Практикум 2

Розділ 4. МНОЖИНИ

21

4.16. Біноміальна формула Ньютона

Сума n доданків a1,a2,...,an

n

ak

a1 a2

... an

k 1

Біноміальна формула Ньютона.

n

(a b)n

an Cn1an 1b Cn2an 2b2

... Cnn 1abn 1

bn Cnkan kbk

k 0

Біноміальний коефіцієнт

k

Cn

Паскалів трикутник

(a b)0 1

C00

1

(a b)1 a b

C10 C11

1 1

(a b)2 a2 2ab b2

C20 C21 C22

1 2 1

3

3

2

2

b

3

C

0

C

1

C

2

C3

1 3 3 1

(a b) a

3a b 3ab

3

3

3

3

1

4

6

4

1

(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

0

C

1

2

3

4

C4

4

C4

C4

C4

Формули скороченого множення

квадрат суми

(a b)2

a2 2ab b2

квадрат різниці

(a b)2

a2 2ab b2

різниця квадратів

a2 b2

(a b)(a b)

куб суми

(a b)3

a3 3a2b 3ab2 b3

куб різниці

(a b)3

a3 3a2b 3ab2

b3

сума кубів

a3 b3

(a b)(a2

ab b2 )

різниця кубів

a3 b3

(a b)(a2

ab b2 )

an bn

(a b)(an 1

an 2b an 3b2

... a2bn 3 abn 2 bn 1)

Формули перетворення ірраціональностей

a b



3

3

a b

 a b

a

b

;

a b ;

3 a2 3

3 b2

ab



a

b

 3

3

a b

a

b

;

a

b

a

3 a2 3

3 b2

b

ab

22

Розділ 4. МНОЖИНИ

4.17. Обмежені множини

Обмежені множини

Множину A називають

 Множину A називають

обмеженою зверху, якщо

обмеженою знизу, якщо

M : x A x M.

m : x A x m.

M — верхня межа множини A.

m — нижня межа множини A.

 Множину A називають

C 0 : x A

x

C.

обмеженою, якщо вона обмежена

зверху і знизу.

Точні межі множини

Число M є точною верхньою

Число m є точною нижньою

межею множини A , якщо:

межею множини A , якщо:

1) x A : x M;

1) x A : x m;

2) 0 x0 A : x0 M .

2) 0 x0 A : x0 m .

Позначають M sup A

Позначають m inf A

Існування точних меж. Будь-яка

Для необмеженої зверху множини

обмежена зверху непорожня множина

вважають, що sup A .

дійсних чисел має точну верхню межу,

Для необмеженої знизу множини A

а будь-яка обмежена знизу — точну

вважають, що inf A .

нижню межу.

4.18. Точкові множини

Внутрішня точка. Точку M D

Відкрита множина. Множину D,

називають внутрішньою точкою

кожна точка якої є внутрішньою,

множини D, якщо існує такий окіл

називають відкритою.

точки M, який повністю міститься в

множині D.

Межа множини. Точку M

Межа множини. Множина всіх

називають межовою точкою множини

межових точок множини D утворює її

D, якщо будь-який її окіл містить як

межу D.

точки, які належать D,

так і точки, які

їй не належать.

Гранична точка. Точку M

,

Замкнена множина. Множину D

називають граничною точкою

яка містить усі свої межові точки,

множини D, якщо кожен її окіл

називають замкненою.

містить нескінченну кількість точок

D D.

D

множини D.

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

5.1. Функція однієї змінної

Функція f (x), x X

x

f

f(x)

Графік функції f (x), x X.

y

y f(x)

{M(x;y) | x X, y f(x)},

Y

X Y

f(x)

Рівність функцій

O

X

x

x

1) X1

X2;

f1(x), x X1 і f2(x), x X2

2) x X1 : f1(x) f2(x)

Сума (різниця ) функцій f (x) та g(x)

(f g)(x) f(x) g(x),

x D(f ) D(g)

Добуток функцій f (x) та g(x)

(fg)(x) f(x)g(x),

x D(f ) D(g)

Частка функцій f (x) та g(x)

f (x)

f

,

(x)

g(x)

g

x D(f ) D(g), g(x) 0

Складена функція f від g

(f g)(x) f(g(x)),

g — внутрішня функція,

x D(g) {x | g(x) D(f )}

f — зовнішня функція

f g

x

g

g(x)

f

f (g(x))

Обернена функція. Нехай функція

x

f

y f (x)

f установлює взаємно однозначну

відповідність між множинами D та E.

x f 1(y)

f 1

y

Оберненою до f функцією називають

y

y

f (x)

y x

функцію f 1 таку, що:

y0

x f 1(y), y E.

x

0

y f

1

(x)

Функцію, яка має обернену, називають

оборотною.

O

x0

y0

x

Графіки взаємно обернених функцій

Якщо функція зростає (спадає) на

симетричні щодо прямої y x.

інтервалі, то вона має обернену

функцію на цьому інтервалі, яка

зростає (спадає).

24

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

5.2. Основні характеристики функції

Нулі і проміжки знакосталості

y

y f (x)

функції.

X {x | f (x) 0};

X0 {x | f (x) 0};

O

x

X {x | f (x) 0}

Парна функція.

y

f (a)

x D(f ) : x D(f ) і f ( x) f (x)

Графік парної функції

симетричний щодо осі Oy.

a

a

x

Непарна функція.

y

f (a)

x D(f ) : x D(f ) і f( x) f (x)

a

O

Графік непарної функції

x

a

симетричний щодо початку координат.

f (a)

Властивості парних і непарних функцій

Зміна знаку перед функцією не

Добуток будь-якої кількості парних

змінює її парності (непарності).

функцій є парною функцією.

Сума парних функцій є парною

Добуток парної функції на непарну

функцією.

є непарною функцією.

Сума непарних функцій є непарною

функцією.

y

Періодична функція з періодом T

T 0 x D(f ) : x T D(f )

f (a)

і f (x T) f (x)

Графік T -періодичної функції

T

O

a

T a T 2T x

складається з повторюваних

фрагментів графіка функції на

проміжку [0;T ].

Якщо функція f (x) періодична з періодом T,

то функція Af(kx b) також є

періодичною з періодом

T .

k

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

25

Монотонні функції

Зростаюча функція на множині X

Спадна функція на множині X

x1, x2 X

:

y

f

x1, x2 X :

y

f

y2

y1

x

1

x

2

x

1

x

2

y1

y2

f(x1) f(x2 )

f(x1) f(x2 )

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

Неспадна функція на множині X

Незростаюча функція на множині X

x1, x2 X

:

y

x1, x2 X :

y

y2

x

1

x

2

x

1

x

2

y1

y1

y2

f(x1) f(x2 )

f(x1) f(x2 )

O

x1

x2 x

O

x1

x2

x

Функції зростаючі, спадні, неспадні і незростаючі на множині X називають

монотонними на цій множині.

Опукла донизу (угнута)

Опукла догори (опукла)

функція на X.

функція на множині X.

x1, x2 X :

y

f

B

x1, x2 X :

y f

B

x1 x2

x1 x2

A

хорда AB

хорда AB

не нижче

A

не вище

за графік y f(x)

O a

x1

x2 b x

за графік y f(x)

O a x1

x2b x

Обмежені функції

Функція обмежена зверху

Функція обмежена знизу

на множині X

на множині X

M :

y

f(x) M

m :

y

m f (x)

x X

M

x X

m

f(x) M

X

m f(x)

X

O

a

b

x

O

a

b

x

Обмежена функція на множині X

y

f (x)

C

C 0 : x X

f(x)

C

C

X

O a

b x

C

26

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

5.3. Степенева функція

Степінь x

x — основа степеня;

— показник степеня

натуральний показник n

x1 x

0n

0;

xn x x x

n

1

1

n разів

нульовий показник

x0

1, x

0