Практикум 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4) y ( 1)[x ].

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5. Неперервність функції. Точки розриву функції

111

		a		b	1			0, 1.
		a		b	1			0, 1.
		1		1		2
Крок 4. Обчислюємо						2
Крок 4. Обчислюємо
			a1 b1			1			1		3 .

x	2						2
x
				2					2			4
Крок 5. Обчислюємо				2					2			4
Крок 5. Обчислюємо
										67
						3				67
	f (x2) f											.
	f (x2) f											.
										256
						4				256
Перевіряємо
						67				13
						67				13
f (x2)f(a1)												0;
f (x2)f(a1)												0;
						256
						256				16

	f (x				)f (b )							67		1 0.
	f (x				)f (b )									1 0.
				2				1			256
Покладаємо											256
Покладаємо
	a		2	x			2			3 ,b b 1.
			2				2			4	2			1
Перевіряємо										4
Перевіряємо
	a	2		b				1 0, 25 0, 1.
	a			b				1 0, 25 0, 1.
						2				4
Крок 6. Обчислюємо										4
Крок 6. Обчислюємо
				x		3			a2	b2			7 ...
				x									7 ...
										2				8
										2				8
Врешті-решт дістанемо: x 0, 81								з точністю 0,1.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.5.Використовуючи лише графік функції f (x), визначте її точки розриву і їхній тип:

1) рис. 1;

2) рис 2.

Рис. 1 до зад. 5.5

Рис. 2 до зад. 5.5

112	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

5.6.Знайдіть точки розриву функції, дослідіть їхній характер, у разі усувного розриву дозначте функцію «за неперервністю». Схематично побудуйте графік функції в околах точок розриву.

1)f (x) x2 1 ;

x3 1

3) f (x) (1 x)n 1, n ;

5) f (x)

3x 5

;

3x 5

7) f (x) (x 1) arctg 1 ;

9) f (x)

;

x2 9

11) f (x) 3

4 x2

;

13) f(x)

;

log

15) f (x) cos

;

2 x

0 x 1,

17) f (x)

4 2x,

1 x 2, 5,

2x 7 2, 5 x 4.

x 3

x 3,

19) f (x)

x 3;

2x 2,

2)f(x) 3x 1 ;

4)f (x) 1 x sin x1 ;

6)f (x) arctg(x 2) ;


		1			1
8)	f (x)	3		x 2		;
		1			1
		3	x 2

10) f (x)	2								;

	1 33 x
	1
12) f (x) e					;
12) f (x) e			sin x		;
14) f (x)		1 ln				1 x ;
	x					1 x
16) f (x) sin							1				;
16) f (x) sin									2		;
				(x					3)
												1
												1
										x			,
	arctg 2x,									x			,
18) f (x)												2
18) f (x)												2
												1
									,	x			;
									,	x			;
						3						2
	2x					3						2

										x 0,
	cos x,									x 0,
						2
20) f (x)						2	,		0	x 1,
20) f (x)	x						,		0	x 1,
							1
							1
								,		x 1.

	sin					x 3
						x 3

5. Неперервність функції. Точки розриву функції

113

5.7.Виберіть значення параметрів так, що функція стала неперервною і побудуйте її графік:

				x 1,
	x 1,			x 1,
1)
1)	f(x)
		3	2	, x 1;
		3	ax	, x 1;



		2 sin x,
		2 sin x,



2)
2)	f(x) A sin x B,

cos x,

5.8.Дослідіть на неперервність функцію і побудуйте її графік:

x2 ,

x2 .

5.9.Розв’яжіть нерівність:

1)	(2x 1)(x 2)3	0;	2)	(x 3)(x 2)3(x 1)	0.
	(x 1)(x 2)2			x(x 3)(x 4)

5.10.Доведіть, що рівняння має розв’язок на вказаному відрізку:

1) x3 3x 1 0, x [ 1; 0]; 2) x5 6x2 3x 7 0, x [0; 2].

Відповіді

5.5.1) функція f (x) має: в точці x 2		розрив 2-го роду, нескінченний; у точці x 1 розрив
1-го роду, усувний; у точці x 4 розрив 1-го роду, неусувний;
2) функція	f (x) має: в точці x 0 розрив 2-го роду, істотний; у точці x 3 розрив 2-го
роду, нескінченний; у точці x 5 розрив 1-го роду, неусувний.
							x 1,
			f (x),				x 1,

5.6. 1) функція f (x) має в точці x 1		розрив 1-го роду, усувний, g(x)			2
5.6. 1) функція f (x) має в точці x 1		розрив 1-го роду, усувний, g(x)			2
						,	x 1;
						,	x 1;
					3
					3
							1,
		f (x), x					1,

2) функція			1
2) функція	f (x) має в точці x 1 розрив 1-го роду, усувний, g(x)		1
				,		x	1;
				,		x	1;
			3
			3

			x 0,
	f (x),		x 0,
3) функція f (x) має в точці x 0
3) функція f (x) має в точці x 0	розрив 1-го роду, усувний, g(x)	n,	x 0;
		n,	x 0;


			x 0,
	f (x),		x 0,
4) функція f (x) має в точці x 0
4) функція f (x) має в точці x 0	розрив 1-го роду, усувний, g(x)	1,	x 0;
		1,	x 0;

114	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

5) функція f (x) має в точці x 5 розрив 1-го роду, неусувний;
	3
6) функція f (x) має в точці x 2 розрив 1-го роду, неусувний;
7) функція f (x) має в точці x 0 розрив 1-го роду, неусувний;
8) функція f (x) має в точці x 2 розрив 1-го роду, неусувний;
9) функція f (x) має в точках x 3 розрив 2-го роду, нескінченний;
10)	функція f (x) має в точці x 3 розрив 2-го роду, нескінченний;
11)	функція f (x) має в точках x 2 розрив 2-го роду, нескінченний;
12)	функція f (x) має в точках x k, k , розрив 2-го роду, нескінченний;
									1,
				f (x), x					1,
13)												а в
13)	функція f (x) має в точці x 1 розрив 1-го роду, усувний, g(x)					0,		x 1,				а в
						0,		x 1,

точках x 2, x 0 — розрив 2-го роду, нескінченний;
точках x 2, x 0 — розрив 2-го роду, нескінченний;
							x	0,
			f (x),				x	0,
14)	функція f (x) має в точці x 0										а в точ-
14)	функція f (x) має в точці x 0		розрив 1-го роду, усувний, g(x)	2,			x		0,		а в точ-
				2,			x		0,


ках x 1 — розрив 2-го роду, нескінченний;
15)	функція f (x) має в точці x 2 розрив 2-го роду, істотний;
16)	функція f (x) має в точці x 3 розрив 2-го роду, істотний;
17)	функція f (x) має в точці x 2, 5 розрив 1-го роду, неусувний;
									1
									1
							x			,
		1	f(x),				x			,
18)	функція f (x) має в точці x	1							2
18)	функція f (x) має в точці x		розрив 1-го роду, усувний, g(x)						2
		2							1
		2			,		x			;
					,		x			;
				4					2
				4					2

19)функція f (x) має в точці x 3 розрив 1-го роду, неусувного;

20)функція f (x) має в точках x 0, x 1 розрив 1-го роду, неусувний, а в точці x 3 —

розрив 2-го роду, істотний.

5.6. 1) x 1 — точка розриву 1-го роду (скінченного); 2) x 3 — точка розриву 2-го роду (нескінченного); 3) x 1 — точка розриву 1-го роду (усувного), x 2, x 0 —

точки розриву 2-го роду (нескінченного); 6) x 12 — точка розриву 1-го роду (усувного).

5.7.1) a 1; 2) A 1, B 1.

5.8.1) x 0 — точка розриву 1-го роду, усувного, x 1 — точки розриву 2-го роду, нескінченного; 2), 4) x — точки розриву 1-го роду, неусувного; 3) x — розриви 2-го

роду, нескінченного.

		1
5.9.		1		x ( ; 3) ( 2; 1) (0; 3) (4; ).
5.9.	1) x ( ; 2) ( 2; 1)		; 2 ; 2)	x ( ; 3) ( 2; 1) (0; 3) (4; ).

	2

Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

6. Похідна. Техніка диференціювання

Навчальні задачі

6.1.Користуючись означенням, знайти похідну функції f (x) 4x2 3x 8

у точці x0. Обчислити f (1).

Розв’язання. [7.1.1.]

f (x0 x) 4(x0 x)2 3(x0 x) 84x02 3x0 8 8x0 x 3 x 4( x)2.

f(x0) f (x0 x) f(x0) 8x0 x 3 x 4( x)2.

f(x0)	8x0 x 3 x 4( x)2				8x	0	3 4 x.
					8x		3 4 x.
x		x
x		x
f (x	) lim (8x		0	3 4 x) 8x			0	3.
0	x 0		0				0
	x 0

		f		(1) 5.

6.2.Знайти похідну функції:

	1) f (x) x4;
	1) f (x) x4;																									2) f (x) x;

	3) f(x) 4							x3			;															4) f (x) 5x3;
																										6) f (x)				5
	5) f(x) 43								x2				;																	5	.
	5) f(x) 43								x2				;																	4x 3	.
Розв’язання. [7.2.1, 7.3.2.]																														4x 3
Розв’язання. [7.2.1, 7.3.2.]
			4			[7.3.2]								3
			4							4x				3	.
1) f (x) (x			)							4x					.
						4
												1 2					[7.3.2]				1		1 2		1
												1 2					[7.3.2]				1		1 2		1
2) f (x) (				x )			(x								)						2	x						.


																	1 2								2		x
		4											3		4			[7.3.2]				3		1 4			3
		4			3								3		4			[7.3.2]				3		1 4			3
3) f (x) (				x		)				(x						)							x						.
3) f (x) (				x		)				(x						)						4	x				4		.
																		3 4				4			4		4	x
Для розв’язання прикладів стануть у пригоді формули:
																				1	x , q					x p q.
																				1					x p
																			x						x p
																			x

116 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Нагадаймо, що сталий множник виносимо за знак похідної [7.2.1].


																(Cu)				Cu .
			3				3			5 3x					2		15x				2	.
4) f (x) (5x			)				5(x	)		5 3x							15x					.
		3							2 3								2		1 3				8
		3	2						2 3								2		1 3				8
5) f (x) (4				x		) 4(x					)	4						x						.
5) f (x) (4				x		) 4(x					)	4						x						.
																	3					3	3 x

			5							5		3							5				4		15
			5							5		3							5				4		15
6)											(x			( 3)x													.

	f (x)												)													4
			4x		3					4									4						4x	4
			4x							4									4						4x

6.3.Знайти похідну функції:

f (x) 3x2 5x 1;

2) f (x) 33

;

2x2

f (x) ex sin x;

4) f (x)

tg x

Розв’язання. [7.2.1–7.2.4, 7.3.]

ln x

1) f (x) (3x

5x 1)

(u v) u v ,(Cu) Cu

3(x2) 5(x) (1) 3 2x 5 1 0 6x 5.

2)[Перед тим, як знаходити похідну, переписуємо функцію у вигляді, зручному для диференціювання.]


						3				2	1							1 3					1	1
						3				2	1							1 3					1	1	2
		f				3 x									3x						2x			x

				(x)									2
										x	2x		2											2
										x	2x													2
3 x	1 3				2(x 1)			1	(x 2) 3							1	2 3			2		( 1)x 2				1	( 2)x 3
3 x					2(x 1)			2	(x 2) 3							3 x				2		( 1)x 2				2	( 2)x 3
											1					2			1		.
																					.
												3 x2				x2			x3
			x				x							x
3) f (x) (e					sin x)	(e		)		sin x e					(sin x)
	(uv) u v uv							(ex ) ex ,(sin x) cos x

ex sin x ex cos x ex (sin x cos x).

4) f

tg x

(tg x) ln x

tg x(ln x)

(x)

ln x

u v uv

(tg x)

, (ln x)

cos

ln x tg x

x ln x

sin x cos x

cos

ln2 x

x ln2 x cos2

6. Похідна. Техніка диференціювання

117

6.4.Знайти похідну і диференціал функції:

1) f (v) tg v sin a;

2) ( ) sin cos ;

3) s(t) ln t ctg 3.

Розв’язання. [7.2, 7.3, 7.1.8, 7.1.9.]

[7.2.1]

[7.1.9]

sin a

1) f (v) (tg v sin a)

sin a (tg v)

cos2 v

[7.1.9]

sin a

df (v)

dv.

cos

[7.2.2,7.2.3]

sin

cos sin cos .

2) ( ) ( sin cos )

[7.3.7,7.3.8]

[7.1.9]

d ( )

cos d .

3) s (t)

ln t ctg 3

[7.2.2]

1 0

1 .

[7.3.6,7.3.1] t

[7.1.9]

ds(t)

6.5.Знайти похідну функції:

1) f(x) sin 3x;

2) f(x) ctg qx;

3) f (x) sin(2x2);

4) f (x) 3(tg x)2;

5) f (x)

;

6) f(x)

sin2 x 3 cos2 4x.

cos3 x

Розв’язання. [7.2.5, 7.3.]

1) f (x) (sin 3x) (sin u)

[7.2.5]

(3x)

cos 3x

3 cos 3x.

u 3x

[7.3.7]

похідна

синуса

аргументу

[7.3.10]

(qx)

2) f (x) (ctg qx)

sin2 qx

[7.3.7]

3) f

cos(2x

) (2x

4x cos 2x

(x) [sin(2x

)]

)

[7.3.2]

[7.3.9]

6 sin x

4) f

(x) [3(tg x) ]

(3u

)

3 2 tg x (tg x)

6 tg x

cos2 x

cos3

u tg x

118 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

		1								3	[7.3.2]			4			[7.3.8]		3 sin x
		1								3				4					3 sin x
5)	f (x)							(cos x)					3(cos x)		(cos x)							.
5)	f (x)			3				(cos x)					3(cos x)		(cos x)					4		.
		cos		3															cos	4	x
		cos			x														cos		x
	f (x)											sin	2			2	1 2	[7.3.2]
6)			sin		2	x	3 cos		2				2	x 3 cos		2	1 2	[7.3.2]
6)			sin			x	3 cos			4x				x 3 cos			4x

(sin2 x 3 cos2

4x)

[7.3.2]

2 sin2 x 3 cos2

4x 1

2 sin x cos x 3 2 cos 4x ( sin 4x) 4

sin 2x 12 sin 8x

2 sin2 x 3 cos2 4x

6.6.Знайти похідну функції:

1) f(x) arcsin(2x);

2) f (x) arcsin2 3x;

3) f (x) arctg

4) f (x) arcctg

;

5) f (x) arccos(xm );

6) f (x) arctg4

Розв’язання. [7.3.11–7.3.14.]

1) f

[7.3.11]

(2x)

(x)

arcsin(2x)

1 (2x)2

1 4x2

[7.3.2]

[7.3.11]

2) f

(x) arcsin

[(arcsin 3x) ]

2 arcsin 3x (arcsin 3x)

2 arcsin 3x

(3x)

2 arcsin 3x

arcsin 3x .

1 (3x)2

1 9x2

[7.3.13]

)

3) f

(x)

(

arctg

1 ( x )2

x(1 x)

[7.3.14]

4) f

(x)

arcctg

2(x 1) x

[7.3.12]

m 1

5) f

)

(x) arccos x

1 x2m

[7.3.13]

6) f

[(arctg

4 arctg

x (arctg

(x)

arctg

x ) ]

x )

(

4 arctg3

x )

2 arctg

( x )2

(1 x) x

6. Похідна. Техніка диференціювання

119

6.7.Знайти похідні функції:


1) f (x) a3x , a 0;			1
		2) f (x) 7		4x	;
3)	f (x) 4sin2 x ;	4)	f (x) ex 4 ;
5)		6)	f (x) ex (x 3 3x2 6x 6).
	f (x) e sin x ;

Розв’язання. [7.3.3, 7.3.4.]

1) f

[7.3.3]

ln a 3 3a ln a.

(x) a

[7.3.3]

2) f

(x)

ln 7

3) f

sin2 x

[7.3.3]

sin2 x

ln 4

2 sin x cos x.

(x)

4) f

x 4

[7.3.4]

x 4

(x)

[7.3.4]

cos x

sin x

5) f

(x) e

sin x

6) f

6x 6)

[7.2.3]

(x) e

6) e

) (x

6x 6)

ex (x 3 3x2 6x 6) ex (3x2 6x 6) exx3.

6.8.Знайти похідну функції:

1) f (x) log2(5x 4); 2) f(x) ln5 x;

3) f (x) ln arctg x;

4) f(x) ln(x

1 x2 ).

Розв’язання. [7.3.5, 7.3.6.]

1) f

[7.3.5]

(x)

log2(5x

(5x

4) ln 2

2) f (x)

[7.3.6]

5 ln

3) f

[7.3.6]

(x)

ln arctg x

arctg x

1 x

[7.3.6]

4) f (x)

ln(x

1 x

)

1 x

2 1 x

1 x

120 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

7.9.Знайдіть похідну функції:

1) f (x) sh2 x; 2) f (x) th3 x2;

3) f (x) ln ch x;

4) f(x) cos(cth x).

Розв’язання. [7.3.15–7.3.18.]

[7.3.15]

1) f

(sh x)

2 sh x ch x.

(x) sh

2 sh x (sh x)

[7.3.17]

2) f (x)

2 3

3 th

)

2x.

(th x

)

(th x

3 th

2 2

[7.3.16]

sh x

3) f

(ch x)

(x)

ln ch x

th x.

ch x

[7.3.18]

sin cth x

4) f

cos(cth x)

sin cth x

(x)

6.10. Знайдіть похідну функції:

(x 1)3 4

1) f(x)

x 2

;

2) f (x) (cos x)sin x .

5 (x 3)2(x 4)2

Розв’язання. [7.2.6.] 

1) [Застосовуючи формулу логарифмічної похідної треба максимально спростити вираз перед диференціюванням.]

		3 4
[2.2.6]		(x 1)			x 2
		(x 1)			x 2
f (x)	f (x) ln


		2			2
	5	2			2
			(x 3)	(x 4)

максимально використовуємо

властивості логарифму

f(x)(3 ln(x 1)

4 ln(x 2)

5 ln(x 3) 2 ln(x 4))

(x 1)3 4

x 2

4(x 2)

5(x 3)

(x 3) (x 4)

x 1

x 4

[7.2.6]

sin x

2) f (x)

f (x)(ln(cos x)

)

f (x)(sin x ln cos x)

sin

sin x

(cos x)

cos x ln cos x

cos x

Коментар. Формулу логарифмічної похідної доцільно використовувати для диференціювання виразів з великою кількістю множників або степеневопоказникових виразів.

Стануть у пригоді такі формули:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc