Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PraktykumRiady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2. Числові ряди з додатними членами

an sin 4n 0.

[Крок 2. Вибираємо пробний ряд із загальним членом bn , про збіжність (розбіжність) якого відомо або який легше досліджувати. Обґрунтовуємо правильність

вибору, досліджуючи lim an або використовуючи еквівалентності для вибору bn .]

n bn

[A .1.3]

sin

b , n .

оскільки

0,n

Або:

[A.1.3]

lim sin

lim

1 {0, }.

Ряд n 1 bn збігається

як геометричний

зі

знаменником

0 q

[12.2.5.]

[Крок 3. Висновуємо.]

За другою ознакою порівняння зі збіжності ряду n 1 bn випливає збіжність ряду n 1 an .

2.2.2. Дослідити на збіжність ряд

за другою ознакою

n 1

порівняння.

n 1

Розв’язання. [12.2.2.]

1. an

n 1 n 1

n 1

домножуємо і ділимо

n 1

вираз на спряжений

2. За пробний ряд вибираємо ряд із загальним членом b

. Справді,

[1.0.1.]

2 n

lim

1 {0, }.

n n

n 1

n n 1

n 1

Ряд

n 1 bn

розбігається

як

узагальнений гармонічний

з показником

1 1 [12.2.5.]

3. За другою ознакою порівняння з розбіжності ряду n 1 bn випливає розбіж-

ність ряду n 1 an .

42	Модуль 1. РЯДИ

2.3.1.

Дослідити на збіжність ряд n tg

за д’Аламберовою ознакою.

3n 1

Розв’язання. [12.2.6.]

n 1

[Крок 1. Записуємо n -й член ряду an

і (n 1)-й член ряду an 1.]

a n tg

0, a

(n 1) tg

3n 1

n 1

3n 2

[Крок 2. Знаходимо

lim

an 1

(n 1) tg

[A .1.3]

lim

3n 2

lim

3n 2

n tg

n 1

[Крок 3. Висновуємо.]

Ряд n 1 an збігається за д’Аламберовою ознакою.

2.3.2.

Дослідити на збіжність ряд

(n 1)!

за д’Аламберовою ознакою.

n 3

Розв’язання. [12.2.6.]

n 1

2n(n 1)!

0,a

2n 1(n 2)!

n 3

n 1

n 4

lim

2n 1(n 2)!

2n (n 1)!

n 4

n 3

lim

2n 1(n 2)(n 1)!(n 3)

lim 2(n 2) 1.

2n(n 1)!(n 4)

3. Ряд n 1 an розбігається за д’Аламберовою ознакою.

n 1 n2

2.4.1.

Дослідити на збіжність ряд

за радикальною ознакою

n 1

Коші.

Розв’язання. [12.2.7.]

[Крок 1. Записуємо загальний член ряду an. ]

							n2
				1
				1		n 1		0.
			an					0.
				n
				2	n
[Крок 2. Знаходимо
[Крок 2. Знаходимо	lim	n a .]
	n		n
	n

2. Числові ряди з додатними членами

		1	n 1	n2
		1	n 1
	n
lim		2
n		2	n
n		n

	1	n 1	n [A .1.1] e
lim					1.
lim	2			2	1.
n	2	n		2
n

[Крок 3. Висновуємо.]

Ряд розбігається за радикальною ознакою Коші.

													1
2.4.2.			Дослідити на збіжність ряд										1	за радикальною ознакою Коші.

												n
											n 1 ln		(n 1)
Розв’язання. [12.2.7.]
1.	an				1		0.

				lnn (n
				lnn (n		1)
2.						1					lim		1	0	1.
	n a	n				1		; lim	n a				1


					ln(n 1)			n		n	n ln(n 1)
					ln(n 1)			n			n ln(n 1)
3.	Ряд збігається за радикальною ознакою Коші.

2.5.Дослідити на збіжність ряд n ln2 n за інтегральною ознакою Коші.n 2

Розв’язання. [12.2.8.]

[Крок 1. Записуємо загальний член ряду an. ]

an n ln2 n 0.

[Крок 2. Будуємо функцію f (x) і перевіряємо її неперервність і монотонність.]

an f(n), n 2, 3, ... f (x)

x ln2

замінюємо n на x

Функція f (x) — неперервна, спадна для x 2.

[Крок 3. Досліджуємо f (x)dx

на збіжність.]

lim

x ln

ln x

досліджуємо невластивий

інтеграл на збіжність

за означенням

lim

ln 2

ln A

Інтеграл збігається.

[Крок 4. Висновуємо.]

Ряд збігається за інтегральною ознакою Коші.

44	Модуль 1. РЯДИ

		1
2.6. Дослідити на збіжність ряд		1	за допомогою інтегра-

		(n 1)ln(n 2)
		(n 1)ln(n 2)
льної ознаки Коші.	n 2
льної ознаки Коші.
Розв’язання. [12.2.2, 12.2.8.]

[Застосовуємо другу ознаку порівняння, що дає можливість ефективно використати інтегральну ознаку Коші.]

1. an (n 1) ln(n 2) .

2. Застосовуємо другу ознаку порівняння [12.2.2]. Оскільки,



(n 1) ln(n 2)

(n 2) ln(n 2)

n ,

то ряди n 2 an

та n 2 bn одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

3. Застосовуємо інтегральну ознаку Коші до ряду n 2 bn :

f (n), n 2, 3, ... f (x)

(x 2) ln(x

Функція f (x) — неперервна, спадна для x 2.

lim

(x 2) ln(x 2)

2) ln(x 2)

lim

ln(x 2)

lim (ln ln(A 2) ln ln 4) .

Інтеграл розбігається.

4.	Ряд n 2 bn	розбігається за інтегральною ознакою Коші.
5.		розбігається за другою ознакою порівняння.
5.	Ряд n 2 an	розбігається за другою ознакою порівняння.

Коментар. Застосування інтегральної ознаки Коші відразу ускладнено тим, що невластивий інтеграл не можна було б дослідити на збіжність за означенням (первісна від підінтегральної функції не виражається через елементарні функції).

Еквівалентність a	n	b ,n означає, що			lim	an	1.
Еквівалентність a		b ,n означає, що			lim		1.
		n			n bn
					n bn
2.7. Довести рівність lim			nn	0.
2.7. Довести рівність lim				0.
		n (2n)!

Розв’язання. [12.1.3.]

1. Загальний член досліджуваної послідовності a (2n)! розгляньмо як зага-

льний член ряду n 1 an .

2. Числові ряди з додатними членами

2. Для дослідження ряду

на збіжність застосуймо д’Аламберову озна-

(2n)!

ку [12.2.6].

n 1

(n 1)n 1

(2n)!

n 1

(2n 2)!

lim

(n 1)n 1

lim

(n 1)n 1(2n) !

(2n)!

n (2n 2)!

nn(2n 2)!

(n 1)n 1(2n) !

(n 1)n

lim

0 1.

n nn(2n 1)(2n 2)(2n) !

n nn 2(2n

n 2(2n 1)

3. За д’Аламберовою ознакою ряд

збіжний, отже, за необхідною озна-

(2n)!

кою збіжності ряду [12.1.3] маємо

n 1

lim

n (2n)!

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

2.8.Дослідіть на збіжність ряд за першою ознакою порівняння:

1)	arctg n 1
1)							n2				;
	n 1						n2
				1						2		n
				1						2		( 1)
3)

							sin					6	;
		3				2						6
	n 1	3			n	2
	n 1				n
					3n
5)					3n				;
			sin 9n

	n 1
				1								n	n
7)				1					arccos			( 1)	n	;
7)				2					arccos			n 2		;
	n 1 n							1				n 2

;

n 1

;

(ln n)ln n

n 2

sin3

;

n 1

ln n 1 .

n 1

4 n5

2.9.Дослідіть на збіжність ряд за другою ознакою порівняння:

	2 n			n3 3n2 2
1)		;	2)		;

n 1 n2 3			n 1	2n 5 n5

46	Модуль 1. РЯДИ

3) n ln n2

4) arctg4

;

n 1

n2 3

n 1

3 n

n2 2 n3

cos

;

n 1

;

8) 3n 2;

n 1 2

n 1 4

9) n e1 n

1 2

;

10) n3 tg5

n 1

2.10. Дослідіть на збіжність ряд за д’Аламберовою ознакою:

3 ;

;

2) n

n 1 n

n 1 3

(n !)2

;

n !

n 1

(2n)!

;

n !

n 1 2

n 1 3

4n n !

(2n 1)!!

;

n 1

(2n)!!

7 12 ... (5n 3)

n 1

n множників

(3n)!

(n !)2

;

10)

(n !)3 23n

n 1

2.11. Дослідіть на збіжність ряд за радикальною ознакою Коші:

n 1

3n 2

;

n 1

2n 1

;

n 1

5) sinn

;

6) arcsinn

n 1

2. Числові ряди з додатними членами

2.12. Дослідіть на збіжність ряд за інтегральною ознакою Коші:

	1			1
			2)
1)		;			;

n 1	(2n 1)ln(2n 1)		n 2 n	ln(n 1)

ln n

;

n 3 n ln n ln ln n

n 2

ln2 n

2.13. Доведіть рівність:

lim

(n !)n

n (n !)2

n nn2

2.14. Дослідіть на збіжність ряд:

arcsin

;

n 1

ln(2n 3)

;

arctg

n 2

n !

2n 1

3n 1

;

n 1

2n 5

ln(1 2n)

7)n 1 n2 n 1;

n ! 3n

;

n 1

(2n 1)!!

arctg

;

n 1

;

(

n2 1)(n

n 1

n 3)

arctg(n 1)

n 1

Відповіді

2.8. 1) збіжний; 2) розбіжний; 3) розбіжний; 4) збіжний; 5) розбіжний; 6) збіжний; 7) збіжний; 8) збіжний.

2.9.1) розбіжний; 2) збіжний; 3) розбіжний; 4) збіжний; 5) збіжний; 6) розбіжний; 7) розбіжний; 8) збіжний; 9) розбіжний; 10) збіжний.

2.10.1) розбіжний; 2) збіжний; 3) збіжний; 4) збіжний; 5) розбіжний; 6) збіжний; 7) розбіжний; 8) збіжний; 9) розбіжний; 10) збіжний.

2.11.1) збіжний; 2) розбіжний; 3) розбіжний; 4) збіжний; 5) збіжний; 6) розбіжний.

2.12.1) розбіжний; 2) розбіжний; 3) розбіжний; 4) збіжний.

2.14. 1) розбіжний; 2) розбіжний; 3) збіжний; 4) збіжний; 5) розбіжний; 6) збіжний; 7) збіжний; 8) збіжний.

48	Модуль 1. РЯДИ

3. Знакозмінні ряди

Навчальні задачі

sin n

3.1.1. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд .

n 1 n2

Розв’язання. [12.3.1, 12.3.2.]

[Крок 1. Досліджуємо знакозмінний ряд n 1 an [12.3.1] на абсолютну збіжність,

[12.3.2.]

Виписуємо загальні члени цих рядів an і

вивчаючи ряд n 1

sin n

;

за першою ознакою порівняння:

Дослідімо ряд n 1

sin n

Ряд

збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником

2 1

n 1 n2

[12.2.5.]

збігається за першою ознакою порівняння.

Ряд n 1

збіга-

[Крок 2. Висновуємо про абсолютну збіжність ряду (якщо ряд n 1

	an	розбігається ).]

ється) або продовжуємо дослідження (якщо ряд n 1

Знакозмінний ряд n 1 an збігається абсолютно. Коментар. «Коротка» гілка алгоритму.

( 1)n 1

3.1.2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд .

n 1 n 7n

Розв’язання. [12.3.6.]

1. an

( 1)n 1

n 7n

n7n

за д’Аламберовою ознакою:

Дослідімо ряд n 1

an 1

;

(n 1)7n 1

lim

an 1

lim

n7n

1)7n 1

n (n

3. Знакозмінні ряди

	an	збігається.

За д’Аламберовою ознакою ряд n 1
2. Ряд n 1 an збігається абсолютно.

( 1)n 1

3.1.3. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд .

n 1 3n

Розв’язання. [12.3.6.]

1. an

( 1)n

( 1)n 1

3 n

Ряд

розбігається як узагальнений

гармонічний з показником

3 n

n 1

[12.2.2.]

2. Дослідімо знакопочережний ряд за Лейбніцовою ознакою [12.3.3.]:

an 1

, n 1, 2...

3 n

3 n 1

lim

n 3 n

( 1)n 1

Ряд збігається за Лейбніцовою ознакою.

n 1 3n

3. [Висновуємо.] Ряд збігається умовно. Коментар. «Довга» гілка алгоритму.

																			( 1)n									1	n2

3.1.4. Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність ряд																							n	1					.
																							n
Розв’язання. [12.3.6.]																			n 1			2						n
Розв’язання. [12.3.6.]
					n2													n2									n2
					n2													n2									n2
		1											1								1					1
	n	1			1							n	1					1			1					1
1. an ( 1)				1	,		an			( 1)						1							1				.
			n											n							n				n
		2			n							2						n		2					n
	an		розбігається за радикальною ознакою Коші (зад. 2.4.1).

Ряд n 1
2. З розбіжності за ознакою Коші випливає, що
																	n2
											1				1
											1				1
					lim	a		lim				1						0.
					lim	a		lim			2	1				n		0.
											2					n
					n	n			n n

Необхідна ознака збіжності ряду [12.1.3] не виконана. 3. Заданий ряд розбіжний.

50	Модуль 1. РЯДИ

3.1.5.

Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність ряд cosn i sin n.

Розв’язання. [12.3.8.]

n 1

[Крок 1.

Досліджуємо ряд n 1 zn

на абсолютну збіжність, вивчаючи ряд

. Виписуємо zn і

n 1

cosn i sin n .

cos2 n sin2 n

a2 b2

2 1

Ряд

збігається як

узагальнений гармонічний ряд з показником

n 1 n2

[12.1.5.]

збіга-

[Крок 2. Висновуємо про абсолютну збіжність ряду (якщо ряд n 1

розбігається).]

ється) або продовжуємо дослідження (якщо ряд n 1

Ряд cosn i sin n

збігається абсолютно.

n 1

2 in

3.1.6. Дослідити на збіжність ряд .

n 1 4n2 1

Розв’язання. [12.3.8.]

[Крок 1. Досліджуємо ряд n 1 zn,

zn an

ibn, на збіжність, вивчаючи ря-

ди n 1an , n 1bn [12.3.8.] Виписуємо zn,an,bn.]

2 in

;

4n2 1

,bn

4n2 1

[Досліджуємо ряд n 1an .]

Дослідімо ряд n 1 an за другою ознакою порівняння:

,n .

4n2 1

2 n2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018687.1 Кб6praktichni_roboti_po_visual_basic.doc
#
12.05.20153.46 Mб60Praktikum2_TBиМС.doc
#
12.05.20153.41 Mб13PraktykumD+ICh.pdf
#
12.05.20154.04 Mб26PraktykumLA+AG.pdf
#
12.05.20153.98 Mб47PraktykumLAAG.pdf
#
17.03.20163.49 Mб20PraktykumRiady.pdf
#
19.11.2018693.25 Кб9Prakt_BZhD_2011_2012.doc
#
23.11.2019120.32 Кб1prakt_rab_po_tekhnologiam.doc
#
17.11.20184.35 Mб2Prakt_rab_Shlaki_16.doc
#
17.03.20165.28 Mб10Processing 2 Creative Coding Hotshot.pdf
#
13.08.20191.93 Mб3PROEKTIROVANIE_TEATROV.doc