Практикум 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1) xn n3 1 ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

									1. Множини. Функції						81
3)	12 22		... n2						n(n 1)(2n 1)				;
3)	12 22		... n2										;
							6
4)	1	1		1	...			1		2	1 .
4)	1				...					2	1 .
	22		32				n2				n
1.14. Розкладіть біном:
1) (1 x)5;												2) (a b)4.
												4) (a 2b)5.
3) (a 2)6;												4) (a 2b)5.
1.15. Опишіть переліком елементів множину:
1) M x						x2 4x 3 ;						2) M x		x2 3x 10 ;
1) M x						x2 4x 3 ;						2) M x		x2 3x 10 ;
3) M x						x2 1 0 ;						4) M x		x2 2x 2 0 ;
3) M x						x2 1 0 ;						4) M x		x2 2x 2 0 ;

5) M x x3 x 2 0 ; 6) M x x3 3x 2 0 .

1.16.Запишіть рівнянням або нерівністю умову і знайдіть множину точок координатної прямої, яку ця умова задає: віддаль між точками:

1) M(x) та N(4) дорівнює 5;

2) M(x) та N( 3) менша за 2;

3) M(x) та N(1) не більша за 0, 5; 4) M( 4) та N(x) не менша за 15 .

1.17.Запишіть усі підмножини множини M, якщо:

1) M {3, 4};

2) M {5, 6, 12}.

1.18.Задано множини: A {1, 2}, B {1, 2, {1, 2, 3}}, C {1, 2, {1, 2}}. Уста-

новіть, який із двох записів правильний:

1) A B або A B;

2) A C або A C.

1.19.Задано множини A та B. Знайдіть множини A B, A B, A \ B, B \ A, якщо:

1)	A {1, 2, 3}, B {2, 3, 4, 5};			2)	A {1, 2, 3, 6}, B {1, 2, 4, 5};
3)	A {x : x 1}, B {x : x 2};
4)	A ( 2; 3], B [2; 4);			5)	A {a,b, c}, B {b,c, d,e};
6)	A {x :	x 1	1}, B {x :			x 1	2};

7) A , B — множина ірраціональних чисел.

82	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.20.Узявши відрізок U [0;1] за універсальну множину, запишіть і зобразіть доповнення множини:

							2
1) A {0, 1};						1	2
1) A {0, 1};					2) B			; 1 ;
						3	3
						3	3
	1		1				2
	1	;	1			1	2	;	3
3) C		;		.	4) D			;	.
						2
	4 2					2	3 4

1.21.Розрив ділянки електричного кола (подія A) (рис. 1–3) може виникнути внаслідок виходу з ладу елементів I, II, III (відповідно, події A1, A2, A3 ).

Виразіть подію A через події A1, A2, A3.

	I	I	I
		III	II
II	III	II	III
Рис. 1 до зад. 1.21		Рис. 2 до зад. 1.21	Рис. 3 до зад. 1.21

1.22.Знайдіть max A, min A, sup A та 1) A (0; 1);

3) A { 1} [2; 3];

inf A якщо вони існують, де:

2) A [0; 2);

	1
	1
4) A x \| x		, n .
	n
	n

1.23.

Знайдіть множину G,

на яку задана функція відображує множину F :

1) y x2, F [ 1; 2];

2) y log3 x, F (3; 27].

1.24.

Знайдіть проміжки тотожності функцій:

1) f (x)

та (x) x;

2) f (x) x та (x) x2 .

x 0,

1.25.

Знайдіть

f ( 1), f (0), f

(2), f (3), якщо f (x)

x 0.

1.26.

Визначте функцію y f (x), що справджує умову:

1) f x

, x

2) f x1

x2 sin x1 cos x2 cos x1 sin x2.

1.27.

Продовжте функцію f (x),

x (0; ) на ( ; 0] так, щоб функція на

була: а) парною, б) непарною:

1) f (x) x 1;

2) f (x) ex 1.

1. Множини. Функції

1.28.З’ясуйте чи є функція оборотна; якщо так, то знайдіть відповідну обернену функцію і її область означення:

y (x 1)3;

y cos 2x.

1.29.

Знайдіть композиції f g

і g f, вкажіть їхні області означення:

1) f (x) 1 x, g(x) x2;

2) f (x) ex , g(x) ln x.

1.30.

Побудуйте графік функції:

1) y

2) y

(

)2;

y sgn cos x;

y sgn sin x;

1 sin2 x;

1 cos2 x;

y xlogx (x2 2);

log2 x ;

9) y sin(arcsin x);			10) y arcsin(sin x).
1.31. Побудуйте графіки функцій f (x),			f (x), f ( x), f ( x),	f (x a),
f (x) a, якщо:
1
1) f (x)		,a 2;	2) f (x) 3x 1, a 2.
	x 1
1.32. Зобразіть на координатній площині множину:
1) M (x; y) \| x2 y2 4 ;			2) M (x; y) \| x2 y2 9 ;

3)M (x; y) | x2 2y 1 ;

4)M (x; y) | x2 y2 1, x y 1 ;

		2
5) M	(x; y) \| xy 1, y x	2	;		(x; y)

				6) M

Відповіді

1.11. 1) «необхідно, але не достатньо»,P Q; 2) «достатньо,							але не необхідно», P Q;
3) «необхідно й достатньо», P Q.
1.12. 1) істинне; 2) хибне; 3) істинне; 4) хибне.
1.14. 1) x5 5x 10x³ 10x² 5x 1; 2) a4 4a3b 6a2b2							4ab3 b4;
3) a6 6	2	a5 30a4 40	2	a3 60a2 24	2	a 8;
4) a5 10a4b 40a3b2 80a2b3 80ab4 32b5.
1.15. 1) M {1, 3}; 2) { 2, 5}; 3) M ; 4) M ; 5) {1}; 6)							{ 1, 2}.

84	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.16. 1)

x 4

5, { 1, 9};

x 3

2,( 5; 1); 3)

x 1

0, 5,[0, 5;1, 5];

x 4

1 , ( ; 4, 2) ( 3, 8; ).

1.17. 1) , {3}, {4}, {3, 4}; 2)

, {5}, {6}, {12}, {5, 6}, {5, 12}, {6, 12}, {5, 6, 12}.

1.18. 1) A B; 2)

A C, A C.

1.19. 1) A B {1, 2, 3, 4, 5}, A B {2, 3}, A \ B {1}, B \ A {4, 5};

2) A B {1, 2, 3, 4, 5, 6},

A B {1, 2}, A \ B {3, 6},

B \ A {4, 5};

3) A (1; ), B ( ; 2), A B ( ; ), A B (1; 2), A \ B [2; ),

B \ A ( ;1];

4) A B ( 2; 4),

A B [2; 3],

A \ B ( 2; 2), B \ A (3; 4);

5) A B {a,b,c,d,e}, A B {b,c}, A \ B {a}, B \ A {d,e};

6) A ( 2; 0),

B ( ; 1] [3; ), A B ( ; 0) [3; ),

A B ( 2; 1],

A \ B ( 1; 0), B \ A ( ; 2] [3; );

7) A B , A B , A \ B , B \ A .

1.20. 1) A (0;1);

2) B

;

3) C 0;

;

{1};

3 3

4) D

;

;1 .

1.21. 1) A A1 (A2 A3 ); 2) A (A1 A2 ) A3; 3) A A1 A2 A3.

1.22. 1)

max A,

min A, sup A 1,

inf A 0;

max A, sup A 2, min A inf A 0;

3) max A sup A 3, min A inf A 1; 4)

max A sup A 1,

min A, inf A 0.

1.23. 1) G [0; 4];

2) (1; 3].

1.24 1) тотожні на будь-якому інтервалі, який не містить точку 0;

2) тотожні на проміжку

[0; ).

1.25. f ( 1) 2; f (0)

f (2) 2; f (3) 3.

1.26. 1) f(x) x2 2;

2) f (x) sin x.

f(x), x

f(x), x 0,

1.27. f

0, f

0, x

a , x

f( x), x 0.

f( x), x 0,

1.28. 1) Обернена функція y 3

x 1, D ; 2) оберненої функції не існує.

1.29. 1) (f g)(x) 1 x2, x ; (g f )(x) (1 x)2, x ;

2) (f g)(x) x, x [0; ); (g f )(x) x, x .

2. Границя послідовності

Навчальні задачі

2.1.Записати перші 5 членів послідовності {xn}, якщо:

1) xn 2n 1;

2) x1 1, xn nxn 1.

3) xn — n -й знак у десятковому записі числа .

2. Границя послідовності

Розв’язання. [6.1.1]

1) [Підставляємо значення n 1, 2, 3, 4, 5 у формулу для загального члена послідовності.]

x1 21 1 4, x2 22 1 8, x3 16, x4 32, x5 64.

Отже, {xn } 4, 8, 16, 32, 64, ....

2) [Послідовно визначаємо члени з рекурентної формули.]

x1 1, x2 2 ( 1) 2, x3 3 2 6, x4 24, x5 120.

Отже,

{xn} 1, 2, 6, 24, 120, ...

3) Оскільки 3,141592654..., то

x1 3, x2 1, x3 4, x4 1, x5 5. Отже, {xn } 3, 1, 4, 1, 5, ....

2.2.Доведіть, що послідовність {xn } зростає, якщо:

1) xn	n	;	2) xn	2n	;
	2n 1			n

Розв’язання. [6.1.6.]

1)[Записуємо xn 1. ] xn 1 2n 3 .

[Досліджуємо xn 1 xn.]

xn 1 xn

n 1

2n 1

(2n 1)(n 1) (2n 3)n

2n 3

n .

(2n 3)(2n

(2n 3)(2n 1)

Отже, xn 1 xn

n , тобто послідовність {xn } зростає.

2) xn 1

2n 1

n 1

xn 1

n 1

q 1

0 n 2.

n 1

Отже, q 1 і xn 1 xn

n , тобто послідовність {xn } зростає.

2.3.Доведіть, що числова послідовність {xn } обмежена, якщо:

86	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Розв’язання. [6.1.5.]

1) 0

n3 1

n3 4

Отже, послідовність {xn } є обмеженою.

2) Оскільки

[0.2.1]

( 1)n n 11

( 1)nn

11 n 11,

то

n2 1

n 11 1 11 12.

( 1)n n 11

n2 1

Отже, послідовність {xn } є обмеженою.

2.4. 1) Довести за означенням, що

lim

n n 1

2) визначити номер N , такий, що

n 1 0, 001 n N . n 1

Розв’язання. [6.2.1.]

1) Виберімо довільне додатне число і покажімо, що для нього можна визначити такий номер N , що для всіх номерів n N буде виконано нерівність

n	1	.
n 1

Розв’яжімо нерівність:

Отже, за N

2) Якщо

					n			1									1
				n			1	1								n			1
				n			1									n			1
			1				n 1 1											n 1					1.
			n 1				n 1 1											n 1					1.
			n 1
						1									1									1
											якщо						1		0		або 1, якщо				1	0.
можна взяти							1 ,				якщо						1		0		або 1, якщо				1	0.

	1	, тоді
1000		, тоді
1000

					N				1		1			[999]					999;

									1

									1000
									1000
					n 999					:			n			1					1	.
					n 999					:		n	1			1				1000		.
												n	1							1000

2. Границя послідовності

2.5.Довести, що послідовність {xn}, яку означено рекурентним співвідно-

шенням xn 1 2 xn , x1 2, збіжна. Знайти її границю.

Розв’язання. [6.2.3, 6.2.6.]

Доведімо, що для всіх n правдива нерівність xn 2. Припустімо, що цю нері-

вність доведено при n k,xk 2. Тоді маємо

xk 1 2 xk 2 2 2.

Оскільки x1 2, то, на підставі принципу математичної індукції, нерівність

xn 2 доведено для всіх n. Оскільки, крім того,	0 xn, то послідовність
{xn } обмежена. З нерівності

						x2
x	n 1	2 x	n	2x	n	x2	x	n
	n 1		n		n	n		n

випливає, що вона зростає.

Отже, за ознакою Веєрштраса, ця послідовність має границю, яку позначмо s. Перейдімо до границі в рівності

xn2 1 2 xn .

За теоремою [1.19.8] маємо

	s2 s 2,
звідки s1 1,s2 2. Але, оскільки xn 0 n , то s 0.
Отже,	lim an 2.
	n
		n

		( 1) n
2.6.	Довести, що послідовність {xn }		є розбіжною.
2.6.	Довести, що послідовність {xn }	n 1	є розбіжною.
		n 1

Розв’язання. [6.2.3, 6.2.5.]
Розгляньмо послідовність
{x	n	} 1	,	2 ,	3	,	4 , ...
	n	2		3	4		5
		2		3	4		5

Якщо вибрати 1, то всі парні члени послідовності потрапляють в інтервал (0; 2) з центром у точці x 1, а всі непарні

— в інтервал ( 2; 0) з центром	у точці	2	1 x3 x1 0 x2x4 1	2
x 1, причому ці інтервали не перети-			Рис. до зад. 2.6
наються.
А за означенням, якщо точка x 1	або x 1 була б границею послідовності

{xn}, то всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, мали б потрапи-

ти у вибраний інтервал.

88	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

2.7.Знайти:


1) lim	(n 2)3 (n 2)3	;	2) lim	n 6	n	5 32			n10	1	;
	96n2 39n

n			n (n 4				n	)3 n3 1

3) lim

n ! (n 1)!

;

lim

2n 3n .

(n 2)!

n 2n 3n

Розв’язання. [6.3.8, 6.5.1, 6.5.5, 6.4.6.] 

1) lim

(n 2)3

lim

6n2 12n 8 (n3 6n2 12n 8)

96n2

96n2 39n

39n

12n2 16

12 162

lim

96n2

39n

n 96

поділімочисельник

і знаменник на n2

2) lim	n 6	n	5			32n10	1

					)3 n3 1
n (n 4				n	)3 n3 1

поділімочисельник і знаменник на n2 «найвищий степінь» n з урахуванням показників коренів


		1	5 32				1		5
		1					1			32
lim	n5 6						n10				2.
	n5 6						n10

n 1				1	3	1		1		1
n 1				n3 4	3	1		n3		1

3) (n 1)! (n 1)n !; (n 2) ! (n 2)(n 1)n !.

	n ! (n 1)!		n !(1 (n 1))		n 2	[6.5.5]
lim		lim		lim		0,
	(n 2)!
n		n n !(n 1)(n 2)		n (n 1)(n 2)

оскільки степінь многочлена в чисельнику менше, ніж степінь многочлена у знаменнику.

				1	2		n			2	n
	n	n										0,	1
	n	n			3
4) lim	2	3			3
			lim											1.
			lim											1.
n 2n 3n			n	1		2		n	3				1
n 2n 3n			n			2		n	n				1
						3			n

Коментар. Щоб знайти границі типу 1)–3) ділять чисельник і знаменник дробу на n у найвищому степені всього виразу (коли цей степінь з’ясується), або на вираз, який найшвидше зростає (приклад 4).

2.8.Знайти:

														1			1		1	...		1
1)	lim n				n2 1 n							2)		1		3		9		...			n
																3		9					n
									;				lim									3		;
									;				lim			1		1				1		;
	n												n 1							...
	n												n 1			4		16		...			4n
																4		16					4n

			1			2			n 1					3 n2			sin n2
3)								...				4)	lim								.
3)	lim					n		...	n		;	4)	lim		n		1				.
		n		2		n	2		n	2			n		n		1
	n			2			2			2			n

2. Границя послідовності

Розв’язання. [6.4.3, 6.3.8, 6.5.5, 6.2.7.]

1) [Тут застосувати теорему [6.3.8] безпосередньо не можна. Отже, перетворюємо загальний член послідовності.]

[4.16.5]

lim n

n2 1

lim

n2 1 n

lim

n2 1 n

n n2 1 n

найбільший степінь

lim

виразу n, а не n

2) Ця послідовність є часткою сум двох геометричних прогресій із знаменника-

ми q1			1	та q2		1 .
			3			4
										(1 3)n 1		1						n 1
		1		1	1		1		1						3	1	1
											1 3 1				3		1		[6.2.7]

						...									2		3			9
				3	9	...	3n								2		3
lim				3	9		3n		lim				lim								.

											n 1							n 1
n				1	1		1		n		n 1		n					n 1	[6.3.8]	8
	1					...				(1 4)		1		4		1	1
	1					...				(1 4)		1		4			1
				4	16			4n	1
														3			4
														3			4
											1 4 1
											1 4 1

3) [Тут не можна скористатись безпосередньо теоремою [6.3.8], оскільки маємо суму нескінченної кількості н. м. п. Перетворюємо загальний член послідовності, зводячи дроби до спільного знаменника і користуючись формулою суми арифметичної прогресії з різницею 1.[6.1.2]]

n 1

1 2 ... (n 1)

...

lim

[6.5.5]

n(n 1)

n 1

1 .

lim

n 2n2

4) Послідовність є добутком н. м. п.

(степінь чисельника менша за сте-

n 1

пінь знаменника) й обмеженої послідовності {sin n2}, оскільки

sin n2

n .

Отже, за властивістю [6.4.3] маємо, що

lim

sin n2

90	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

2.9.Запишіть перші 5 членів послідовності {xn}, якщо:

1) xn

( 1)n

;

2) x1 1, xn xn 1 2.

2.10.

Доведіть, що послідовність {xn } зростає, якщо:

1) xn n3 2n;

2) xn n ln n;

3) xn

;

4) xn

1 3 5 ... (2n 1)

n !

2.11.

Доведіть, що числова послідовність {xn } обмежена, якщо:

1) xn ( 1)n;

2) xn

n 1

2.12. Дослідіть послідовність на монотонність і обмеженість:

1) xn

;

2) xn cos n ;

3) xn

;

4) xn n.

2.13.Знайдіть найбільший елемент обмеженої зверху послідовності {xn}, як-

що:

1) xn 6n n2 5;

10n

3) xn n ! ;

2) xn e10n n2 24;

4) xn (2n 1)! .

2.14. Доведіть, що lim xn a і визначте номер				N , такий, що
		n
	xn a	0, 001	n N , якщо:
	xn a	0, 001	n N , якщо:

1)	lim		3n 2	3;		2)	lim	3n 1 1.

	n n 1						n	3n
2.15. Знайдіть:
1)	lim	(1 3n)3 27n3			;	2)	lim	(n 1)4 n4	;
								n4 3
	n (1 4n)2 2n2						n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc