 1													2n 3													2n 1
	1						...									...																										...									.
	1						...									...																										...									.
2			10		17								101									n2 1											n2		2n 2													n 1 n2		1
1.1.2.		Задано загальний член ряду a																										( 1)n					. Записати чотири перших члени
1.1.2.		Задано загальний член ряду a																															. Записати чотири перших члени
																						n						n !
																												n !
		ряду, десятий член ряду, (n 1)-й член ряду і сам ряд.
Розв’язання. [12.1.1.]
				a				( 1)1				1					1, a													1 ,a					1 ,a										1			,
				a								1					1, a									2				1 ,a				3	1 ,a						4							,
				1			1 !									1										2				2				3		6					4	24
										використовуємо означення факторіала [A.1.4]
													a					1			,a										( 1)n 1							.
													a								,a				1													.
													10				10 !							n	1					(n 1)!
																	10 !													(n 1)!
Шуканий ряд:
					1							1							( 1)n										( 1)n 1
			1		1	1						1			...				( 1)n										( 1)n 1							...										( 1)n			.
			1		2	1					24				...														(n 1)!							...													.
					2		6				24											n !							(n 1)!													n 1					n !
																																										n 1
1.2.		Задано часткову суму ряду Sn																										n				.		Записати ряд і знайти його суму.

																											2n 1
																											2n 1

Розв’язання. [12.1.1.]

З означення часткової суми ряду випливає, що n -й член ряду

34	Модуль 1. РЯДИ

					an Sn Sn 1															n									n 1
					an Sn Sn 1													2n			1				2(n 1) 1
																		2n			1				2(n 1) 1
			n					n 1					2n2 n 2n2 n 2n 1																											1			.

	2n 1						2n 1													4n2						1												4n2 1
	2n 1						2n 1													4n2						1												4n2 1
Шуканий ряд:
				1			1			1								1																1
				1			1			1	...							1					...											1					.
											...												...																.
Оскільки				3		15 35											4n2				1										n 1 4n2 1
Оскільки
										lim S						lim							n								1	,
										lim S				n		lim																,
									n					n			n 2n 1														2
то розглядуваний ряд збігається до суми S																								1 .
																								2
																																											90
1.3.1. Користуючись означенням, дослідити на збіжність ряд																																											90	.


Розв’язання. [12.1.2.]																																					n 1 4n2						8n 5
Розв’язання. [12.1.2.]
[Крок 1. Утворюємо n -ту часткову суму ряду [12.1.1.]]
																n						90
											Sn											90								.

																			4k2 8k									5
																k 1			4k2 8k									5
[Крок 2. Перетворюємо Sn .]
					90											90															15					15
					90											90															15					15					.

		4k2 8k 5										2k 1 2k 5																	2k 1						2k 5
					розкладаємо загальний член ряду
					на суму елементарних дробів
Отже,
					n											15							n				15						n			15
			n					15								15											15									15
			n
	S																																									.
					k 1 2k 1										2k			5				k 1				2k 1							k 1 2k							5

Оскільки,

(2k 5) (2k 1) 3, 2

то відчепімо від першої суми 3 перших доданки, а від другої — 3 останніх:

n 3

Sn 15 5 3

2k 1

2k 5

2n 1

2n 3

2n 5

k 4

k 1

Замінімо індекс підсумовування у першій сумі l k 3, k l 3 :

										1. Числові ряди														35
		n 3			15				n 3			15			15				15				15
					15							15			15				15				15
S	23


n					2l 5									2n 1				2n 3					2n 5
n					2l 5						2k 5			2n 1				2n 3					2n 5
		l 1							k 1
					суми різняться лише
					позначеням індексу
									15				15				15
			23						15				15				15
																				.
																				.
								2n 1					2n 3			2n
								2n 1					2n 3			2n			5
[Крок 3. Знаходимо lim Sn .]
			n
											15			15					15
											15			15					15			23.
	lim S					lim	23
	lim S	n				lim	23
		n											1 2n			3 2n
	n									2n			1 2n			3 2n					5
	n			n

[Крок 4. Висновуємо про збіжність чи розбіжність ряду.]

Ряд збігається до суми S 23.

Коментар.Для розкладання використовуємо метод невизначених коефіцієнтів.

																											( 1)n 2n
1.3.2.	Користуючись означенням, дослідити на збіжність ряд																										( 1)n 2n	.
1.3.2.	Користуючись означенням, дослідити на збіжність ряд																											.
Розв’язання. [12.1.2.]																								n 0			32n
Розв’язання. [12.1.2.]
		n 1					k					k
			( 1)								2
1. Sn

						2k					2k		.
					3	2k					2k
		k 0			3					3
		( 1)n					2n							1	n		2 n
2. an
2. an		2n						2n										;
		3					3							9			9
									n 1				1	k			n 1 2		k	1 1		n	1		2 n
																					9				9
			S		n																1				2	.
					n															1	1			1	2
									k 0				9				k 0	9		1	9			1	9
										підсумовуємо геометричні											9				9
										підсумовуємо геометричні
									прогресії за формулою [A.1.6]
3. lim Sn				9				9				153 .
3. lim Sn			10					7				153 .
n			10					7				70
4. Ряд збігається до суми S																153 .
																70

1.3.3.	Користуючись означенням, дослідити на збіжність ряд ( 1)n 1.

n 1

Розв’язання. [12.1.2.]

Часткові суми ряду:

S1 1, S2 0, S3

			n 2k 1,
	1,		n 2k 1,
1, S4 0, ... Sn
1, S4 0, ... Sn
		0,	n 2k, k .
		0,	n 2k, k .

Оскільки така послідовність границі не має , то ряд розбігається. Коментар. Якщо границя послідовності існує, то вона єдина.

36	Модуль 1. РЯДИ

1.3.4. Користуючись означенням, дослідити на збіжність ряд

arctg

Розв’язання. [12.1.2.]

n 1

n2 n 1

1. Sn arctg

k 1

2. Правдива рівність:

n (n 1)

tg(arctg n) tg(arctg(n 1))

n2 n

1 n(n 1)

1 tg(arctg n) tg(arctg(n 1))

tg(arctg n arctg(n 1)),

arctg

arctg n arctg(n 1).

n2 n 1

(arctg k arctg(k 1)) arctg k

arctg(k 1)

k 1

n 1

k 1

arctg n arctg k

arctg(k 1) arctg 0

k 1

k 2

замінімо індекс l k 1

n 1

arctg n arctg k arctg l arctg n.

k 1

l 1

суми різняться лише позначенням

індексу підсумовування

3. lim Sn lim arctg n

Ряд збігається до суми S

1.4.1.Дослідити ряд 3n tg 3n на збіжність за допомогою необхідної ознакиn 0

збіжності ряду.

Розв’язання. [12.1.3.]

[Крок 1. Записуємо загальний член ряду an .]

		a	3n tg	4		.
		a	3n tg			.
		n		3n
[Крок 2. Знаходимо lim an.]				3n
[Крок 2. Знаходимо lim an.]
n
n		4	n		4
lim 3	tg		lim 3				4	0.
lim 3	tg	3n	lim 3		3n		4	0.
n		3n	n		3n

1. Числові ряди

[Крок 3. Висновуємо: ряд розбігається за достатньою ознакою розбіжності  або потребує додаткового дослідження.]

Ряд розбігається за достатньою ознакою розбіжності.

Коментар. Невиконання необхідної ознаки збіжності ряду є достатньою ознакою розбіжності ряду.

1.4.2.

Дослідити ряд (n 3) ln

на збіжність за допомогою необхідної

n 1

n 2

ознаки збіжності ряду.

Розв’язання. [12.1.3.]

(n 3) ln

n 1

n 3 [A .1.1]

lim (n 3) ln

lim

1 0.

lim an

n 1

3. Ряд розбігається за достатньою ознакою розбіжності.

1.4.3.

Дослідити

ряд

на збіжність за

допомогою необхідної

n 2

ознаки збіжності ряду.

Розв’язання. [12.1.2, 12.1.3.]

lim

lim ln

Необхідну умову збіжності ряду виконано. Оскільки вона не є достатньою, дослідімо ряд на збіжність за означенням.

	2		3		4		n 1		2	3	4	n 1
Sn ln		ln		ln		... ln							ln(n 1);
								ln
	1		2		3		n			2	3	n
								1

використовуємовластивість логарифма

lim Sn

lim

ln(n 1) .

3. Ряд розбігається за означенням.

1 n) на збіжність за допомогою необхідної

1.4.4.

Дослідити ряд n( n

n 1

n7 1

ознаки збіжності ряду.

Розв’язання. [12.1.3.]

1. a

n3 1 n)

n7 1

38	Модуль 1. РЯДИ

2. lim a			n(n3	1 n2 )		[A .1.1]
		lim	n(n3	1 n2 )		0.
		lim				0.
n	n	n n7 1			n3 1 n

3. Необхідну ознаку збіжності виконано, але через те, що вона не є достатньою, ряд потребує додаткового дослідження.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

1.5.За заданим загальним членом ряду an запишіть чотири перших члени ряду, десятий член ряду, (n 1)-й член ряду і сам ряд, якщо:

1) an	n	;	2) an	3n .
	2n (n 1)
				n !

1.6.Запишіть можливу формулу загального члену ряду:


1)		1		1		1		...;		2)	3		4		5	...;
	1		3	3	5	5	7				4		9	16
3)	cos cos 2 cos 3								...;	4)		1		1				1		... .
3)	cos cos 2 cos 3								...;	4)	2	2		3 4			4		8	... .
					8			27			2	2		3 4			4		8

1.7.Задано часткову суму ряду Sn. Запишіть ряд і знайдіть його суму, якщо:

1) Sn	1	5n 1	;	2) Sn	n(n 3)	.
	4				4(n 1)(n 2)
		5n

1.8.Знайдіть n -ту часткову суму і суму ряду:

;

(2n 1)(2n

n 1

n(n 1)

n 1

;

n(n

(2n 1)(2n

n 1

5n 3n

;

n ;

n 1

ln n 2;

8) ( 1)n (2n 1);

n 2

n 1

n !

sin

10) n 2 2

n 1

n ;

720;

n 1

11) arctg

n 1

1. Числові ряди

1.9.Дослідіть на розбіжність ряд:

		2n2		n 1
1)									;
				2
		3n					n
	n 1	3n					n
				1
3)	cos			1	;
	n 1			n
	n 1
			5n
5)			5n			;
5)						;
	n 1	n 1
	n 1
7)						n2 1
7)	arctg					n		3	;
	n 1					n		3
	n 1
				3		2	n3
9)		3n				2

				3					;
				3					;

	n 1 3n					4

Відповіді


2)	n2 n		5;
	n 1	3n 3 n2
			1;
4)	n arctg		1;
	n 1		n
	n 1

( 1)n 1n

6) ; n 1 ln(n 1)

8) n0, 02;

n 1

10) n2 e1 n2 1 .

n 1

1.5. 1) a1

,a2

,a3

,a4

,a10

,an 1

;

2n 1 n 2

2n n 1

11264

n 1

729

3n 1

2) a1 3,a2

2 ,a4

8 , a10

,an 1

, n 1 n !.

44800

n 1 !

1 n 1

1.6. 1) an

; 2)

n 2

; 3)

an cos n

; 4) an

2n 1 2n 1

n 1 2n

(n 1)2

1 .

1.7. 1)

; 2)

1)(n 2)

n 1

n 1 n(n

1.8. 1) S 1; 2)

S 1

; 3)

11 ;

23 ;

3 ; 6)

3 ;

7) розбігається; 8)

розбігається; 9) S sin

sin

... sin ;

10) S 1

720

360

11)Sn arctg n 1,S 4 .

1.9. 1)–10) Усі розбігаються.

40	Модуль 1. РЯДИ

2. Числові ряди з додатними членами

Навчальні задачі

2.1.1.

Дослідити на збіжність ряд sin23 n за першою ознакою порівняння.

Розв’язання. [12.2.1.]

n 1

[Крок 1. Записуємо загальний член ряду an. ]

sin2 n

[Крок 2. Оцінюємо загальний член ряду an

так, щоб можна було застосувати

першу ознаку порівняння [12.2.1.]]

b .

Ряд

n 1 bn

збігається як узагальнений гармонічний

ряд з показником

3 1 [12.2.5.]

[Крок 3. Висновуємо.]

За першою ознакою порівняння зі збіжності ряду n 1 bn

випливає збіжність

ряду n 1 an .

2.1.2. Дослідити на збіжність ряд

за першою ознакою порівняння.

ln n

Розв’язання. [12.2.1.]

n 2

1. an

ln n

2. b 1 a

n 2.

ln n

оскільки ln n n

Ряд n 2 bn

розбігається як гармонічний.

3. За першою ознакою порівняння з розбіжності ряду n 2 bn випливає розбі-

жність ряду n 2 an .


2.2.1. Дослідити на збіжність ряд sin		за другою ознакою порівняння.
2.2.1. Дослідити на збіжність ряд sin	4n	за другою ознакою порівняння.
n 1	4n
Розв’язання. [12.2.2.]

[Крок 1. Записуємо загальний член ряду an. ]

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc