Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Розділ 12. РЯДИ

12.4. Функціональні ряди

Функціональні ряди.

Множину D X значень x X,

для

Функціональним рядом називають ряд

вигляду

яких функціональний ряд n 1 un(x)

u1(x) u2(x) ... un (x) ...

збігається, називають областю

збіжності ряду.

Ряд n 1 un(x) називають абсолютно

un (x),

n 1

збіжним, якщо збігається ряд

де un(x) — функції, означені на деякій

un (x)

n 1

множині X.

un (x)

Ряд n 1 un(x) називають збіжним у

Область збіжності ряду n 1

називають областю абсолютної

точці x0, якщо для x0 X числовий

збіжності ряду n 1 un(x).

ряд n 1 un(x0 ) збігається.

Рівномірна збіжність

Ознака Веєрштраса.

функціонального ряду.

Функціональний ряд n 1 un(x)

збігається на множині D абсолютно і

називають рівномірно збіжним на

рівномірно, якщо існує збіжний

множині D , якщо

0 N : n N

числовий ряд n 1an,an 0, такий,

що

S x Sn x

Rn x

un(x)

an n , x D.

x D

Числовий ряд n 1an називають

мажорантою функціонального ряду.

Властивості рівномірно збіжних

рядів.

Якщо функціональний ряд з

Якщо члени ряду неперервні

неперервно диференційовними

функції і ряд на множині D збігається

членами збігається на відрізку [a;b], а

рівномірно, то сума ряду неперервна

ряд, утворений з похідних його членів,

на цій множині.

рівномірно збігається на [a;b], то

Якщо функціональний ряд з

заданий ряд можна почленно

неперервними членами рівномірно

диференціювати в точках відрізку.

збігається на відрізку [a;b], то його

можна почленно інтегрувати на цьому відрізку.

12	Розділ 12. РЯДИ
12.5. Степеневі ряди

Степеневий ряд. Степеневим рядом за степенями (x x0 ) (степеневим рядом з центром у точці x0) називають функціональний ряд вигляду

c0 c1(x x0 ) ... cn (x x0 )n ... cn (x x0 )n .

n 0

Теорема Абеля. Якщо степеневий

Наслідок. Степеневий ряд n 0 cnxn

ряд n 0 cnxn збігається в точці

абсолютно збігається в деякому

x1 0, то він абсолютно збігається в

інтервалі ( R;R), який називають

кожній точці x, для якої

;

інтервалом збіжності, число R —

радіусом збіжності.*

якщо степеневий ряд розбігається в

точці x2, то він розбігається скрізь, де

збігається

розбігається

інтервал збіжності

розбігається

Інтервал збіжності степеневого

x x0

R (x0 R;x0 R)

ряду cn (x x0)n

Круг збіжності степеневого ряду з

z z0

комплексними членами cn(z z0)n

n 0

Формула Коші — Адамара

R lim

lim

cn 1

n n

* На межах інтервалу збіжності, в точках x R, ряд може збігатися, а може й розбігатися.

Розділ 12. РЯДИ

Схема знаходження області

збіжності степеневого ряду.

Знаходять інтервал збіжності x x0 R

степеневого ряду

n 0 cn (x x0 )n одним із способів:

а) застосовують ознаку д’Аламбера або радикальну ознаку Коші до ряду

	n	;
	n
n 0	cn (x x0 )

б) використовують формулу Коші — Адамара [12.5.4].

Досліджують збіжність степеневого ряду на кінцях інтервалу збіжності за допомогою інших ознак.

Записують відповідь.

Властивості степеневих рядів.

Сума S(x) степеневого ряду

n 0 cnxn є неперервною функцію в

інтервалі збіжності ( R;R).

Степеневі ряди n 0anxn та

n 0bnxn, з радіусами збіжності R1 та

R2 можна почленно додавати і

віднімати. Радіус збіжності суми і різниці рядів не менше, ніж найменше

зчисел R1 та R2.

Степеневий ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати:

n 0cnxn n 1cnnxn 1,

x( R;R).

Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на кожному відрізку, який міститься всередині інтервалу збіжності:

x		tn 1	x

cntndt cn			,
		n 1
n 0	n 0

R x R

14	Розділ 12. РЯДИ

12.6. Розвинення функцій у степеневі ряди (Тейлорові ряди)

Тейлорів ряд. Нехай функція f (x) в деякому околі точки x0 має похідні всіх порядків. Степеневий ряд:

(n)

f (x

f (x0)

(x x0) ...

(x0)

(x x0)n ...

(x0)

(x x

0)n

n !

n 0

називають Тейлоровим рядом функції f (x) із центром у точці x0.

Частковою сумою Тейлорового ряду є Тейлорів многочлен:

f (k)(x0 )

Pn(x)

k !

(x x0 )

f(x) Pn(x)

Rn(x),

k 0

де Rn(x) — залишок ряду.

Якщо функція f (x) є сумою степеневого ряду n 0cn(x x0)n, то кажуть, що вона розвивається за степенями (x x0).

Критерій збіжності Тейлорового					Теорема єдиності. Якщо функція
ряду. Тейлорів ряд					f (x) розвивається у степеневий ряд
		(n)	(x0 )(x x0 )n		c (x x )n,
f			(x0 )(x x0 )n		c (x x )n,

					n
n 0		n !			n	0
n 0					n 0
збігається до функції f (x) в інтервалі					n 0
збігається до функції f (x) в інтервалі					в околі точки x0, то це розвинення єдине
збіжності I	тоді й лише тоді, коли в				в околі точки x0, то це розвинення єдине
збіжності I	тоді й лише тоді, коли в				і одержаний ряд є Тейлоровим рядом
цьому інтервалі функція f (x) має					і одержаний ряд є Тейлоровим рядом
цьому інтервалі функція f (x) має					функції f (x) із центром у точці x0.
похідні всіх порядків та					функції f (x) із центром у точці x0.
x I : lim R (x) 0.
			n	n

Достатня умова збіжності Тейлорового ряду. Якщо функція ї її похідні будь-якого порядку обмежені в околі точки x0 однією і тією самою сталою K,

то Тейлорів ряд функції f (x) збігається до функції f (x) для будь-якого x з цього околу.

Розділ 12. РЯДИ

12.7. Тейлорові розвинення деяких елементарних функцій з центром у точці x 0

ex 1 x x2

... xn

... xn ,

2 !

n !

n 0

n !

 sin x x x 3

x2n 1

... ( 1)n

(2n 1)!

5 !

n 0

(2n 1)!

 cos x 1 x2

x 4

x2n

... ( 1)n

(2n)!

4 !

n 0

(2n)!

 sh x x x3

x2n 1

...

(2n

5 !

(2n 1)!

n 0

1)!

 ch x 1 x2

x 4

x2n

...

(2n)!

2 !

4 !

n 0

(2n)!

( 1)

( 1)...( n 1)

(1 x) 1

...

...,

n !



1 x x2

... xn ... xn,

n 0



1 x x2

... ( 1)n xn ... ( 1)n xn,

n 0

ln(1 x) x x2

xn 1

... ( 1)n

...

( 1)n

n 1

n 0

n 1

x ( 1;1].

 arctg x x x 3

x5 ... ( 1)n

x2n 1

... ( 1)n

2n 1

n 0

2n 1

x [ 1;1]

16 Розділ 12. РЯДИ

12.8. Ряди Фур’є

Тригонометричний ряд Фур’є. Тригонометричним рядом Фур’є

T T

T -періодичної, інтегровної функції f(x) на відрізку

;

називають ряд

cos(n x) b sin(n x) ,

n 1

коефіцієнти якого визначають за формулами:

T 2

f (x)dx; a

T 2

f (x)cos(n x)dx; b

T 2

f (x)sin(n x)dx

T 2

Теорема Діріхле. Якщо T -

періодична функція f (x) справджує

	T		T
умови Діріхле на відрізку		;		,
умови Діріхле на відрізку		;		,
	2		2
	2		2

тобто функція f (x) на цьому відрізку:

1)кусково-неперервна;

2)кусково-монотонна;

3)обмежена,

то її ряд Фур’є збігається в кожній точці відрізку.

Його сума:

	T			T
	T			T
1) S(x) f(x), якщо x			;		і є
1) S(x) f(x), якщо x			;		і є
		2		2
		2		2

точкою неперервності функції f(x);

2) S(x) f (x 0) f (x 0), якщо 2

;

і є точкою розриву

функції f(x);

3) S

0 .

Деякі властивості функцій.

Функцію f(x), означену на необмеженій множині D, називають T -періодичною, якщо існує число

T 0 таке, що для кожного x D : x T D і

f (x T) f (x).

Число T називають періодом функції f.

Функцію f (x),x D(f ), називають

обмеженою, якщо

C 0 : f (x) C x D(f )

Кусково-неперервність функції на відрізку означає наявність у функції скінченної кількості точок розриву 1-го роду.

Кусково-мотонність функції на відрізку означає, що цей відрізок можна розбити на скінченну кількість інтервалів монотонності функції.

Розділ 12. РЯДИ

12.9. Різні форми ряду Фур’є

Ряд Фур’є для T -періодичної функції f, x	T T				2
		;		, 1		:

	2		2		T

f (x)

cos(n x) b

sin(n x) ,

n 1

T 2

f(x)dx;

T 2

f (x)cos(n x)dx;

T 2

f (x)sin(n x)dx

T 2

Ряд Фур’є для T -періодичної парної функції f :

f (x)

an cos(n 1x),

n 1

T 2 f (x)dx;

T 2 f (x)cos(n x)dx;

b 0

Ряд Фур’є для T -періодичної непарної функції f :

f(x) bn sin(n 1x),

n 1

T 2 f(x)sin(n x)dx

Ряд Фур’є для T -періодичної функції, графік якої симетричний щодо

точки A(0;c)

f (x) c bn sin(n 1x)

n 1

2c;a

0;b

T 2[f (x) c]sin(n x)dx,

Графік парної функції симетричний щодо осі Oy.

Графік непарної функції симетричний щодо точки A(0; 0)

Розділ 12. РЯДИ

Комплексна форма ряду Фур’є для T -періодичної функції f,

2 :

f (x)

cnein 1x ,

T 2

f (x)e in 1xdx,n

T 2

Алгоритм розвинення функції в

Визначають період розвинення T і

ряд Фур’є*.

основну частоту 1.

Якщо функція задана аналітично,

Записують ряд Фур’є з

будують її графік. Якщо функцію

невизначеними коефіцієнтами

задано графічно, знаходять її

(враховують симетрію графіка

аналітичний вигляд.

y S(x)).

Обґрунтовують можливість

Записують формули для коефіцієнтів

розвинення функції в ряд Фур’є на

ряду Фур’є і обчислюють їх.

вказаному проміжку (перевіряють

Записують відповідь згідно з

умови теореми Діріхле).

Будують графік суми ряду Фур’є

теоремою Діріхле

y S(x) (графічне розвинення).

Частотні спектри періодичних сигналів



Амплітудний частотний спектр

n 0,

періодичного сигналу

дійсний: An

b2,

комплексний: Cn

A0 C0, An 2Cn.

Фазовий частотний спектр

arg cn,n ,

періодичного сигналу

arg z ( ; ]

sinbx

cosbx



cosbx

sinbx

* Щоб розвинути в ряд Фур’є неперіодичну функцію

f (x),[ l;l ], будують її періодичне

продовження з періодом 2l

на всю числову вісь. Побудована періодична функція збігається з

f(x) в інтервалі ( l;l).

Для дійсного сигналу амплітудний спектр є парною функцією, а фазовий — непарною функцією. Періодичні сигнали мають дискретні спектри.

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

13.1. Основні поняття про функції комплексної змінної

Область. Зв’язну відкриту множину	Область називають однозв’язною,
точок комплексної площини	якщо її межа є зв’язною множиною,
називають областю.	інакше область називають
	багатозв’язною.
Відкритий круг радіусом R з			z z0		R
Відкритий круг радіусом R з			z z0		R
центром у точці z0
Межа множини. Точку z	Сукупність межових точок множини
називають межовою точкою множини	називають межею множини D і
D, якщо будь-який її окіл містить як	позначають D.
точки, які належать множині D, так і
точки, які їй не належать.
Комплексна функція. Якщо	y		Cz		v	Cw
кожному комплексному числу z, що						Cw
кожному комплексному числу z, що		D			E
належить області D, відповідає одне		D		f	E
належить області D, відповідає одне		z			w
або кілька комплексних чисел w E,		z			w
або кілька комплексних чисел w E,
то кажуть, що в області D означено	O			x	O	u
комплексну функцію		u(x,y) Re f (z),
w f (z) u(x, y) iv(x, y),		v(x,y) Im f(z)
w E, z x iy D		v(x,y) Im f(z)
w E, z x iy D
Якщо кожному z відповідає одне значення w, то функцію називають
однозначною, інакше — багатозначною.
Границя функції. Комплексне	Неперервність функції. Нехай
число A називають границею функції	функція w f(z) означена в точці
w f(z) в точці z0 (коли z z0 ),	z z0 і в деякому її околі. Функцію
якщо для будь-якого -околу точки A	w f(z) називають неперервною в
можна вказати проколений -окіл	w f(z) називають неперервною в
можна вказати проколений -окіл	точці z0	, якщо lim f (z) f (z0 ).
точки z0 , такий що, коли	точці z0	, якщо lim f (z) f (z0 ).
точки z0 , такий що, коли				z z0
z U (z0 ) \ {z0}, то f (z) U (A) і	Функція f (z) неперервна в області D,
позначають lim f (z) A.	якщо вона неперервна в кожній точці
z z0	цієї області.

Границя lim f (z) не залежить від способу прямування точки z до точки z0.

z z0

Теореми про арифметичні дії над границями правдиві і для функцій комплексної змінної.

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

13.2. Основні елементарні функції комплексної змінної

Показникова функція

ez ex (cos y i sin y)

Тригонометричні функції

 cos z eiz e iz

;

 tg z sin z ;

cos z

 sin z eiz e iz

;

 ctg z cos z

sin z

Гіперболічні функції

 ch z ez e z

;

 th z sh z ;

ch z

 sh z ez e z

;

 cth z ch z

sh z

Логарифмічна функція*

Ln z ln

i Arg z

Arg z arg z 2 ki,

arg z ( ; ], k

Головне значення логарифма

ln z ln

i arg z

Узагальнені показникова

az ez Ln a,a 0,

e Ln z

і степенева функції

Арксинус

Arcsin z i Ln(iz

1 z2 )

Арккосинус

Arccos z i Ln(z

z2 1)

Арктангенс

Arctg z

i z

Арккотангенс

Arcctg z

z i

Ареасинус

Arsh z Ln(z

z2 1)

Ареакосинус

Arch z Ln(z

z2 1)

Ареатангенс

Arth z 1 Ln 1 z

1 z

Ареакотангенс

Arcth z 1 Ln z 1

z 1

* Областю означення логарифмічної функції є \ {0}.

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc