Практикум 2

52

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

— н. в. ф., 0 — н. м. ф., 1 — функція, що має границю 1

Невизначеності

0

, 0 , 0 , , 1 , 00, 0

a ( ) ;

( ) ( ) ;

a ( ) , a 0;

( ) ( ) ;

a

0;

a ;

0

0 0;

0 ;

a 0, 0 a 1;

a ,

1 a ;

( )b 0, b 0;

( )b ,

0 b

 lim x

0, 0

 lim x , 0

x 0

x

 lim

1

0, 0

 lim

1

, 0

x x

x 0 x

n m,

0,

a

xn

a xn 1

... a

a

0

0

1

n

 lim

, n m,

x

b0x

m

b1x

m 1

... bm

b0

,

n m

0,

0 a 1,

, 0

a 1,

 lim

a

x

1,

a 1,

lim a

x

1,

a 1,

x

x

,

a 1

a 1

0,

lim

loga

x ,

lim

loga x ;

 x

x ,

a 1

x

log

x ,

0 a 1

lim

log

lim

x 0

a

x 0

a

 lim

arctg x

 lim

arcctg x ;

2

x

x

lim arcctg x 0

x

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

53

 (x) — н. м. ф. вищого порядку

lim

(x)

0

(x) o( (x)),

мализни, ніж (x), коли x x0

x x0

(x)

x x0

 (x) та (x) — н. м. ф. одного

lim

(x)

A 0

(x) (x)),

порядку мализни, коли

x x0

x x0

(x)

x x0

 (x) та (x) — еквівалентні

lim

(x)

1

(x) (x),

н. м. ф., коли x x0

x x0

(x)

x x0

 (x) та (x) — непорівнянні

lim

(x)

н. м. ф., коли x x0

x x0

(x)

 (x) н. м. ф. порядку k щодо

lim

(x)

C,

(x) C( (x))k ,

н. м. ф. (x), коли x x0

x x0 ( (x))k

x x0,

C 0,C ;

C( (x))k

— головна частина

функції (x) щодо (x), x x0

Властивості еквівалентних функцій ( (x) (x), x x0 )

Границя добутку (відношення) двох

lim (x) (x) lim (x) (x);

нескінченно малих функцій не

x x0

(x)

x x0

(x)

зміниться, якщо кожну з них замінити

lim

lim

на еквівалентну їй н. м. ф.

(x)

x x0

x x0 (x)

Різниця двох еквівалентних

нескінченно малих функцій є

(x) (x) o( (x)),

нескінченно малою функцією вищого

(x) (x) o( (x))

порядку, ніж кожна з них.

Сума скінченної кількості

f(x) ax

m

bx

n

ax

m

,

нескінченно малих функцій різних

m n,x 0

порядків еквівалентна доданку

найнижчого порядку мализни.

(axm — головна частина н. м. ф. f (x))

Сума скінченної кількості

f (x) axm bxn

bxn ,

нескінченно великих функцій різних

m n, x

порядків еквівалентна доданку

найвищого порядку росту.

(bxn

— головна частина н. в. ф. f (x))

54

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

6.7. Визначні границі

Перша визначна границя

lim

sin x

1

x

x 0

Наслідки з 1-ої визначної границі.

 lim

tg x 1;

 lim arcsin x

1;

x 0

x

x 0

x

 lim 1 cos x

1

;

 lim arctg x

1

x 0

x2

2

x 0

x

Друга визначна границя

1

x

1 y

e

lim 1

x

lim(1 y)

y 0

x

Наслідки з 2-ої визначної границі.

 lim

loga(1 x)

1

;

 lim

ax

1

ln a;

x

x

ln a

x 0

x 0

 lim

ln(1 x)

1;

 lim

ex

1

1;

x

x

x 0

x 0

 lim

(1 x) 1

x 0

x

Розкриття степенево-показникових невизначеностей

v(x)

e

lim v(x) ln u(x)

v(x)

e

lim (u(x) 1)v(x)

x x0

x x0

 lim u(x)

 lim u(x)

1

x x0

x x0

6.8. Таблиця еквівалентностей

 sin x x, x 0.

 loga(1 x)

x

, x 0.

ln a

 tg x x, x 0.

 ln(1 x) x, x 0.

1 cos x

x2

, x 0.

ax 1 x ln a, x 0.

2

 arcsin x x, x 0.

ex 1

x, x 0.

 arctg x x, x 0.

(1 x) 1

x, x 0.

56

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

6.10. Неперервність функції на відрізку

Функція неперервна на відрізку. Функцію f (x) називають неперервною на

відрізку [a;b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a;b),

в точці a

неперервна справа, а в точці b — неперервна зліва.

Множину всіх неперервних на відрізку [a;b] функцій позначають C[a;b].

Властивості неперервних на відрізку функцій

Теорема про обмеженість функції

y

M

(Веєрштраса). Якщо функція f (x)

неперервна на відрізку [a;b], то вона

обмежена на ньому.

Теорема про найбільше та

найменше значення (Веєрштраса).

m

Якщо функція f (x) неперервна на

відрізку [a;b], то вона досягає на

O

a

b

x

ньому своїх найбільшого та

M max f (x), m min f (x)

найменшого значень.

x [a;b]

x [a;b]

Теорема про нулі функції

y

(Больцано — Коші). Якщо функція

f (x) неперервна на відрізку [a;b] і

B

набуває на його кінцях значень

A f (a) і B f (b) різних знаків, то

всередині інтервалу (a;b) знайдеться

a

c

принаймні одна точка c, для якої

O

b

x

f (c) 0.

A

Теорема про проміжні значення

y

(Больцано — Коші). Якщо функція

B

f (x) неперервна на відрізку [a;b], і

C

набуває на його кінцях різних значень

f (a) A, f (b) B, і C [A; B], то в

інтервалі (a;b) знайдеться принаймні

O

a

c

b

x

одна точка c, в якій

A

f (c) C.

Теорема про неперервність

обернена функція f 1(y) неперервна

оберненої функції. Якщо функція f (x)

на [A; B], де [A; B] — множина

строго монотонна і неперервна на

значень функції f (x).

відрізку [a;b], то

Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

57

6.11. Точки розриву функції

Точка розриву. Точку x0 називають

Порушено рівність

точкою розриву функції f(x), якщо

f(x0 0) f(x0

0) f(x0 ).

вона означена в околі точки x0 (окрім,

можливо самої точки x0 ), але не є

неперервною в цій точці.

Класифікація точок розриву

Розрив 1-го роду

обидві однобічні границі

(скінченний розрив)

f(x0 0), f(x0 0)

функції f (x) у точці x0

існують і скінченні

неусувний (стрибок)

f (x0 0)

y

f(a 0)

f (x0 0)

f(a 0)

O

a

x

усувний

f (x0 0)

y

f(a)

f (x0 0)