Практикум 2

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

41

Рівняння і нерівності з тангенсом

y

y arctg x

tg x a

n

x arctga n

y

y a

2

arctg a

a

tg x a

x arctga n,n

tg x a

arctg a n x

n

x

arctg a

x

2

O

2

2

tg x 0

x n, n

Рівняння і нерівності з котангенсом

y

y arcctg x

ctg x a

arcctga n x (n 1)

x

y a

ctg x a

x arcctga n, n

a

arcctg a

ctg x a

n x arcctga n

ctg x 0

x

n, n

y

O arcctg a

x

2

sin x a

sin x a

cos x a

cos x a

y

y

y

y

a

x

a

1

a

1

x

a

x

x

arcsin a

arcsin a

2

arccosa

arccosa

tg x a

tg x a

ctg x a

ctg x a

y

y

y

y

a

a

1

1

x

1

2

1

a x

a

x

x

2

arctg a

arctg a

arcctg a

arcctg a

Гіперболічний синус

y

y sh x ex e x .

y sh x

2

D(f ) , E(f ) .

O x

Функція непарна.

Зростає на .

Гіперболічний косинус

y

y ch x

ex e x

y ch x

2

Функція парна.

1

O

x

Гіперболічний тангенс

y

y th x sh x .

1

y th x

ch x

O

D(f ) , E(f ) ( 1;1).

x

1

Функція непарна;

зростає на .

Графік має горизонтальні асимптоти

y 1.

Гіперболічний котангенс

y

y cth x ch x .

y cth x

sh x

D(f ) \ {0}, E(f ) \ [ 1;1].

1

Функція непарна;

спадає на D(f ).

Вертикальна асимптота x 0;

O

x

горизонтальні асимптоти y 1.

1

Розділ 5. ФУНКЦІЇ

43

Парність (непарність) функцій

«Стандартні» значення.

 sh( x) sh x;

sh 0 0;

 ch( x) ch x;

ch 0 1;

 th( x) th x;

th 0 0

 cth( x) cth x

Основні тотожності.

Формули додавання.

 ch2 x sh2 x 1;

 sh(x y) sh x ch y sh y ch x;

 th x cth x 1;

 ch(x y) ch x ch y sh y sh x;

1 th2 x

1

;

 th(x y)

th x th y

;

ch2

x

1 th x th y

1 cth2 x

1

 cth(x y)

cth x cth y 1

sh2 x

cth y cth x

Формули кратних аргументів.

Формули зниження степеня.

 ch 2x sh2 x ch2 x;

 sh2 x ch 2x 1

;

 sh 2x 2 sh x ch x;

2

 sh 3x 4 sh3 x 3 sh x;

 ch2 x ch 2x 1

 ch 3x 4 ch3 x 3 ch x

2

Формули для універсальної

 sh x

2t

2u

;

гіперболічної підстановки

1

t2

t th x

або u cth x

u2 1

 ch x

1 t2

u2 1

2

2

1

t2

u2 1

Формули перетворення добутку гіперболічних функцій у суму.

 2 sh x sh y ch(x y) ch(x y);

 2 ch x ch y ch(x y) ch(x y);

 2 sh x ch y sh(x y) sh(x y)

Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток.

 sh x sh y 2 sh

x y

ch

x y

;

2

2

 ch x ch y 2 ch

x y

ch

x y

;

2

2

 ch x ch y 2 sh

x y

sh

x y

2

2

Основні елементарні функції. До

Елементарна функція. Функцію,

основних елементарних функцій

одержану скінченною кількістю

належать: стала, степенева,

суперпозицій і арифметичних дій над

показникова, логарифмічна,

основними елементарними функціями,

тригонометричні й обернені

називають елементарною.

тригонометричні функції.

Раціональні функції. Многочлен

Ірраціональні функції. Функцію,

Pn(x) називають цілою раціональною

утворену скінченною кількістю

функцією.

суперпозицій і арифметичних дій над

раціональними функціями і над

Pn(x)

Функцію R(x)

степеневими функціями з дробовими

називають

показниками і яка не є раціональною,

Q (x)

m

називають ірраціональною.

дробово-раціональною функцією.

Алгебричні функції. Раціональну

Трансцендентна функція.

або ірраціональну функцію називають

Елементарну функцію, яка не є

алгебричною.

алгебричною називають

трансцендентною.

Функція, задана різними

f1(x),

x X1,

аналітичними виразами

...

f(x) ...

x

X

f (x),

n

n

Функція знак числа (сигнум)

y

y sgn x

1

x

0,

1,

y sgn x

x

0,

0,

O

x

x

0.

1,

1

D(f ) , E(f ) { 1, 0, 1}.

Функція непарна.

Ціла частина числа

y

x n

,

x,

y [x]

1

y [x ]

n x

n 1,

1

n,

O 1

2 3

4 x

D(f ) , E(f ) .

Дробова частина числа

y

y {x}

y {x} x [x ]

1

D(f ) , E(f ) [0;1).

Функція періодична з періодом T 1.

1 O

1

2

3 x