Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

11. Інтегрування функцій комплексної змінної

101

Тоді

Im z

(z2 zz )dz iei (ei2 1)d

1 Re z

Рис. до зад. 11.2

11.3. Обчислити ezdz, де C — відрізок прямої y x, яка з’єднує точки

z1 0 та z2 i .

Розв’язання. [13.5.3.]

Параметричне рівняння лінії C : x t, y t, 0 t .

				1	i

e		dz et it (1 i)dt (1 i) e(1 i)tdt				e(1 i)t	(e 1)i.
	z
C	0		0	1	i		0

11.4.Обчислити ez2dz.

Розв’язання. [13.5.8.]

Оскільки функція f (z) ez2 аналітична на всій комплексній площині, то за формулою Ньютона — Лейбніца [13.5.8]:

i2		i2 2ei 2ei 2 2 2i.
ez 2dz 2ez 2		i2 2ei 2ei 2 2 2i.
i		i
		i

11.5.

Обчислити

cos z

уздовж контурів:

z(z 2)

1) L1 — коло

2) L2

— коло

3) L3 — коло

z 2i

Розв’язання. [13.5.4–2.5.7.]

1. Усередині круга

1 функція

cos z

аналітична, то-

(z 2)2

чка z0

0 лежить у цьому крузі. За формулою Коші маємо

cos z

dz [13.5.6]

cos z

2 i

(z 2)

z 0

z 2 1;

Im z

Re z

O 1 2

Рис. до зад. 11.5.1.)

102	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

2. У крузі

z 2

функція

cos z

Im z

аналітична, то-

чка z1 2 лежить у центрі цього круга. Застосо-

вуючи формулу Коші для похідної одержимо

3 Re z

cos z

[13.5.7]

cos z

2 i

z 2

Рис. до зад. 11.5.2)

	z sin z				2 sin 2 cos 2	2 sin 2 cos 2
		cos z		2 i			i.
2 i		2
	z				4	2
			z 2

3. У

крузі

cos z

Im z

z 2i

1 функція

аналітична,

тому за теоремою Коші

z(z 2)

cos z

[13.5.4]

1 z(z

z 2i

Re z

11.6.

Обчисліть

cos z

Рис. до зад. 11.5.3)

dz.

z(z 2)

Розв’язання. [13.5.5, 13.5.6.]

У круг

3 потрапляють дві точки z1 0 та z2

2, в яких підінтегральна

функція не аналітична.

Im z

Побудуємо кола 1 та 2 із центрами у точках z1 та z2

і радіусами такими, щоб вони не перетиналися і повні-

стю лежали всередині круга

Re z

У тризв’язній області, обмеженій колами

3, 1

та

2 підінтегральна функція аналітична. За теоремою

Рис. до зад. 11.6

Коші для багатозв’язної області

cos z

[13.5.5]

cos z

dz.

z(z 2)

До кожного з інтегралів у правій частині рівності застосовна формула Коші:

cos z

[13.5.6]

cos z

cos 2

2 i z 2

2 i

z(z 2)

z 0

z 2

11. Інтегрування функцій комплексної змінної

103

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

11.7. Обчисліть:

Im zdz

уздовж відрізка

дійсної осі від точки

до

точки

z1 3;

Im zdz

уздовж півкола

0 arg z .

Re zdz

уздовж дуги параболи y 2x2 від точки z0

0 до точки

z1 1 2i;

Re zdz

уздовж відрізка прямої від точки z1 0 до точки z2

(z 2

)dz уздовж дуги кола

arg z

;

(2z 1)zdz уздовж дуги кола

1, 0

arg z ;

cos zdz, уздовж відрізка прямої від точки

до

точки

Re zdz, уздовж відрізка

прямої від точки

до

точки

z1 1 i.

11.8. Обчисліть:

	2i	i
1)	(z 5) cos zdz;	2) z sin zdz;
	0	1
	i 2	i
3)	zezdz;	4) (z i)e zdz.
	0	0

104	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

11.9. Обчисліть

e2z

уздовж:

z i

1) кола

2) кола

z i

11.10. Обчисліть:

cos3 z dz;

sh23 z dz.

11.11. Обчисліть

sh z

уздовж контуру:

(z 1)(z

— коло

z 1

1 ;

— коло

z 2i

1 ;

— коло

z 2i

;

4) L

— коло

z 2

11.12. Обчисліть:

z 5

z 4

dz			;

z2
	16
		dz		;
(z2
	9)(z 9)


2)					e1 z		dz;
2)			1 (z	2		2	dz;
	z 2					4)
	z 2					4)
4)			cos(z i)					dz.
4)			z(e		z	2)		dz.
	z	3	z(e			2)
	z	3

Відповіді

11.7. 1)	0; 2)	9	; 3)	1	4 i; 4)	0;	5) 8 i; 6) 4 i; 7)	ch 1		( 2 4 4 i);
		2		2				2	4
					3

8) 14 (e2 1)(1 i).

11.8. 1) ( 2 5i) sh 2			ch 2 1; 2)			cos1 sin1 ie 1; 3)				1 i;
11.8. 1) ( 2 5i) sh 2			ch 2 1; 2)			cos1 sin1 ie 1; 3)			2	1 i;
4) 1 cos 1 i(sin 1 1).
11.9. 1) 2 i; 2) 0.						11.10. 1) i; 2) 2 i.
11.11. 1)	2 sh	i; 2)	2(i 2)		; 3)	2(i 2)	; 4)	0.
11.11. 1)	25	i; 2)	40		; 3)	40	; 4)	0.
	25		40			40
11.12. 1) 0; 2) 0; 3)			i ; 4)	2 i ch .
			45	3

12. Тейлорові і Лоранові ряди

105

12. Тейлорові і Лоранові ряди

Навчальні задачі

12.1.1. Розвинути

функцію

f (z)

Тейлорів

ряд

околі точки

az b

z z0 (b az0 0).

Розв’язання. [13.6.3, 13.6.5.]

az b

a(z z0) b az0

[13.6.5]

) ,

b az0

a(z

b az

0 )

0 k 0

b az0

b az

a(z z0)

z z

b az0

у Тейлорів ряд в околі точки z0 1 .

12.1.2. Розвинути функцію f (z) ez

Розв’язання. [13.6.3, 13.6.5.]

[13.6.5]

(z 1 2)k

ez ez 1 2 1 2 eez 1 2

, z .

k !

k 0

12.1.3. Розвинути

функцію

f (z) sin(2z 1)

у Тейлорів ряд

в околі точки

z0 1.

Розв’язання. [13.6.3, 13.6.5.]

sin(2z 1) sin(2(z 1) 1)

			[13.6.5]
	sin 2(z 1) cos 1 sin 1 cos 2(z 1)
	( 1)k 22k 1(z 1)2k 1		( 1)k 22k (z 1)2k
cos 1	( 1)k 22k 1(z 1)2k 1	sin 1	( 1)k 22k (z 1)2k		, z .
cos 1	(2k 1)!	sin 1	(2k)!		, z .
k 0	(2k 1)!	k 0	(2k)!
k 0		k 0
12.2.1. Знайти усі Лоранові розвинення функції f (z)				1		в околі

				(z 1)(z 2)

точки z0 1.

Розв’язання. [13.6.2, 13.6.5.]

З’ясуймо в яких кільцях функцію

f (z)	1	1	1	.
	(z 1)(z 2)	z 2	z 1

106	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

можна розвивати в Лоранів ряд.

Функція f (z) аналітична у двох областях.

I . 0 z 1 1.

Доданок z 1 вже розвинутий у Лоранів ряд в околі то-

чки z 1.

O 1 2

Рис. до зад. 12.2.1

Функція аналітична не лише в розглядуваній області, а й у відкритому z 2

крузі z 1 1 — для неї Лоранове розвинення переходить у Тейлорове:

				1						1						1
				1						1						1				(z 1)k

				z 2					(z 1)			1			1	(z 1)
				z 2					(z 1)			1			1	(z 1)							k 0
																							k 0
											1
							f (z)						(z 1)k, 0									z 1				1.

										z 1
										z 1			k 0
													k 0
II .	z 1	1. Тип області вказує на те,														що функцію								1						треба розвивати в
																								1

																								z			2
Лоранів ряд за від’ємними степенями (z 1) :																								z			2
Лоранів ряд за від’ємними степенями (z 1) :
				1						1				1		1							1							1
				1						1				1		1							1							1			.
																			1													k	.
			z 2					(z 1) 1					z 1 1									z	1 k 0				(z					1)
			z 2					(z 1) 1					z 1 1					z	1			z	1 k 0				(z					1)
																		z	1
					1				1				1					2						1
	f (z)																												,		z 1			1.

				z		1									k		z 1											k
				z		1			z 1 k 0 (z					1)			z 1				k 2 (z				1)

12.2.2. Знайдіть усі Лоранові розвинення функції f (z)

z0 i.

Розв’язання. [13.6.2, 13.6.5.]

З’ясуймо в яких кільцях функцію

	1	1	1	1
f (z)	1	1	1	1
f (z)
	z(z 2)
	z(z 2)	2 z		z 2

можна розвивати в Лоранів ряд.

Функція f (z) аналітична у трьох областях.

I . z i r 0 i 1.

Для функцій	1	та	1	Лоранове розвинення перехо-
	z		z 2

дить у Тейлорове:

z(z 2)

в околі точки

z			III
			III
R	i	I	II
		r	II
		r
2		O

Рис. до зад. 12.2.2

12. Тейлорові і Лоранові ряди

107

1 z 2

ik 1(z i)k;

(z i) i

i 1

z i

k 0

( 1)k

(z i)k .

(z i) i 2

2 1

z i

k 1

k 0

(i 2)

i 2

( 1)k

f (z) 1 ik 1(z i)k

(z i)k

2 k 0

2 k 0 (i 2)k 1

k 1

( 1)

k 1

(z i) .

II .1 z i R 2 i 5.

( i)k

(z i) i

z i 1

k 1

k 0

(z i)

z i

f (z)

( i)

( 1)

(z i)k .

k 1

k 0

(z i)

k 0

2(i 2)

z i

III .

z 2

(z i) i 2

i 1

i 2

z i

i 2 k

(z i)k 1

k 0

( i)k

i 2

f (z)

k 1

k 0

(z i)

k 0

(z i)

( i)k i 2 k

k 1

k 0

(z i)

12.2.3. Знайдіть усі Лоранові розвинення функції f (z) sin

в околі точки

z i

z0 i.

Розв’язання. [13.6.2, 13.6.5.]

sin

sin 1 cos

cos 1 sin

z i

108	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

[13.6.5]

2k 1

sin 1

( 1)

cos 1

k 0

(2k)! z

k 0

(2k

1)! z

z i

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

12.3.

Розвинути в Тейлорів ряд функцію f (z) за степенями (z z0):

f (z) e3z 2, z0 1;

2) f (z) z cos 2z, z0

f (z) sin(z i), z0 i;

4) f (z) (z 1) sin 2z, z0

5) f (z)

, z0 0;

6) f (z)

, z0 0.

z 3

(z 1)3

12.4.

Розвинути в Лоранів ряд функцію f (z) в області 0

z z0

2) f (z) cos

f (z) e

,z0

z 1

f (z) sin

, z0

4) f (z) (z 1) sin

, z0 1;

i)3

1)2, z0

6) f (z) (z i)2 cos

f (z) e

z 1

,z0 i;

z i

f (z)

,z0

8) f (z)

1 e z2

,z0 0.

12.5. Розвинути всі розвинення функції

f (z)

у Лоранів

ряд

за

степенями

(z z0):

1) f (z)

3)f (z)

4)f (z)

5)f (z)

1		, z	0 3;					2) f (z)

z 3
z 3
1				, z0 0, z0 2;

z(z 2)
z(z 2)
z 1						, z		1, z0 2;
							0
z2							0
z2	3z 2
cos z	,z0				;			6) f (z)
z 3

(z 1)3 , z0 1;

z 3e1z .

12. Тейлорові і Лоранові ряди

109

12.6. Розвиньте функцію в Лоранів ряд у вказаних кільцях:

1) f

(z)

, 2

3, 3

;

(z 2)(z 3)

2) f

(z)

, 0

1, 1

;

z2 z

3) f

(z)

, 1

4, 4

;

(z 2)(1 z2)

4) f

(z)

z2 z 3

1, 1

2, 2

3 3z 2

Відповіді

3n (z 1)n , z ;

12.3. 1) e

n 0

n !

2n 1

2) ( 1)

(2n

1) cos 2 2 sin 2 (z

cos 2

(2n

n 0

1)!

n 22n 1

2 cos 2

2n sin 2

, z ;

( 1)

n 1

(2n !)

(z i)2n 1

3) ch 2 ( 1)n

i sh 2 ( 1)n (z i)2n , z ;

(2n 1)!

n 0

(2n)!

22n 1(z

1)2n 2

22n (z 1)2n 1

4) cos 2 ( 1)n

sin 2 ( 1)n

, z ;

n 0

(2n 1)!

n 0

(2n)!

3; 6)

( 1)

n(n 1)zn 2,

n 1

n 0

n 2

12.4. 1)

; 2) ( 1)n

; 3)

( 1)n

;

! z

(2n 1)!

3(2n 1)

n 0 n

n 0

(2n)! (z 1)

n 0

(z i)

4) ( 1)n

; 5)

; 6) ( 1)n

;

n 3

2n 2

n 0

(2n 1)! (z 1)

n 0 n ! (z 1)

n 0

(2n)! (z i)

z2n

7) zn 1

;

8) ( 1)n

n 1

n !

n 0

(n 1)!

12.5. 1)

, 0

z 3

;

, 0

z 1

;

z 3

(z 1)3

2n 1

( 1)n 1

2, ( 1)n 1

, 0

n 1,

n 2

n 0

n 1

110	Модуль 2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

		1		1					(z 2)n																																					2n 1
		1		1					(z 2)n																																					2n 1
																		, 0							z 2								2,																								,		z 2					2;
		2	z 2									n 2						, 0							z 2								2,											(z									n 1				,		z 2					2;
		2	z 2						n 0		2																											n 1						(z						2)
				2																																						1																				1
4)					3 (z 1)n, 0																				z 1								1,														3
																																																																			,	z 1							1,
			z	1																																				z					1													(z					n 1				,	z 1							1,
			z	1					n 0																															z					1								n 1					(z			1)
																																																																	n 1
		3		2 ( 1)n 1(z 2)n , 0																								z 2								1,									1						2											( 1)								,	z 2					1;
		3																																											1																	( 1)
	z 2																																										z		2																	n 1
	z 2			n 0																																							z		2										n 1						(z 2)
							z2n 3																									1
5) ( 1)n											, 0					z				; 6)																	, 0								z			.

							(2n)!																											n 3
		n 0					(2n)!																	n 0 n ! z
									n 1				1										n								n 1										n 1										1													n n											1
								2					1							z										3						2															1													n n											1
																																																																										n 2
12.6. 1)																								,																					; 2)						z											( 1)			z			,								;
				n 1 z									3 n 0								3					n 1										z															z					n 0													n 0 z
												1			2		2		1							2	3					2 2							4		2									2		5		2
												1			2				1							2						2 2									2									2				2
3) не розвивається,																																																																	;
3) не розвивається,																																																																	;
												5					z			3								z		4										z		5												z	6
																	z											z												z														z
										n		n 1												n																	n				n 1																							n
4)						( 1)						n 1												n											( 1)										n 1																n ( 2)

				n					n		z ,							n 1 n 1 z ,																															z														n 1 .
								2										n 1 z													n 0 2																		z						n 1							z
		n 1						2										n 1 z													n 0 2																								n 1							z
13. Нулі та ізольовані особливі точки функції
Навчальні задачі
13.1.1. Знайти нулі функції f (z) z2 sin z і визначити їхні порядки.
Розв’язання. [13.7.2.]
	f (z) 0				z 0									або sin z 0 z k, k .
Дослідімо корінь z 0 :
																					z	3					z		5												2																	3							z	2						z	4
																					z						z														2																	3							z							z
								sin z z																							..., z													sin z z
								sin z z																							..., z													sin z z																1																... .
																					3 !						5 !																																						3 !							5 !
																					3 !						5 !																																						3 !							5 !

Отже, z 0 — нуль 3-го порядку, оскільки вираз в дужках 0							при z 0.
Дослідимо корені z k, k 0 :
f (z) z2 cos z 2z sin z;
	k	2	2	0 (k		0).
f ( k) ( 1)		k		0 (k		0).
Отже, z k — нуль 1-го порядку.
13.1.2. Знайти нулі функції f (z)		z 3			і визначити їхні порядки.
13.1.2. Знайти нулі функції f (z)	z ez				і визначити їхні порядки.
1	z ez
Розв’язання. [13.7.2.]
f (z) 0 z 0. Дослідімо точку z		0:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc