Практикум 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x 1 0 ln(1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

8. Похідні вищих порядків

131

8. Похідні вищих порядків

Навчальні задачі

8.1.Знайти похідні вказаного порядку функції f :

1) f(x) 5x	4	, f		2) f (x) sin	2	x, f	(5)	(x);
			(x);

3) f(x) ln(x a2 x2 ), f (x).

Розв’язання. [7.4.1.]

;

120x.

1) f (x) 20x

f (x)

(20x

)

60x

f (x)

(60x

)

2) f

sin 2x;

2 cos 2x;

(x) 2 sin x cos x

(x)

f (x) 4 sin 2x;

f (4)(x) 8 cos 2x;

f (5)(x) 16 sin 2x.

3) f

a2 x2

(x) x a2 x2

a2 x2 ;

(x) (a2 x2 )3 2 .

8.2.

Знайти похідну:

1) y(100), y (x2

1) cos 2x;

2) y(n), y

x 3

3x 2

Розв’язання. [7.4.5.]

1) [Щоб знайти похідну, використовуємо Лейбніцову формулу.] u cos 2x, v(x) x2 1, n 100.

100

(uv)(100)

C100k u(100 k)v(k)

k 0

v(0)(x) x2

1 C1000

u(100)(x) 2100 cos 2x

100

(99)

(x)

sin 2x

(x) 2x

C100

4950

(98)

(x) 2

cos 2x

(x) 2

C100

(x) 0........................................................................

Оскільки

[7.4.7]

u(100)(x) 2100 cos 2x 50

2100 cos 2x;

(99)

sin 2x;

(x) 2

cos

u(98)(x) 298 cos 2x 49 298 cos 2x.

C 1

[4.15.5]

100 !

100;

100

1 ! 99 !

132 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

C 2		100 !	[4.15.5]	100 99 4950.


100	2 ! 98 !			1 2

Отже,

y(100)(x)

2100 cos 2x (x2 1) 100 2100 sin 2x x 4950 299 cos 2x 0 ... 0

2100 (x2 2474) cos 2x 100x sin 2x .

2)Функція означена і диференційовна на ( ;1), (1; 2), (2; ).

[Розкладаємо дробово-раціональний вираз на суму елементарних дробів

[8.4.6].]

x 3	A	B	(A B)x B 2A	.
(x 1)(x 2)	x 1	x 2
			(x 1)(x 2)

[У рівних дробів, з рівними знаменниками, повинні бути рівні чисельники. Два многочлена тотожно рівні (тобто для всіх значень x), якщо вони мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.]

A B 1, x 3 (A B)x B 2A

B 2A 3.

x 3

x2 3x 2

x 2

(n)

(n) [7.4.7]

n !

(n)

( 1) n !

( 1)

n 1

x 1

x 2

(x 1)

(x 2)

8.3.Знайти другу похідну функції y(x), заданої параметрично:

a cos t,

b sin t, t [0; 2 ).

Розв’язання. [7.4.6.]

a cos t, t [0; 2 ),

[0; 2 ),

x a cos t, t

b 1

y (x) :

b cos t

y (x) :

ctg t.

a sin

yx (t)

2 (t)

a sin t

sin

8.4.Знайти похідну y неявної функції, заданої співвідношенням:

y x arctg y.

Розв’язання.

[Знаходимо 1-шу похідну функції, заданої неявно.] y x arctg y 0.

				8. Похідні вищих порядків																		133
				y 1					y				0;

								y			2
							1	y			2
								1
								1
				y		1							1;
				y		1							1;
							1 y			2
							1 y
				y		1 y2						1
														1.
							y2					y2		1.
							y2					y2
[Диференціюємо вираз для y за змінною x.]

	1				2y							2			1			2		2
	1				2y							2			1			2		2
y			1														1					.
y		2	1				3						3			2	1		3		5	.
		2				y	3					y	3			2		y	3	y	5
y						y						y		y				y		y

підставляємо вираз для y

8.5.Знайти диференціал 2-го порядку функції f (x) ln(1 x2).

Розв’язання. [7.4.4.] 

	2x				2(1 x2 )		2		2(1 x2 ) 2
	1 x2				(1 x2 )2				(1 x2 )2 dx
f (x)	1 x2	;	f	(x)	(1 x2 )2	;	d	f	(1 x2 )2 dx	.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

8.6.Знайдіть зазначену похідну:

f (x) x

4, f

(1);

f (x) (x 10) , f

(2);

f (x) x

ln x, f

(x);

f(x) ln(x

1 x

), f

(x);

f (x) xex , f (n)(x);

f (x) ln(ax b), f (n)(x);

7) f (x)

, f

(n)(x);

f (x)

, f (n)(x).

x 2

3x 2

8.7.Знайдіть зазначену похідну функції y y(x), заданої неявно:

1) x3 y3 3axy 0,y ; 2) y sin(x y), y ;

	3) y tg(x y), y ;		4) ex y xy, y .
8.8.		функції y	y(x), заданої параметрично:
	Знайдіть похідну yxx

1)x a cos3 t, y a sin3 t;

2)x a( sin ), y a(1 cos );

3) x ln t, y t2 1;

4) x arcsin t, y ln(1 t2).

134 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

8.9.Застосуйте Лейбніцову формулу до обчислення похідної:

1) [(x2

1) sin x ](20);

2) [(x 3 2)e4x 3 ](4);

3) (ex sin x)(n);

4) (x3 ln x)(5).

8.10.

Знайдіть диференціал d2y функції:

1) y 4 x2 ;

2) y ln2 x 4.

8.11.

y ln

1 x

, x

tg t; виразіть d2y через: 1) x та dx;

2) t та dt.

1 x

Відповіді

8.6. 1) 207360; 2) 360;

; 4)

;

5) ex (x n);

( 1)n 1an(n 1)!

;

(ax b)n

x 2 )3

n !

7) ( 1)

;

8) ( 1)

n 1

(x 1)

(x 2)

(x 1)

8.7. 1)

2a3xy

; 2)

; 3)

2(3y4 8y2 5)

; 4) y((x 1)2

(y 1)2) .

(y2 ax)3

(1 cos(x y))3

x2(y 1)3

8.8. 1) yxx : x

a cos3 t,yxx(t)

;

3a cos4 t sin t

2) yxx

: x a( sin ),yxx ( )

; 3) yxx : x

lnt,yxx(t) 4t2;

a(1 cos )

4) yxx

: x arcsin t, yxx (t)

8.9. 1) (x2 379)sin x 40x cos x; 2)

32e4x 3(8x3

24x2 18x 19);

3) ex Cnk sin

;

k 0

4 ln x 4 ln3 x

8.10. 1) 4 x

2 ln 4 (2x2 ln 4

1)dx2; 2)

dx2.

(ln

8.11. 1) d2y

d2x

4(1 3x 4)

dx2;

2) d2y

dt2.

cos 2t

9. Правило Бернуллі — Лопіталя

Навчальні задачі

9.1.

Перевірити Ролєву теорему для функції f(x) x x3 на [ 1; 0] та [0;1].

Розв’язання. [7.6.1.]

Оскільки

f (x)

неперервна і диференційовна на

, то вона є неперервною на

відрізках [ 1; 0] та [0;1] і диференційовною в інтервалах ( 1; 0) та (0;1).

9. Правило Бернуллі — Лопіталя	135
f ( 1) f (0) f(1) 0.

Отже, на [ 1; 0] та [0; 1] виконано всі умови Ролєвої теореми для функції f(x). Знайдімо значення , про яке йдеться у теоремі:


f (x) 1 3x2.
f ( ) 1 3 2 0 1,		2	1;
1	3	2	3
1 ( 1; 0), 2	(0;1).

9.2.Довести, що для многочлена P(x) (x2 1)(x 3)(x 2)(x 1) в ін-

тервалі ( 3;1) існує корінь рівняння P (x) 0.

Розв’язання. [7.6.1.]

Оскільки

P( 3) P( 2) P(1) 0,

і P(x) — функція диференційовна на , то для функції P(x) виконано всі умо-

ви Ролєвої теореми на [ 3; 2] і [ 2;1] :

1 ( 3; 2) : P ( 1) 0;

2 ( 2; 1) : P ( 2 ) 0.

Для функції P (x) на [ 1; 2 ] ( 3; 1) виконано всі умови Ролєвої теореми:

( 1; 2) ( 3;1) : P ( ) 0.

9.3.Перевірити Лаґранжову теорему для f(x) 3x4 на [ 1;1].

Розв’язання. [7.6.2.]

Функція f (x) неперервна на відрізку [ 1;1] і диференційовна в інтервалі

( 1;1). Отже, виконано умови Лаґранжової теореми для f(x) 3x4 на [ 1;1].

			4 3
			4 3	x; f(1) f( 1)
	f (x)		3	x; f(1) f( 1)						2f ( );
			4 3
	0		4 3		0 ( 1; 1).
			3
9.4.	Довести нерівність
		arctg a arctg b							a b			.
		arctg a arctg b							a b			.
Розв’язання. [7.6.2.]
Для	a b, нерівність виконано. Отже,						нехай				a b. Тоді для функції
y arctg x на [a;b] виконано умови Лаґранжової теореми.
			f (x)			1		.

						x2
				1		x2

1 arctg a arctg b a b .

136 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

arctg a arctg b a b

1	, (a;b).
1 2

9.5. З’ясувати	чи	застосовна теорема Коші для функцій f(x) cos x,
g(x) x3		;
g(x) x3	на	;		?
		2	2
		2	2

Розв’язання. [7.6.3.]
Функції f (x) і g(x) неперервні і диференційовні на		;		. Але
Функції f (x) і g(x) неперервні і диференційовні на		;		. Але
		2	2
		2	2
g (0) 3x 2 \|	0.
x 0

Невиконання умови теореми призводить до невиконання твердження:

sin	cos( ) cos( )
sin	2	2
			0	2	;	.
3	(2)	( 2)	0		;	.
3	(2)	( 2)				2
2	3	3

9.6.Знайти границю:

1) lim

2) lim

;

x 0

3)lim x50 2x 1 ;

x1 x100 2x 1

5)lim (1 x)ln x .

x1 0

4) lim	x sin x	;

x 2x sin x

Розв’язання. [7.6.4.] 

ex x 1

1) lim

[ ] lim

lim

x(e

x 0

ex x 1

ex 1

lim

x 0

2)lim x2

xex

L;
L;


lim	(x	2
lim	(x		)
x	(e	x
x		x	)
			)
lim
lim	(2x)
x	(e	x
	(e		)

lim 2x

xex

	lim	2


	x ex

		M;
		M;

0 M L.

9. Правило Бернуллі — Лопіталя

137

x50 2x 1

3) lim

x 1

100

2x 1

50x

lim

2x 1)

lim

100

x 1

100x

2x 1)

x sin x

lim

2x sin x

1 cos x

lim

(x sin x)

lim

(2x sin x)

2 cos x

тобто правило Бернуллі — Лопіталя не застосовне, але

x sin x

sin x

1 .

lim

x 2x sin x

sin x

lim (1 x)ln x [00 ]

ln x

(x 1),

[1.23.6]

lim ln(1 x ) (x 1)

ex 1 0

x 1 0

ln(1 x)

exp lim

x 1 0

lim (1 x )

exp lim

(1 x)

1 L.

x 1 0

(1 x)

Коментар. Щоб перетворити вираз на частку при потребі використовують формули:

fg	f	g	; f g eg ln f (f 0);	f g	g1	1f	.
fg	g 1	f 1	; f g eg ln f (f 0);	f g	1	1	.
	g 1	f 1			1	1
					f	g

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

9.7.Нехай f(x) x(x 1)(x 2)(x 3). Доведіть, що всі три корені рівнян-

ня f (x) 0 дійсні.

9.8.Доведіть, що рівняння 16x4 64x 31 0 не може мати двох різних дійсних коренів у інтервалі (0;1).

9.9.Доведіть, що рівняння ex 1 x 2 0, яке має корінь x 1 (перевірте!), не має інших дійсних коренів.

9.10.Застосовуючи Лаґранжову формулу для функції f(x) 3x3 3x на відрізку [0;1], визначте точку x , що фігурує у формулі.

138 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

9.11. Застосовуючи

Лаґранжову

формулу,

доведіть

нерівність

ex 1 x, x 0.

9.12. Застосовуючи		формулу Коші для функцій f (x) 2x3 5x 1 та
g(x) x2	4	на відрізку [0; 2], визначте точку x , що фігурує у фо-
рмулі.

9.13.Користуючись правилом Бернуллі — Лопіталя, знайдіть:

1)lim x100 x 2 ;

x 1 x50 x 2

3)lim ln sin ax ;

x0 ln sin bx

5)lim x sin x ;

x0 x tg x

9)lim (xne x );

11) lim sin(x 1) tg	x	;
x 1	2

		1
13) lim		1
13) lim	ctg x		;
x 0
		x

15)lim (( 2 arctg x) ln x);

17)lim (arcsin x)tg x ;

19)lim (ctg x)1 ln x ;

2)lim 2x 3x ;

x0 4x 5x

4)lim 3x 35 ;

x5 x 5

6) lim ln x	;
x x 3

8)lim e x cos x ;

x0 e x cos x

		x	1
10) lim				;
10) lim				;
x 1
	x 1		ln x

12)lim (x ln3 x);

14) lim ln x ln(x 1);

x1 0

16)lim xsin x ;

18) lim x1 x ;

20) lim (tg x)2x .

x 2 0

9.14. Перевірте, що lim x sin x	існує, але його не можна обчислити за пра-
x x sin x
вилом Бернуллі — Лопіталя.

									10. Тейлорова формула														139
Відповіді
9.10.		1		. 9.12. 1		1		, 2		5	.
9.10.				. 9.12. 1				, 2			.
		3			2				3
9.13. 1)	101		;	2)	ln 2 ln 3		;	3) 1;	4)				2	; 5)	1	;	6) 0; 7) ;	8)	;	9) 0; 10)	1	;	11)	2	;
9.13. 1)			;	2)			;	3) 1;	4)					; 5)		;	6) 0; 7) ;	8)	;	9) 0; 10)		;	11)		;
51					ln 4 ln 5							3	6 5		2						2

12); 13) 0; 14) 0; 15) 0; 16) 1; 17) 1; 18) 1; 19) e1 ; 20) 1.

10.Тейлорова формула

Навчальні задачі

10.1.Записати формулу Тейлора для нескінченно диференційовної функції f (x) у точці x0 :

1)2-го порядку із залишковим членом у формі Пеано;

2)3-го порядку із залишковим членом у формі Лаґранжа.

Розв’язання. [7.7.2, 7.7.5, 7.7.6.]

f (x0)

(x0)

f (x) f (x0)

x0)

(x x0)

o((x x0) ), x x0.

1 !

2 !

f (x) f (x0)

f (x0)

x0)

1 !

f (x

0 )

f (x0 )

f (4)( )

x0 )

(x x

0 )

(x x

0 ) ,

(x0; x).

2 !

3 !

4 !

10.2.Функцію f (x) розвинути за степенями (x 2), якщо:

1)f (x) 2x 4 5x3 3x2 8x 4;

2) f (x)

до члена, що містить (x

2)3.

1 x

Розв’язання. [7.7.2, 7.7.5.]

1) Многочлен має похідні будь-якого порядку:

f (2) 0;

15x

f (x) 8x

f (2)

30x 6,

(x) 24x

f (2) 30;

66;

f (x)

48x 30, f

(2)

f (4)(x) 48;

f (k)(2) 0, k 5, 6, ....

f (x) 15(x 2)2 11(x 2)3 2(x 2)4.

140 Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2) f (x)		x	1		1		, x0 2, n 3.
2) f (x)	1	x	1	x	1		, x0 2, n 3.
	1	x		x	1
					3			f (k)(2)	(x 2)k o (x 2)3 .
			f(x)					f (k)(2)
			f(x)					k !
					k 0			k !
				1	k 0					2		6
		f (x)		1		; f (x)				2	; f (x)	6		.

					1)2					1)3		1)4
			(x		1)2				(x	1)3	(x	1)4
						f (2) 2,
						f (2) 2,				f (2) 1;
					f (2) 2,					f (2)	6.
		f(x) 2 (x 2) (x 2)2 (x 2)3 o (x 2)3 .
10.3. Розвинути за степенями x функцію f (x) ex ln(x 1)													до члена, який

містить x3 включно.

Розв’язання. [7.7.8.]

[Записуємо формули Тейлора — Маклорена 3-го порядку для функцій f (x) ex

та f(x) ln(x 1).]

				ex		1 x					x		2			x 3				o(x 3 ),
				ex		1 x					2 !					3 !				o(x 3 ),
											2 !					3 !
				ln(1 x) x									x2				x 3					o(x3).
				ln(1 x) x																		o(x3).
x						x	2		x	3			2				3	3						x	2			x	3			3
x						x			x								3							x				x				3
e ln(1 x) 1 x												o(x									x									o(x
e ln(1 x) 1 x												o(x						)			x									o(x			)
						2 !			3 !															2				3
						2 !			3 !															2				3

	2		1		3	1		1												3						x	2			x	3			3
x x	2	1	1	x	3	1		1				1			o(x					3		) x				x				x		o(x		3	).
x x		1		x											o(x							) x										o(x			).
						2		2																		2				3
			2			2		2				3														2				3
			ex ln(1 x) x											x2					x		3		o(x 3 ).
			ex ln(1 x) x												2					3			o(x 3 ).
															2					3

10.4. Обчислити 330 з точністю до 10 4 за допомогою Тейлорової формули.

Розв’язання. [7.7.8.]

[Перетворюємо підкореневий вираз — шукаємо найближчий повний куб.]

								1				1

3	30	3	27	3	3	27	1		3	3	1		.
	30		27	3		27	1		3		1		.
												9
								9				9

[Записуємо Тейлорову формулу для функції f (x) (1 x)13 і залишковий член у Лаґранжовій формі.]

1 3		n	1	1			1		k

	1							x		R (x),
(1 x)					1	...		k 1
			3	3			3			n
		k 1						k !

k множників

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc