Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

101

sin x sin a

[5.10.11]

2 cos

x a

sin

x a

sin

x a

3) lim

lim

x a

2 cos

x a

lim cos x a cos a.

lim

x a

[6.8.7]

ln(1 3x )

3x ,

4) lim

ln(1

2 ) 2 ,

lim

ln(1

2 )

3sin 5x

3sin x

3sin x (3sin 5x sin x 1)

5) lim

lim

x 0

cos x

x 0

1) (1 cos x)

3sin 5x sin x

[6.8.8]

[5.10.11]

3sin x

ln 3 sin 2x cos 3x

(sin 5x sin x) ln 3

lim

(ex 1) (1 cos x)

2 ln 3 sin 2x cos 3x, x

x 0

3sin x

1, cos 3x 1,

3sin x ln 3

sin 2x

cos 3x

[6.8.1]

[6.8.9]

sin 2x

lim

4 ln 3.

ex 1

x 0

1 cos x

[6.8.3]

1 cos x

0, x 0

4 arctg

arctg

1 x

6) lim

1 x

4 lim

x 0

[6.8.2]

arctg

[5.10.6]

1 x

4 lim

1 x

x 1 tg

x 0

1 x

4 lim

1 x

4 lim

1 x

4 lim

x 2

x 0

x 0 x

1 x

x 1

4.3.

Знайти:

1) lim sin 7 x

;

lim

lg x 1

;

x 1 sin 2 x

x 10

102	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

3) lim	ex e		;	4) lim	1 3	x	.
		x 1
x 1				x 1 1 5		x
Розв’язання. [6.8.]

sin 7 x

t x 1, x t 1

sin 7 (t

lim

x 1

sin 2 x

t 0, x

t 0

sin 2 (t

[6.8.1]

lim sin(7 t 7 )

[5.10.3]

sin 7 t

7 t,

7 t

7 .

lim

sin 2 t

2 t,

lim

2 t

t 0

sin(2 t 2 )

t 0

sin 2 t

t 0

t x 10,

[5.7.5]

lg x 1

lg(10 t) lg 10

lim

x t 10,

lim

x 10

t 0

t 0, x 10

[6.8.6]

10 ln 10

lim

10 ln 10

lim

t 0

10 ln 10

e(e

x 1

[6.8.9]

e(x 1)

3) lim e

lim

x 1,

lim

x 1

1 3

t x 1, x t 1,

1 t 1 1 3

4) lim

0, x 1

lim

x 1

t 0

1 (t 1)

1 5

(1 t)1

[6.8.10]

1 5

(1 t)

5 , t

4.4.

Знайти:

lim

ln(1 3x ) ;

x ln(1 2x )

lim

2x tg x .

x 2

cos x

Розв’язання.

lim

)

lim

ln(1 3

ln 3

)

ln(1 2

ln 2

t	,			1	t	5
3							.
			lim	3
				1
		0	t 0		t	3
				5

2)lim x(ln(x 1) ln x);

lim x ln 3	ln 3 .
x x ln 2	ln 2

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

103

lim

x(ln(x 1) ln x)

lim x ln

, x

lim

2x sin x

lim

2x tg x

lim

x 2

cos x

t x

2x sin x

lim

cos x

x 2

t 0, x

2 t

sin t

2t cos t

lim

cos t

sin t

t 0

lim (1 cos t) 2t cos t

lim (1 cos t)

lim

2t cos t

t 0

sin t

t 0

sin t

t 0

sin t

2t cos t

lim t 2 lim cos t 2.

lim

t 0

2 t 0

t 0

4.5.Знайти:

2x 1

2) lim

lim

;

2x 1

ctg x

4) lim ln(e x)

lim

;

x 0

Розв’язання. [6.5.6, 6.7.5, 6.7.6.]

[6.3.8]

2x 1

1 2

lim

x x

[6.5.6]

lim

2x 1

[6.5.6]

lim

2x 1

104	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

[6.7.5]

lim

1 x

lim

x x

3) lim

x 1

ctg x

[6.7.5]

lim (ln(x e) 1) ctg x

4) lim

ln(e x)

x 0

ln(x e) ln e [5.7.5]

lim

[6.8.7]

lim e

e1 e .

tg x

ex 0

ex 0 x

4.6.Які з функцій є нескінченно малими чи нескінченно великими?

1)f (x) x 2 1 x; а) x , б) x ;

2) f (x)

; а) x , б) x .

Розв’язання. [6.4.1, 6.4.2.]

1) lim

x2 1 x

x2 1 x2

1 x

lim

x2 1 x

lim

x2 1 x

Отже, f (x) — н. в. ф., коли x ; f (x) — н. м. ф., коли x .

2) lim	1	1; lim	1		0.

	2x			2x
x 1		x 1

Отже, f (x) — н. м. ф., коли x .

4.7.Визначити порядок мализни і головну частину нескінченно малої функ-

ції (x) x3 1000x2 щодо н. м. ф. (x) x, коли x 0.
Розв’язання. [6.6.5.]
lim	x3	1000x2	lim	x2(x 1000)				lim x2 k(x 1000)
lim		xk	lim			xk		lim x2 k(x 1000)
x 0		xk	x 0			xk		x 0

					0,	2	k 0,
					0,	2	k 0,

							2 k,
			1000,				2 k,

					,	2	k 0.
					,	2	k 0.

Отже, н. м. ф. (x) має порядок k 2 щодо н. м. ф. (x) x, коли x 0; го-

ловна частина 1000x2. Тобто

x3 1000x2 1000x2, x 0.

4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

105

4.8.Визначити порядок росту і головну частину нескінченно великої функції

(x)

щодо функції (x) x, x .

1 x

2x2

Розв’язання. [6.6.5.]

, 5 k 2,

5 k

1 x 2x

lim

5 k 2,

5 k 2.

Отже, н. в. ф.

(x) має порядок росту k 5 2

щодо н. в. ф. (x) x,

коли x ;

головна частина

1 x3.

Тобто

, x .

1 x 2x2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

4.9.Знайдіть:

1)lim tg 3x ;

x0 x

		5

	cos x		tg x

3) lim		2		;
3) lim	arcsin 2x2			;
x 0	arcsin 2x2

		1
5) lim		1
5) lim			ctg x ;
x 0
	sin x

7)	lim cos x cos a ;
	x a		x a
4.10. Знайдіть:
1)	lim	1 sin x			;

	x 2	2 x		2

				x 1
3)
	lim x arctg			x 2		;
	x					4

4.11.Знайдіть:

1)lim x log2 10 x ;

x5 x

2)	lim	arctg 3x ;
	x		x
4)	lim	3 arctg x		;
4)	lim			;
	x 0		4 x 2
6)	lim	(1 cos x)2				;
6)	lim					;
	x 0 tg2 x sin2 x
8)	lim ctg x ctg a .
	x a		x a

2)
2)	lim	2x tg x					.
					cos x
	x 2

4)lim(1 x) logx 2.

2)lim x2 ln cos ;

106	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

				ln(1			3
3) lim	ln(a x) ln a	;	4) lim	ln(1		x	3	x)	.
3) lim		;	4) lim						.
x 0	x		x ln(1		3 x 4			x)

4.12. Знайдіть:

lim

e7x

tg x

;

x 0

lim

1 x

2 1

;

x 0

lim

3 tg x 1

;

2 sin2 x

x 4

4.13. Знайдіть:

2x 1

lim

;

x 1

lim

;

5)lim (1 ctg x)tg x ;

				x			x 1 tg2 x
			1	x		3
7)	lim								;
7)	lim								;
	x 0			x		7		x
		1		x		7
9)				ex	2		1 ln 1 tg2			x
	x 0				2		1 ln 1 tg2
	x 0		2						3 ;
	lim		2						3 ;

lim x

41 x

41 (x 1)

lim

ex2 1

;

1 sin x2

x 0

lim 2x

x2 .

x 2

lim

;

x 1

lim

;

lim x2

cos x;

x 0

1 x

x 1 sin3 x

lim

;

x 0

1 x

10) lim

2 3sin2 x 1 ln cos x .

x 0

4.14. Визначте, які функції є нескінченно малими:

	x2
1) f (x)		2x 1		, x	1;	2) f (x)	1	cos x	, x 0;
		x3	x
							1	cos x

3) f (x)	ln(x2		x 1)		, x .
	ln(x4		x 1)

4.15. Визначте, які функції є нескінченно великими:

1		1		, x 2;
1) f (x)
	x3 4x2 4x		x2 3x 2

		5. Неперервність функції. Точки розриву функції			107
			1	x
	x		1
2)	f(x)			, а) x , б) x .
2)	f(x)			, а) x , б) x .

	2x 1

4.16.Визначте порядок мализни і головну частину нескінченно малої функції(x) щодо функції (x) x, коли x 0:

1)	(x) 3				2)
		x 2				(x) ln(1 x 2 ) 2 3 (ex 1)2 ;
				x;
3)	(x) 33				4)
			x	1;		(x) tg x sin x.

4.17.Визначте порядок росту і головну частину нескінченно великої функції(x) x 4 x 1 щодо функції (x) x, коли x .

Відповіді

4.9. 1) 3; 2) 0; 3)					1	; 4) 12; 5) 0; 6) 1 ;							7) sin a; 8)									1		.
4.9. 1) 3; 2) 0; 3)					1	; 4) 12; 5) 0; 6) 1 ;							7) sin a; 8)											.
					2						4										sin2 a
4.10. 1)		1	; 2) 2;		3)		1	; 4)		ln 2.	4.11. 1)				5		;	2)		2		3)	1		; 4)	3	.
																					;		a
		2					2								ln 2					2	;					2
		2					2								ln 2					2						2
4.12. 1)		5; 2) ln 4; 3)				1	;	4)	2;	5) 1 ;	6) 4 ln 2 4.
						7				3
4.13. 1)		; 2) 0; 3) ekm;						4) e8; 5) e;			6)	1		; 7)		3	;	8)	2	; 9) e 9 2 ; 10) 9.
4.13. 1)		; 2) 0; 3) ekm;						4) e8; 5) e;			6)			; 7)		7	;	8)	5	; 9) e 9 2 ; 10) 9.
													e			7			5
4.16.	1)		k 1	,	головна				частина		— x1					2 ,		x	0;			2)			k 2			,	головна частина —
			2																							3
2x2	3 , x 0;			3) k 1 ,					головна частина — ln 3										x1 3 ; 4) k 3, головна частина —											x3	.
2x2	3 , x 0;			3) k 1 ,					головна частина — ln 3										x1 3 ; 4) k 3, головна частина —												.
							3																						2

4.17. k 2, головна частина x2, x .

5. Неперервність функції. Точки розриву функції

Навчальні задачі

5.1.Дослідити на неперервність функцію:

1) f (x)	sin x		;			2) f (x) e1 x ;
1) f (x)			;			2) f (x) e1 x ;
		x
				2
		1 x ,			x 0,
		1 x ,			x 0,
				2			1
3) f (x)				2	x 2,	4) f (x) sin	1	.
3) f (x)	(x			1) , 0	x 2,	4) f (x) sin		.
							x
		4 x,			x 2;		x
		4 x,			x 2;

Розв’язання. [6.11.]

108	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1) Функція f — елементарна; область означення функції D(f ) \ {0}. От-

же, x0 0 — точка розриву.

[З’ясовуємо тип точки розриву, знаходячи однобічні границі.].

Оскільки

lim sin x

1 lim

sin x

lim

sin x

x 0

x0 0

D(f ),

то точка x0

0 є точкою розриву 1-го

sin x

роду, усувного.

Функцію f (x) sin x

можна доозначи-

Рис. до зад. 5.1.1)

ти в точці x0

0, покладаючи

sin x

x 0,

g(x)

x 0.

Функція g вже буде неперервною на .

2) Функція f — елементарна; область означення D(f ) \ {0}. Отже, функ-

ція f має розрив у точці x0 0.

lim e1 x 0;

lim e1 x

x 0

Оскільки обидві границі існують і одна з

них нескінченна, то x0 0 — точка роз-

y e1 x

риву 2-го роду, нескінченного. Графік фун-

кції має в точці x0 0 праву вертикальну

асимптоту.

Рис. до зад. 5.1.2)

3) Функція f — неелементарна, означена різними аналітичними виразами на різних проміжках, які є неперервними функціями на цих проміжках. Отже, єдині можливі точки розриву — це точки x1 0 та x2 2, де міняються аналітичні вирази для функції f.

Дослідімо точку x1 0.

	f (0) (0 1)2 1.
lim	f(x) lim (1 x2 ) 1;
x 0	x 0
lim	f (x) lim (x 1)2 1.
x 0	x 0

Оскільки існують скінченні границі f ( 0), f( 0) і

f ( 0) f ( 0) 1 f(0),

то за критерієм неперервності [6.9.2] функція f є неперервною в точці x1 0 .

5. Неперервність функції. Точки розриву функції

109

Дослідімо точку x2 2.

f (2) (2 1)2 1.

		lim f(x)	lim (x 1)2 1;
		x 2 0	x 2 0
		lim f(x)	lim (4 x) 2.
		x 2 0	x 2 0
Оскільки	існують	скінченні	границі
f (2 0), f(2 0) і
	f (2 0) 1	2 f (2 0),
то точка	x2 2 є точкою розриву 1-го роду,

неусувного [6.11.2], зі стрибком

f (2 0) f(2 0) 2 1 1.

y f (x)

O 1 2 x

Рис. до зад. 5.1.3)

4) Функція f — елементарна, область означення												D(f ) \ {0}. Доведімо,
користуючись означенням границі за Гейне [6.3.2], що не існує lim sin																	1	. Для
цього побудуймо дві послідовності значень аргументу:																x 0	x
цього побудуймо дві послідовності значень аргументу:

			1		2		2		2				2
			1		2	,	2	,	2	, ...,			2			, ...;

{xn}
					5 9							2 n
			2 n
		2	2 n
		2
				1		1		1		1				1
				1		1		1		1				1
							,		,		, ...,				.
	{xn }						,		,		, ...,				.
					2 4 6								2 n
				2 n	2 4 6								2 n

Обидві послідовності збігаються до нуля. Запишімо послідовності значень функції f :

(xn ) 1,1, 1, ..., 1, ...;

sin

(xn ) 0, 0, 0, ..., 0, ...

Оскільки послідовність {f (xn )} збігається до ну-

ля, а послідовність {f (xn )} — до одиниці, то не

Рис. до зад. 5.1.4)

1 .

існує lim sin

x 0

Точка x0 0 є точкою розриву 2-го роду, істотного [6.11.3].

Коментар.  Усувний розрив можна «усунути», доозначивши функцію f (x) у

точці x0 , тобто утворивши нову функцію
		x x		,
f(x),		x x	0	,
			0
g(x)	0),	x x0,
f (x0	0),	x x0,

що збігається з функцією f (x) скрізь, окрім точки x0, і буде вже неперервною в цій точці.

110	Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

5.2.Показати, що будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефі-

цієнтами має принаймні один дійсний корінь.

Розв’язання. [6.10.4.]

Розгляньмо многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами

P2n 1(x) a0x2n 1 a1x2n ... a2n 1.

Нехай для визначеності a0 0. При досить великих за абсолютною величиною від’ємних значеннях x знак многочлена P2n 1(x) буде від’ємним, а при досить

великих додатних значеннях x — додатним. Оскільки многочлен є скрізь неперервною функцією, то знайдеться деяка точка, в якій він дорівнює нулеві.

5.3. Знайти з точністю 0,1 корінь рівняння x4 x 3 1 0 на відрізку [0; 1].

Розв’язання. [6.10.4.]

Нехай f (x) x4 x3 1. Ця функція неперервна x , а, отже, і на [0; 1]. Оскільки f (0) 1 0, f(1) 1 0, то за теоремою Больцано — Коші

c (0; 1) : f(c) 0,

тобто рівняння f(x) 0 має корінь на [0; 1]. Знайти корінь з точністю 0,1 означає вказати відрізок [a;b] завдовжки b a 0,1, який містить корінь рівняння.

Щоб знайти наближене значення кореня, скористаємось методом половинного поділу.

Крок 1. Покладаємо a 0,b 1. Обчислюємо

f (a) f(0) 1, f (b) f (1) 1.

Перевіряємо

f(a)f(b) 1 1 1 0,

Крок 2. Обчислюємо				b a	1 0, 1.
Крок 2. Обчислюємо
x		1	a b		0 1 1 .
		1	2			2		2
Крок 3. Обчислюємо			2			2		2
Крок 3. Обчислюємо
							13
		f (x1) f				1	13
		f (x1) f						.
							16
						2	16
Перевіряємо
f (x	)f (a) 13					( 1) 13 0;
1			16				16
			16				16
f (x	)f (b) 13					1 13 0.
1			16				16
			16				16

Покладаємо a1 x1 12 ,b1 b 1. Перевіряємо

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc