Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

1 / 251 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ПРАКТИКУМ

Київ — 2013

Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум. (І курс І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К:

НТУУ «КПІ», 2013. — 252 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (протокол № 5 від 22.01.2009)

Навчальне видання

Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної

Практикум

для студентів І курсу технічних спеціальностей

Укладачі:	Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
	Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Відповідальний	О. І. Клесов, д-р фіз.-мат. наук, професор
редактор
Рецензенти:	С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
	В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Зміст
Передмова.................................................................................................................	6
Розділ 4. МНОЖИНИ ............................................................................................	7
4.1. Висловлювання..............................................................................................	7
4.2. Квантори ........................................................................................................	7
4.3. Теореми..........................................................................................................	8
4.4. Множини........................................................................................................	8
4.5. Властивості дій над множинами і висловлюваннями ...............................	10
4.6. Числові множини.........................................................................................	11
4.7. Відображення множин ................................................................................	12
4.8. Потужність множин ....................................................................................	13
4.9. Дії з числами. Дроби ...................................................................................	14
4.10. Відсотки. Пропорції ..................................................................................	15
4.11. Подільність натуральних чисел ................................................................	16
4.12. Деякі спеціальні нерівності.......................................................................	17
4.13. Числова вісь...............................................................................................	18
4.14. Числові проміжки......................................................................................	19
4.15. Елементи комбінаторики ..........................................................................	20
4.16. Біноміальна формула Ньютона.................................................................	21
4.17. Обмежені множини ...................................................................................	22
4.18. Точкові множини.......................................................................................	22
Розділ 5. ФУНКЦІЇ...............................................................................................	23
5.1. Функція однієї змінної ................................................................................	23
5.2. Основні характеристики функції................................................................	24
5.3. Степенева функція.......................................................................................	26
5.4. Стала, лінійна і дробово-лінійна функції...................................................	29
5.5. Квадратична функція ..................................................................................	30
5.6. Многочлени .................................................................................................	31
5.7. Показникова і логарифмічна функції.........................................................	32
5.8. Тригонометричні функції ...........................................................................	34
5.9. Обернені тригонометричні функції............................................................	36
5.10. Властивості тригонометричних................................................................	38
і обернених тригонометричних функцій ..........................................................	38
5.11. Основні тригонометричні рівняння..........................................................	40
5.12. Гіперболічні функції .................................................................................	42
5.13. Класифікація функцій ...............................................................................	44
5.14. Функція модуль .........................................................................................	45
5.15. Геометричні перетворення графіків функцій ..........................................	46

Зміст

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ ..........................................................................	48
6.1. Числові послідовності.................................................................................	48
6.2. Границя послідовності ................................................................................	49
6.3. Границя функції ..........................................................................................	50
6.4. Нескінченно малі і нескінченно великі функції ........................................	51
6.5. Деякі важливі границі функцій...................................................................	52
6.6. Порівняння нескінченно малих функцій ...................................................	53
6.7. Визначні границі .........................................................................................	54
6.8. Таблиця еквівалентностей ..........................................................................	54
6.9. Неперервність функції в точці....................................................................	55
6.10. Неперервність функції на відрізку ...........................................................	56
6.11. Точки розриву функції ..............................................................................	57
6.12. Метод інтервалів .......................................................................................	58
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ...........................................................................	59
7.1. Похідна і диференціал функції...................................................................	59
7.2. Правила диференціювання .........................................................................	60
7.3. Формули диференціювання ........................................................................	60
7.4. Формули для похідних вищих порядків ....................................................	61
7.5. Геометричний зміст похідної і диференціала............................................	62
7.6. Основні теореми диференціального числення ..........................................	63
7.7. Тейлорова формула .....................................................................................	64
7.8. Асимптоти. Екстремуми. Точки перегину.................................................	65
7.9. Дослідження функції на монотонність і точки екстремуму .....................	66
7.10. Дослідження функції на напрям опуклості і точки перегину.................	67
7.11. Схеми дослідження функції......................................................................	68
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ...........................................................................	69
8.1. Первісна. Невизначений інтеграл...............................................................	69
8.2. Основні формули інтегрування ..................................................................	70
8.3. Основні методи інтегрування .....................................................................	70
8.4. Інтегрування дробово-раціональних виразів .............................................	72
8.5. Інтегрування тригонометричних виразів ...................................................	74
8.6. Інтегрування ірраціональних виразів.........................................................	75
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ....................................	77
1. Множини. Функції .........................................................................................	77
2. Границя послідовності...................................................................................	84
3. Границя функції .............................................................................................	92
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції.......................................	100
5. Неперервність функції. Точки розриву функції .........................................	107

		Зміст	5
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ..............................................................................................			115
6.	Похідна. Техніка диференціювання ............................................................		115
7.	Застосування похідної..................................................................................		126
8.	Похідні вищих порядків...............................................................................		131
9.	Правило Бернуллі — Лопіталя ....................................................................		134
10.		Тейлорова формула ....................................................................................	139
11.		Дослідження функцій за допомогою похідних.........................................	144
12.		Побудова графіків функцій........................................................................	150

Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ. 159


13.		Інтегрування внесенням під знак диференціала.......................................	159
14.		Методи замінювання змінної і інтегрування частинами..........................	167
15.		Інтегрування дробово-раціональних функцій ..........................................	173
16.		Інтегрування тригонометричних виразів ..................................................	182
17.		Інтегрування ірраціональних виразів........................................................	186
Додаток. Грецька абетка .....................................................................................			192
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС
ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ................................................................			193
1.	Дії з числами.................................................................................................		193
2.	Модуль..........................................................................................................		197
3.	Факторіали. Біноміальні коефіцієнти..........................................................		201
4.	Прогресії .......................................................................................................		203
5.	Лінійна функція............................................................................................		207
6.	Квадратична функція ...................................................................................		209
7.	Многочлени ..................................................................................................		215
8.	Степенева функція .......................................................................................		216
9.	Показникова та логарифмічна функції .......................................................		224
10.		Тригонометричні та обернені тригонометричні функції .........................	231
11.		Парність, непарність, періодичність функцій...........................................	246
Список використаної і рекомендованої літератури ...........................................			249

Передмова

Практикум з вищої математики «Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань, збірник контрольних та тестових завдань.

Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:

—множини;

—границя функції і неперервність;

—похідна й диференціал;

—техніка диференціювання;

—правило Бернуллі — Лопіталя і формула Тейлора;

—повне дослідження функцій та побудова їхніх графіків;

—первісна й інтеграл;

—основні методи інтегрування;

—інтегрування деяких класів функцій.

Упрактикум включено також основні теми адаптаційного курсу з елементарної математики.

Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдання з відповідями.

Метою практикуму є:

допомогти опанувати студентам основ математичного аналізу;

розвинути логічне та аналітичне мислення;

виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач.

Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення, передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендованої літератури.

У практичній частині використано такі позначення:

[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій уміщено теоретичний факт або формулу, таблиці A.B. з теми А;

,,,... — посилання у навчальній задачі на коментар, який уміщено після її розв’язання.

Розділ 4. МНОЖИНИ

4.1. Висловлювання

Висловлювання. Під										Істинному висловлюванню p
висловлюванням p розуміють										приписують значення p 1, а
твердження, про яке можна сказати,										хибному — значення p 0.
істинне воно чи хибне.
Дії з висловлюваннями

Заперечення висловлювання p													p	(«не p »)
Диз’юнкція висловлювань p та q												p q (« p або q »)

Кон’юнкція висловлювань p та q												p q (« p і q »)

Імплікація висловлювань p та q												p q («якщо p, то q »)

Еквіваленція висловлювань p та q										p q (« p тоді й лише тоді, коли q »)

Таблиця істинності дій над висловлюваннями

	p	q	p	p q	p q	p q		p q			p	p;
										 p 0 p;					 p 0 0;
	0	0	1	0	0		1		1	 p 0 p;					 p 0 0;
	0	0	1	0	0		1		1	 p 1 1;					 p 1 p;

	0	1	1	1	0		1		0
	0	1	1	1	0		1		0	 p p p;					 p p p;

	1	0	0	1	0		0		0
	1	0	0	1	0		0		0	 p p 1;					 p p 0

	1	1	0	1	1		1		1
	1	1	0	1	1		1		1

4.2. Квантори

Квантор існування			(«існує», «знайдеться»)

x : A(x) («існує x такий, що виконано A(x)»)
! («існує єдиний»)
Квантор загальності			(«для будь-якого», «для всіх»)

x : A(x) («для будь-якого x виконано A(x)»)

Правила заперечення кванторів	1)	x : A(x) x : A(x);
	1)	x : A(x) x : A(x);

				(x)
	2) x : A(x) x : A			(x)

Розділ 4. МНОЖИНИ

4.3. Теореми

Типи теорем і логічний квадрат

 P Q — пряма;

P Q обернена

Q P

Q P — обернена;

 P

Q — протилежна;

— протилежна оберненій

Q

(P Q) Q

)

(Q P) (P

Q обернена

Q P

Необхідна і достатня умови

Правдива теорема P Q

P — достатня умова для Q;

Q — необхідна умова для P

Правдивий критерій P Q

P — необхідна і достатня умова для Q;

(правдиві теореми P Q і Q P)

Q — необхідна і достатня умова для P

Методи доведення

Схема доведення методом

теореми P Q.

математичної індукції.

Прямий.

Перевіряють правдивість

P T1 .... Tn

твердження P(n) для n 1.

Припускаючи правдивість

Непрямий (від супротивного)

твердження P(k), доводять

Q T1 .... Tn

твердження P(k 1).

Метод математичної індукції.

На підставі принципу математичної

індукції висновують правдивість

твердження P(n) n .

4.4. Множини

Множина. Під множиною

Об’єкти, які утворюють множину

розуміють сукупність об’єктів

називають елементами множини.

довільної природи, об’єднаних за

якою-небудь ознакою.

 x належить множині A

x A

(x є елементом A)

 x не належить множині A

x A

(x не є елементом A)

універсальна множина

порожня множина

(не містить жодного елемента)

Розділ 4. МНОЖИНИ

Способи задавання множин:

переліком своїх елементів

A {a1,a2, ...,an};

характерною властивістю

A {x | P(x)} — множина всіх x, які

мають властивість P(x)

Включення множин.

 A A;

A B x A x B

 A;

A є підмножиною B

 A U

(Дії з множинами унаочнюють за

допомогою діаграм Ейлера — Вена)

Рівність множин.

x A x

A B,

A B

x B x

B A

Об’єднання (сума) множин.

 A A A;

A B {x | x A або x B}

 A A;

 A U U

Переріз (добуток) множин.

 A A A;

A B {x | x A і x B}

 A ;

 A U A

Різниця множин.

 A \ A ;

A \ B {x | x A і x B}

 A \ A;

 A \ U

Доповнення множини.

 A A

A U \ A

;

 A A

 A \ A A;

 A

Симетрична різниця множин.

 A A ;

A B (A \ B) (B \ A)

 A A;

 A U A

Декартів добуток множин

A B {(a,b) | a A, b B},

An A A ... A

n разів

Розділ 4. МНОЖИНИ

4.5. Властивості дій над множинами і висловлюваннями

Комутативність:

об’єднання

A B B A

диз’юнкції

p q q p

перерізу

A B B A

кон’юнкції

p q q p

Асоціативність:

об’єднання

A (B C) (A B) C

диз’юнкції

p (q r) (p q) r

перерізу

A (B C) (A B) C

кон’юнкції

p (q r) (p q) r

Дистрибутивність:

об’єднання щодо перерізу

A (B C ) (A B) (A C)

диз’юнкції щодо кон’юнкції

p (q r) (p q) (p r)

перерізу щодо об’єднання

A (B C ) (A B) (A C)

кон’юнкції щодо диз’юнкції

p (q r) (p q) (p r)

Закони де Моргана для:

об’єднання

A B A B

перерізу

A B A B

диз’юнкції ( — стрілка Пірса)

p q p q p q

кон’юнкції (| — штрих Шефера)

p q p q p | q

імплікації

p q p q p q

еквіваленції ( — виключне або)

p q (p

) (p q) p q

Закони поглинання



A (A B) A



A (A B) A



p (p q) p



p (p q) p

Закони склеювання



(A B) (A B

) A



(p q) (p

) p

1 / 251 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc