PraktykumRiady

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

21

13.3. Властивості основних елементарних функцій

Властивості показникової функції



ez

ex , Arg ez y 2 k;

ez 2 ki ez , k ;

e2 i 1,e i 1,e i 2 i

Властивості логарифмічної функції

 Re Ln z ln

z

, Im Ln z Arg z;

 Ln 1 2 ki, k

Властивості тригонометричних функцій

 Re sin z sin x ch y,

 cos(z 2 k) cos z;

Im sin z cos x sh y;

 sin(z 2 k) sin z;

k

 Re cos z cos x ch y,

 tg(z k) tg z;

Im cos z sin x sh y;

 ctg(z k) ctg z

Властивості гіперболічних функцій

 Re sh z sh x cos y,

 ch(z 2 ki) ch z;

Im sh z ch x sin y;

 sh(z 2 ki) sh z;

k

 Re ch z ch x cos y,

 th(z ki) th z

;

Im ch z sh x sin y;

 cth(z ki) cth z

Співвідношення між тригонометричними і гіперболічними функціями

 cos iz ch z, ch iz cos z;

 tg iz i th z, th iz

i tg z;

 sin iz i sh z, sh iz i sin z;

 ctg iz i cth z, cth iz i ctg z

Похідна функції f (z) в точці z

0

f (z

0

) lim

f(z) f(z0 )

z z

z z0

0

то функцію f (z) називають

Диференційовність функції. Якщо існує f (z0),

диференційовною в точці z0.

Критерій диференційовності.

справджують умови Коші — Рімана

Функція

u

v

w f(z) u(x,y) iv(x,y)

;

x

y

диференційовна в точці z x iy,

u

v

тоді й лише тоді, коли функції u(x,y)

y

x

Формули для похідної функції

f (z) u

iv

v

iu

x

x

y

y

Аналітичність функції. Функцію

Однозначну функцію, диференційовну

w f(z) називають аналітичною в

в кожній точці області D, називають

точці z0 , якщо вона диференційовна

аналітичною в цій області.

як у точці z0 , так і в деякому околі цієї

точки.

Правильна і особлива точка

Властивості аналітичних

функції. Точку в якій функція

функцій. Якщо функції f1(z) та f2(z)

аналітична називають правильною

аналітичні в області D, то їхні

точкою функції.

алгебрична сума f1(z) f2(z) і

Якщо функція аналітична у

проколеному околі точки, а в самій

добуток f1(z)f2(z)також аналітичні в

точці не аналітична або не визначена,

f1(z)

то таку точку називають особливою

цій області, а частка

аналітична в

точкою функції.

f2(z)

Однозначні елементарні функції

області D, за винятком тих точок, у

комплексної змінної аналітичні скрізь,

яких знаменник дорівнює нулеві.

де вони означені.

Гармонічність функції f(x,y)

f

2

f

2

f 0

x2

y2

Необхідна умова аналітичності

функції. Дійсна та уявна частина

u 0,

аналітичної функції

v 0

w f (z) u(x, y) iv(x, y)

є гармонічними функціями.

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

23

13.5. Інтегрування функцій комплексної змінної

Інтеграл від неперервної

n

однозначної функції комплексної

f (z)dz

lim

f( k ) zk

змінної f (z) уздовж кусково-гладкої

L

max

zk

0 k 1

(n )

дуги L

Зв’язок інтеграла від функції

f (z)dz

комплексної змінної з криволінійним

L

інтегралом 2-го роду

[u(x, y) iv(x, y)](dx idy)

L

Зв’язок інтеграла від функції

L : s s(t) x(t) iy(t), t [t1;t2 ] :

комплексної змінної з визначеним

t2

інтегралом

f (z)dz f (s(t))s (t)dt

L

t1

Теорема Коші для однозв’язної

Теорема Коші для багатозв’язної

області. Якщо функція f (z) аналітична

області. Якщо функція f (z) аналітична

в однозв’язній області D, то

у скінченній замкненій області D,

f (z)dz 0,

обмеженій кусково-гладкими контурами

L0, L1, ..., Ln, то

L

де L — довільний кусково-гладкий

n

замкнений контур, що лежить в

f (z)dz f(z)dz,

області D.

L0

k 1 Lk

де всі контури обходять проти

годинникової стрілки.

Формула Коші для аналітичної

1

f(z)

функції f (z) (точка z0 лежить

f (z0 )

dz

2 i

z z

0

усередині контуру L )

L

Формула Коші для похідної f (n)(z)

f (n)(z0 )

n !

f (z)

dz

2 i

n 1

(точкаz0 лежить усередині контуру

L

(z z0 )

L), n

Теорема Ньютона — Лейбніца.

f(z)dz F(z2 ) F(z1),

Якщо дуга L, з початком у точці z1 і

L

кінцем у точці z2, лежить в області

де F(z) — первісна для функції f (z),

аналітичності D функції f (z), то

тобто

правдива формула Ньютона —

F (z) f (z), z D

Лейбніца:

Параметричні рівняння кола

z z0

Re

it

, t

[0; 2 ]

радіусом R з центром у точці z0

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

25

Тип особливої

Границя функції

Головна частина ряду Лорана

точки

в точці z0

Усувна

lim f (z) C

відсутня

z z0

Полюс

lim f(z)

містить скінченну кількість доданків:

порядку m

z z0

c m

...

c 1

,c

0

(z z )m

z z

0

m

0

головна частина

Істотно

lim f (z)

містить нескінченну кількість

особлива точка

z z0

доданків:

c n

z )n

n 1 (z

0

головна частина

Точка

z0

є

полюсом порядку m для функції

f (z),

якщо

для

функції

g(z)

1

точка z0 є нулем порядку m.

f(z)

Характер нескінченно віддаленої особливої точки z функції f (z)

визначають, досліджуючи точку 0

1

функції ( ) f

.

z