Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

3. Факторіали. Біноміальні коефіцієнти

201

x 1,

2x,

x 0,

x 3,

x 4,

x 1,

1 x 0,

x 4,

2.8.

0 x 1, 4)

x 3;

x 4;

x 1,

0 x 1,

x 1;

2x 1,

x 1.

x 1,

2.9.1) { 2; 2}; 2) ; 3) [0; ); 4) ( ; 0); 5) (0; ); 6) .

2.10.1) { 1; 3}; 2) { 4; 2}; 3) ; 4) {2}.

2.11.1) ( ; 1] [1; ); 2) ; 3) ( 3; 1) (1; 3); 4) ( 2; 4); 5) ( ;1] [3; ); 6) [0;1].

2.13. 1)

7; 2)

1, 5; 3)

2; 4)

5; 5)

x 4

2; 6)

x 1

7) x 4 2; 8) x 1 3.

3. Факторіали. Біноміальні коефіцієнти

Навчальні задачі

3.1.Обчислити:

1)	4 !;	2) C50;
3) C51;		4) C52.

Розв’язання. [4.15.1, 4.15.3.]

1.4 ! 1 2 3 4 24.

2.C50 05! 5! ! 1.

3. C51

5 !

5 4 ! 5.

1 !(5 1)!

4 !

4. C52

5 !

5 4 3 !

10.

2 !(5 2) !

2 ! 3 !

1 2 3 !

3.2.Скоротити дріб:

(n 2) !

;

k !

3) !

n !

Розв’язання. [4.15.1.]

(n 2) !

(n 2)(n 1)n !

(n 2)(n 1).

n !

k !

k(k 1)(k 2)(k 3)!

k(k 1)(k 2).

(k 3)!

3.3.Піднести до квадрату:

1) (x 2)2;

2) (2a 3)2.

Розв’язання. [4.16.4.]

202 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

1. (x 2)2 x2 2 2 x 22 x2 4x 4.

2. (2a 3)2 (2a)2 2 2a 3 32 4a2 12a 9.

3.4. Піднести до кубу:

1) (x 2)3;	2) (2a 3)3.
Розв’язання. [4.16.4.]
1. (x 2)3 x3 3 x2 2 3 x 22 23 x3 6x2 12x 8.
2. (2a 3)3 (2a)3 3 (2a)2	3 3 2a 32 33 8a3 36a2 54a 27.

3.5.Розкласти за формулою різниці квадратів:

1) a2 4b2;

2) 4a10 1.

Розв’язання. [4.16.5.]

1.a2 4b2 a2 (2b)2 (a 2b)(a 2b).

2.4a10 1 (2a5)2 12 (2a5 1)(2a5 1).

3.6.Розкласти за формулою різниці (суми) кубів:

1) 27 a3;

2) a6 125.

Розв’язання. [4.16.5.]

1.27 a3 33 a3 (3 a)(9 3a a2).

2.a6 125 (a2)3 53 (a2 5)(a4 5a2 25).

Задачі для самостійної роботи

3.7.Спростіть вирази:

1)n ! (n 1)! ; (n 2) !

3)		1		1	;
	n		!	(n 1)!

3.8.Розкрийте дужки:

1)(x 3ay)2;

3) (2a b)3;

2)(n 1) ! n ! ; (n 1)! n !

14n2

4)(2n 1)! (2n 1)! .

2) (x 3y)3;

4) (2a b)3.

Відповіді

3.7. 1)

; 2)

; 3)

; 4)

n 1

n 2

(n 1)!

(2n 1)!

4. Прогресії	203
3.8. 1) x2 6axy 9a2y2; 2) x2 6xy 9y2; 3) 8a3 12a2b 6ab2	b3;
4) 8a3 12a2b 6ab2 b3.
4. Прогресії

Навчальні задачі

4.1.Арифметичну прогресію задано формулою n -го члена an 37 3n.

З’ясувати, чи є членом цієї послідовності число: 19; 7.

Розв’язання. [6.1.2.]

[Якщо число x є членом заданої прогресії, то існує таке натуральне число n,

що x 37 3n.]

19 37 3n 3n 18 n 6 ;

7 37 3n 3n 44 n 443 .

Число 19 є членом арифметичної прогресії, а число 7 — ні.

4.2.Знайти двадцятий член арифметичної прогресії, якщо a1 1,d 5.

Розв’язання. [6.1.2.]

a20 1 5(20 1) 96.

4.3. Знайти суму ста перших парних натуральних чисел.

Розв’язання. [6.1.2.]

Послідовність 2, 4, 6, ..., 2n, ... — арифметична прогресія з різницею d 2.

S	100	2 4 6 ... 198 200 2 200	100 10100.
	100	2
		2

4.4.Визначити, скільки треба взяти членів арифметичної прогресії з a1 6 і

d 2, щоб їх сума дорівнювала 168.
Розв’язання. [6.1.2.]
168	6 2(n 1)	n 168 2n n2	n 12.
168	2	n 168 2n n2	n 12.
	2

4.5.Знайти перший член і знаменник геометричної прогресії, якщо її сума

Sn 10(2n 1).

Розв’язання. [6.1.3.]

Нехай b1 — перший член заданої прогресії, q — її знаменник. Тоді

b1 S1 10 (2 1) 10;

b1 b2 S2 10 (22 1) 30.

204 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Отже, b2 30 b1 20;q b2 2. b1

Перший член b1 10, знаменник прогресії q 2.

4.6.Подати нескінченний десятковий дріб 0, 2(54) у вигляді звичайного дробу.

Розв’язання. [4.6.3, 4.6.1.]
Маємо:
0, 2(54) 0, 2545454... 0, 2 0, 054						0, 00054 0, 0000054 .....
Вираз 0, 054 0, 00054 0, 0000054 ....						можна розглядати як суму нескін-
ченної геометричної прогресії з першим						членом				b1 0, 054 і знаменником
q 0, 01. Тоді
0, 054 0, 00054 0, 0000054 ... 0, 054 1 0, 01 0, 012 ...
		, 054			0, 054			3
		, 054						3		.
	1	0, 01								.
Отже,	1	0, 01			0, 99		55
Отже,
0, 2(54) 0, 2				3		1	3		14 .
0, 2(54) 0, 2			55			1	55		14 .
			55			5	55		55

Коментар.  Суму нескінченної спадної геометричної прогресії з першим членом b1 і знаменником q знаходять за формулою

S b1 . 1 q

Задачі для самостійної роботи

4.7.З’ясуйте, чи є арифметичною прогресією послідовність, якщо так — укажіть її різницю:

1)	3, 6, 12, 24;	2)	4, 8, 12, 16;
3)	5, 10, 5, 10;	4)	42, 39, 36, 33.

4.8.1. Перший член арифметичної прогресії a1 4, різниця d 0, 4. Знайдіть: a3,a11.

2. Перший член арифметичної прогресії a1 17, різниця d 2. Знай-

діть: a4,a15.

4.9.Між числами 7 та 2 вставте:

1)два числа так, щоб вийшло чотири послідовних члени арифметичної прогресії;

2)три числа так, щоб вийшло п’ять послідовних члени арифметичної прогресії.

4. Прогресії

205

4.10. В арифметичній прогресії знайдіть:

1) a23, якщо a10 25,a30 95;

2) a2 a9, якщо a5 a6 18.

4.11.Знайдіть суму:

1) семи перших членів арифметичної прогресії {an }, якщо a1 9,a7 15;

2) шести перших членів арифметичної прогресії {an }, якщо a1 19,a6 14;

3)дванадцяти перших членів арифметичної прогресії, перший член якої a1 6, різниця d 4;

4)двадцяти перших членів арифметичної прогресії: 8, 6, 4, ...;

5)тридцяти двох перших членів арифметичної прогресії, яку задано формулою n -го члена an 4n 1;

6)двадцяти шести перших членів арифметичної прогресії, яку задано формулою n -го члена an 5n 2.

4.12.Знайдіть суму всіх:

1)непарних чисел від 1 до 135 включно;

2)двозначних чисел від 10 до 100.

4.13.Укажіть геометричні прогресії, перший член і знаменник кожної з них:

1)	2, 6, 18, 36;	2)	4, 8, 16, 32;
3) 10, 20, 30, 40;		4)	81, 27, 9, 3;
5)	2, 2, 2, 2;	6)	9, 9, 9, 9.

4.14. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії {bn }, якщо:

1) b 8,q 4;	2) b 16,q 3 .
6	8	4
		4

4.15. Знайдіть вказані члени геометричної прогресії, якщо:

1) y	64,q	1 , y		, y ;	2) y	9,q 1, y , y	50	.
1		2	6	10	1	21	50
		2

4.16. Знайдіть:

11 1

1)знаменник і п’ятий член геометричної прогресії 216 , 36 , 6 , ...;

2)знаменник і шостий член геометричної прогресії 18, 12, 8, ....

206 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

4.17. Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо:

1) b	1 ,b			64;	2) b	75,b	27.
1	2		8		6	8
	2
4.18. Знайдіть перший член геометричної прогресії {bn }, якщо:
1) b		1	, q 2 ;		2) b	100,b	100000.
1) b			, q 2 ;		2) b	100,b	100000.
4	98			7	6	9
	98			7

4.19.Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії {bn }, зі знамен-

ником q, якщо:

1) b1 0, 6;q 2, n 5;	2) b1	4,q 1, n 10;
	4) b	8,q 1 , n 4.
3) b 9;q 3, n 6;	4) b	8,q 1 , n 4.
1	1	2
		2

4.20. Запишіть звичайним дробом нескінченний десятковий періодичний дріб:

1)	0, (1);	2)	0, 2(6);
3)	0, (24);	4) 1, (18).

Відповіді

4.7.1), 3), 6) ні; 2) d 4; 4) d 3; 5) d 2.

4.8.1) a3 4, 8;a11 8; 2) a4 11,a15 11.

4.9.1) 4, 1; 2) 194 , 104 , 14 .

4.10.1) a23 70, 5; 2) a2 a9 18.

4.11. 1) 84; 2) 99; 3) 192; 4) 220; 5) 2080; 6) 1703. 4.12. 1) 4624; 2) 4905.

4.13. 1), 3) ні; 2) b1 4,q 2; 4) b1 81,q 3 ; 5) b1 2,q 1; 6) b1 9,q 1.

4.14. 1) b7 32; 2) b7 643 .

4.15. 1) y6 2, y10 8 ; 2) y21 9,y50 9.

264

4.16.1) q 6,b5 6; 2) q 3 ,b6 27 .

4.17.1) 2; 2) 35 або 53 . 4.18. 1) 167 ; 2) 0, 001.

4.19. 1)	S5 18, 6; 2) S10							0; 3) S6		234	; 4) S4 5.


										3 1
4.20. 1)	1	; 2)		4	; 3)	8	;	4)	13 .
4.20. 1)	9	; 2)	15		; 3)	33	;	4)	13 .
	9		15			33			11

Рис. до зад 5.1

y 12 x 1.

5. Лінійна функція

207

5. Лінійна функція

Навчальні задачі

5.1. Зобразити графік функції y 2 x 1.

Розв’язання. [5.4.2.] 

[Знаходимо точки перетину прямої з осями коорди-

нат і заповнюємо таблицю .] x 0 2

y 1 0

[Зображуємо пряму.]

Коментар.  Оскільки графіком лінійної функції є пряма, то, для того щоб зобразити її, достатньо вибрати будь-які дві різні точки на цій прямій. Скажімо, точки перетину прямої з осями координат A(0; y1), B(x2; 0). Для цього поклада-

ють, спершу x 0 і знаходять y1, потім — y 0 і знаходять x2 з лінійного рівняння.

Покладаючи x 0, маємо y1 1.

Покладаючи y 0, маємо 0 12 x2 1 x2 2.

5.2. Розв’язати рівняння 2x 4 0.

Розв’язання. [5.4.3.]

2x 4 0 2x 4 x 42 2.

x 2.

5.3.1. Розв’язати нерівність 2x 8.

Розв’язання. [5.4.3.]

2x 8 x 82 x 4.

x (4; ).

5.3.2. Розв’язати нерівність 3x 15.

Розв’язання. [5.4.3.]

3x 15 x 15 x 5.3

x ( ; 5].

208 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Задачі для самостійної роботи

5.4.Побудуйте графік функції:

1)	y x 1;			2)	y 3;
3) x 2;				4) y 2x 4;
5) y		x 2	;	6) y		x	2;

7) y x 1 x 1 .

5.5.Розв’яжіть рівняння:

1)	3x 75;	2)	9x 0;
3)	x 8;	4)	3x 5	16;
	3
5) 1 2x 15;		6)	2x 1	x 4 .
			5	7

5.6.Розв’яжіть нерівності:

1)	2x 22;	2)	7x 21;
3)	3x 15;	4)	x 1	2;
			2

5.7.Розв’яжіть рівняння:

2x 1

5x 2

x 3

48;

x 1

x 5

;

x 1

x 2

x 1

5.8.Розв’яжіть нерівність:

2x 3

3x 2

x 1

2x 5

x 1

Відповіді

5.5.1) 25; 2) 0; 3) 24; 4) 7; 5) 7; 6) 3.

5.6.1) (11; ); 2) ( ; 3]; 3) ( ; 5); 4) ( ; 5).

														6. Квадратична функція								209
			5		3
5.7.			5	,	3		;	2) ; 3)		11				4) {2}; 5) ;		6)		[ 2;1].
5.7.	1)			,			;	2) ; 3)				;		4) {2}; 5) ;		6)		[ 2;1].
			2 2								3
			2 2								3								5
		1 5								5			1				1		5
5.8.		;							;												; 5 ; 5) [0;1];	6) .
5.8.	1)	;		;		2)			;					; ; 3)				; ; 4)			; 5 ; 5) [0;1];	6) .

		2 2								3		3			2					3
																				3

6. Квадратична функція

Навчальні задачі

6.1.1. Розв’язати рівняння x2 3x 4 0.

Розв’язання. [5.5.7.]

[Крок 1.	Виписуємо коефіцієнти рівняння ax2 bx c 0.]
[Крок 2.	a 1,b 3, c 4.
[Крок 2.	Знаходимо дискримінант квадратного рівняння.]
	D 3 2 4 1 4 9 16 25.

[Крок 3. Аналізуємо наявність чи відсутність коренів. Якщо корені є, знаходимо їх за формулою [5.5.4.]]

Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння має два різних корені:

						3 5
					x1			4,
	3 25		3 5
x1,2	3 25		3 5			2
x1,2	2	1	2			2
	2	1	2			3 5	1.
				x2		2	1.
						2

x1 4, x2 1.

6.1.2. Розв’язати рівняння 9x2 12x 4 0.

Розв’язання. [5.5.7.]

a 9,b 12, c 4.

D 12 2 4 9 4 144 144 0.

Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння має два рівні корені

[один двократний корінь]:


x		x			12		12	2 .
	1		2
				2		9	18	3

x1,2 3 .

6.1.3. Розв’язати рівняння x2 x 1 0.

Розв’язання. [5.5.7.]

a 1,b 1, c 1.

D 1 2 4 1 1 1 4 3.

210 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння не має дійсних коренів. Розв’язків немає.

6.2.1. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння

x2 2x 3 0.

Розв’язання. [5.5.6.]

[Записуємо співвідношення теореми Вієта і підбираємо розв’язки системи.]

				x		2;			1,
	2	x	1	x	2	2;	x	1	1,
x	2		1		2			1
x		2x 3 0		x2 3					3.
		x1		x2 3			x	2	3.

x1 1, x2 3.

6.2.2. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння

x2 6x 5 0.

Розв’язання. [5.5.6.]
						x		6;			1,
	2			x	1	x	2	6;	x	1	1,
x	2	6x 5	0		1		2			1
x		6x 5	0			x2 5.					5.
				x1		x2 5.			x2		5.

x1 1, x2 5.

6.2.3. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння

2x2 x 1 0.

Розв’язання. [5.5.6.]
[Ділимо рівняння на старший коефіцієнт.]
																			1
																			1
														x2						;			x	1
						2	1			1		x1		x2						;				1
					x	2	1	x		1									2
					x			x				0							2
							2			2				x		1 .
							2			2		x		x		1 .							x	2
													1		2
													1		2				2
																			2
x	1	1, x		2	1 .
	1			2	2
					2
6.3.			Розкласти на множники тричлен 16x2 15x 1.
Розв’язання. [5.5.5.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного рівняння.]
											a 16,b 15, c 1.
						D 152			4 16 1 225 64													289
																						1
												15 17					x					1	,
									x1,2			15 17					x						,
									x1,2			32						1			16
												32							1.
																	x	2	1.

12 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2521 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc