Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2525

		10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції					241
10.21. Спростіть вираз:

1)					2) cos(2 t);
1)	sin			t ;	2) cos(2 t);

	2

3) sin( t);
3) sin( t);					4) cos	t ;

					2

5)					6) ctg( );
5)	tg		t ;		6) ctg( );

	2

7) sin( t) cos(2 t) . tg( t) cos( t)

10.22. Обчисліть за допомогою формул зведення:

5			11
1) cos ;	2)
1) cos ;	2)	sin	;
3
3			6

3) sin( 7 ) 2 cos 31 tg 7 ; 3 4

10.23.Спростіть:

1)sin( ) sin cos ;

	5	1
	5	1	cos ;
3) sin			cos ;
	6	2
	6	2

5)cos( ) cos cos ;

10.24.Обчисліть:

4) sin 75 sin 15 .

2) sin sin cos( );


	3
4)	3		5
		sin cos		;
		sin cos		;
	2
	2		3

6) sin cos sin( ).


1)	cos	5 cos	3	sin	5 sin	3	;	2)	cos		cos	sin			sin		;
1)	cos	5 cos	8	sin	5 sin	8	;	2)	cos		cos	sin		12	sin	4	;
		8	8		8	8			12			4		12		4
3)	sin 77 cos 17 sin 13 cos 73 ;							4)		tg 25 tg 20			.
3)	sin 77 cos 17 sin 13 cos 73 ;							4)					.
									1 tg 25 tg 20

10.25. Спростіть:

1)		2 sin2 1	;		2)	sin 2t	sin t;
1)	1 2 cos2		;		2)	cos t	sin t;
	1 2 cos2					cos t
3)	cos2 t cos 2t;				4)	sin 40		;
						sin 20
5)		cos 80		;	6)	sin t			;
5)		cos 40 sin 40		;	6)	2 t			;
		cos 40 sin 40				2 t
						2 cos
						2 cos	2

242 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

7)				cos t				;

		cos		t	sin		t
		cos			sin
	2					2

8)													1 cos x tg x
8)			1 cos 2x						2 sin x, x [0; 2 ]; 9)				1 cos x tg x						, x ( ; ).
													1 cos x				2
10.26. Обчисліть:
1)	2 sin 15 cos 15 ;									2)	cos2			15 sin2 15 ;
3)	2 sin cos					;				4)		10 sin 40 sin 50						.
3)	2 sin cos					;				4)								.
	8					8								cos 10
10.27. Перетворіть на добуток:
1)	sin 3t sin t;									2)	cos 6t				cos 4t.
10.28. Перетворіть на суму:

1)	sin( ) sin( );									2)
1)	sin( ) sin( );									2)	cos					cos				;
														2
														2		2	2			2

3)sin cos( ).

10.29.Перетворіть вираз до вигляду A sin( t ), A 0 :

1)	sin 5x cos 5x;							2)
1)	sin 5x cos 5x;							2)		3 sin x cos x;
3) 12 cos x 5 sin x;								4) sin x cos x.
10.30. Знайдіть значення інших тригонометричних функцій кута ,																		якщо:
1)	sin 1 , 0						;	2)	sin					1	,			3	;
	3						2							8				2
3)	cos 2		,		;			4)	cos			4		, 3		2 ;
	5			2								5			2
5)	tg					;		6)	ctg 3,								3 .
5)	tg	15,				;		6)	ctg 3,								3 .
				2													2
10.31. Обчисліть:
				2								1
1)								2)					tg
1)	arcsin 2 cos					;		2)	arccos				tg		;

					3						2				3
			7													2
			7													2
3)								4)					3 ctg
3)	arctg 2 cos				;			4)	arcctg				3 ctg			.

				6												3

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції

243

10.32. Обчисліть:
		2
1)		2
1)	sin arcsin		;

		5
		3
3)		3
3)	sin arccos		;

		5

5)		5

	tg arccos		;
		13
		13
10.33. Обчисліть:
1)	arcsin(sin 1, 2 );

3)arcsin sin 6;

10.34.Розв’яжіть рівняння:

1)sin 3x 0;

3)	sin	x		1;
3)	sin	2		1;
		2
5)	sin x				1	;
					3

							3
7)			5x			5	3
	cos							;
	cos							;
							2
						12	2

10.35.Розв’яжіть нерівність:

1)sin 2x 0;

3) tg 3x 0;

5)cos x 19 ;

7)ctg 3x 4;

9)cos x 7 . 4 8

			1
2)			1
2)	tg arctg			;
			3
			3
4)					5

	cos	arcsin				;
					13
					13
6)	tg(arcsin 0, 6).

2)arctg tg 3, 3 ;

4)arccos cos 11.

2)cos x4 0;

4) cos 2x 1;

6)	tg x 5;

8)	x	2	1.
8)	ctg		1.

	2	3

2) cos 3x 0;

4) sin x 12 ;

6) tg 4x 3;

	x		4
8)				;
8)	sin			;
			5
	2	3	5

244 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

10.36.Знайдіть область означення функції: 1) y arcsin(5x 1);

3)y tg ;

10.37.Знайдіть множину значень функції:

3)y 5 sin 5x;6x

5) y arccos x ;

7) y 5sin x ;

	x 5
2)
2)	y arccos	;

	6


4)
4)	y ctg x	.

		3

4) y 6 2 cos x;

6) y arcsin x ;

		cos x
	1
	1		.
8) y			.

	3

10.38. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:


1) y 2 cos										2)									1;
1) y 2 cos			x						;	2)	y cos 2x								1;
							3
							3										4
	1											x
3) y sin										4)								1;
3) y sin			x						;	4)	y sin							1;
	2						3
	2						3					2				4

5)										6)
5)	y tg x					;				6)	y ctg x						;

					6											3


7)										8) y sin			x	;
7)	y tg 2x							;		8) y sin			x	;


						3
9) y		cos x		;						10) y		sin x			.
9) y		cos x		;						10) y		sin x			.

10.39. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:

1)	y 2 arcsin(x 1)		;	2)	y	1 arccos(x 2)		;
		2				2	4
3)	y 3 arctg(x 1)	;		4)	y	1 arcctg(x 3);
		2				3
5)	y sin(arcsin x);			6)	y tg(arctg x);
7)	y arccos(cos x);			8) y arcctg(ctg x).

10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції

245

Відповіді

3 4

10.19.1) 9 ; 2) 4 ; 3) 4 ; 4) 3 .

10.20.1) 10 ; 2) 45 ; 3) 120 ; 4) 210 .

10.21. 1) cos t; 2) cos t; 3) sin t; 4) sin t; 5) ctg t;																															6) ctg ; 7) cos t.
10.22. 1)	1		;	2)	1 ;			3) 2; 4)				1 .
	2				2							4
10.23. 1) sin cos ; 2)											cos cos ; 3)									3	sin ; 4)										1 cos ; 5)		sin sin ;								6) sin cos ;
10.23. 1) sin cos ; 2)											cos cos ; 3)								2		sin ; 4)										1 cos ; 5)		sin sin ;								6) sin cos ;
																			2												2
				; 2) 1
10.24. 1)			2					; 3)			3	; 4) 1.
10.24. 1)	2							; 3)			2	; 4) 1.
	2				2						2
10.25. 1) 1; 2) sin t; 3) sin2 t;															4) 2 cos 20 ;							5) cos 40 sin 40 ; 6)																tg t ; 7)			cos t sin t				;
																																								2	2			2

																						2				cos x sin x, x 0;													,

																																						2
8) 1 cos 2x									2 sin x, x [0; 2 ];
8) 1 cos 2x									2 sin x, x [0; 2 ];										9)

																												0,				x					; 0			.
																												0,				x			2		; 0			.

10.26. 1)	1		;	2)		3		; 3)			2		; 4) 5 tg 40 . 10.27. 1) 2 cos 2t sin t; 2) 2 cos t cos 5t.
10.26. 1)	2		;	2)	2			; 3)			2		; 4) 5 tg 40 . 10.27. 1) 2 cos 2t sin t; 2) 2 cos t cos 5t.
	2				2						2
10.28. 1)	1		(cos 2 cos 2 ); 2) 1															(cos cos ); 3)														1 (sin( 2 ) sin );
	2														2																	2
																																					12

10.29. 1)		2 sin										2) 2 sin													3) 13 sin																			x
10.29. 1)		2 sin			5x						;	2) 2 sin							x ;						3) 13 sin							x arctg								; 4)		2 sin		x		.

										4								3																				5							4
10.30. 1) cos 2 2																												1		;
										, tg 2								2, ctg										1
										, tg 2								2, ctg
								3																2				2

2) cos 3							7 , tg					1					, ctg 3
												1												7;
																								7;
				8								3			7
																															sin 3										3 , ctg				4
3) sin				21		, tg								21		, ctg								2					; 4)					, tg											4	;
3) sin				5		, tg						2				, ctg													; 4)					, tg												;
				5								2												21								5									4				3
																																	1										3			1 .
5) cos 1						, sin						15			, ctg								1				; 6) sin						1			, cos							3	, tg
5) cos 1						, sin									, ctg												; 6) sin									, cos								, tg
				4								4										15											10								10					3

10.31.1) 2 ; 2) 6 ; 3) 3 ; 4) 34 .

10.32.1) 25 ; 2) 13 ; 3) 45 ; 4) 1213 ; 5) 125 ; 6) 34 .

10.33.1) 0, 2 ; 3) 0, 3 ; 5) 6 2 ; 7) 4 11.

10.34. 1) x

, n ; 2)

x 2 4 n, n ; 3) x 4n 1, n ;

4) x1,2

n, n ; 5) x1

arcsin

n, x2

arcsin

n, n ;

246 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

6) x arctg 5										n, n ; 7)												x1					2 n		, x2				7				2 n			, n ;
6) x arctg 5										n, n ; 7)												x1			20				, x2				60				2 n			, n ;
																									20		5						60						5
8) x			2 n, n ;
8) x	6		2 n, n ;
																															2 n								2 n
10.35. 1) x																							; 2)			x					2 n								2 n			;
										n;					n , n																				;						,n
										n;					n , n																				;						,n
													2															6				3					6		3
													2															6				3					6		3
		n										n																		5
3) x		n									;	n											x				2 n;			5	2 n							,n ;
3) x											;				, n ; 4)								x				2 n;				2 n							,n ;
		3							6			3														6				6
		3							6			3														6				6
										1															1
5) x										1		2 n; 2 arccos													1
5) x	arccos											2 n; 2 arccos														2 n , n ;
										9															9
										9															9
		1												n							n													1							n				n
6) x		1	arctg 3											n			;				n													1		arctg 4					n	;			n
6) x			arctg 3														;						, n ; 7) x													arctg 4						;				, n ;
		4													4 8						4													3							3 3
		4													4 8						4									3				3							3 3				3
					4												4						2					4
8) x					4			2 arctg									4		4 n;				2	2 arcsin				4
8) x								2 arctg											4 n;					2 arcsin						4 n ,n ;
						3											5						3					5
						3											5						3					5
9) x																		8 n; 4 cos									7 8 n
9) x	4 arccos 7																	8 n; 4 cos									7 8 n					,n .
																8											8
																8											8
10.36. 1) D(y)													0;		2		; 2) D(y)						[ 1;11]; 3)						x			2			n,n ;							4)	x				n, n		.
10.36. 1) D(y)													0;				; 2) D(y)						[ 1;11]; 3)						x						n,n ;							4)	x				n, n		.
															5																	3														3
															5																	3														3
10.37. 1) E(y) [4; 6]; 2)																				E(y) [4; 8]; 3)							E(y)					0;					;	4) E(y)							; 5) E(y)			1	; 5	;
10.37. 1) E(y) [4; 6]; 2)																				E(y) [4; 8]; 3)							E(y)					0;					;	4) E(y)				0;			; 5) E(y)				; 5	;
																																	2											2				5
																																	2											2				5
6) y		1		; 3
6) y				; 3			.
		3
		3

11. Парність, непарність, періодичність функцій

Навчальні задачі

11.1.1. Дослідити на парність (непарність) функцію y 3x7 2x3 sin x.

Розв’язання. [5.2.2, 5.2.3.]

[Крок 1. Виписуємо область означення функції і перевіряємо її на симетричність щодо точки 0. ]

Область означення D(y) ( ; ) є симетричною щодо точки 0. [Крок 2. Знаходимо y( x). ]

y( x) 3( x)7 2( x)3 sin( x) 3x7 2x3 sin x.

[Крок 3. Порівнюємо y( x) з y(x).]

y( x) y(x).

[Крок 4. Висновуємо про функцію y.] Функція y є непарною.

11. Парність, непарність, періодичність функцій								247
11.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію y					cos x		.
11.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію y							.
Розв’язання. [5.2.2, 5.2.3.]				x2 25
Розв’язання. [5.2.2, 5.2.3.]
Область означення D(y) ( ; 5) ( 5; 5) (5; )					є симетричною щодо
точки 0.
y( x)	cos( x)	cos x	.
y( x)	( x)2 25		.
	( x)2 25	x2 25
	y( x) y(x).
Функція y є парною.
11.1.3. Дослідити на парність (непарність) функцію y					x2	.
11.1.3. Дослідити на парність (непарність) функцію y				x 1		.
				x 1

Розв’язання. [5.2.2–5.2.4.]

Область означення D(y) ( ;1) (1; ) не є симетричною щодо точки 0.

Функція y ні є парною, ні є непарною (загального вигляду).

11.1.4. Дослідити на парність (непарність) функцію y 2x.

Розв’язання. [5.2.2–5.2.4.]

Область означення D(y) ( ; ) є симетричною щодо точки 0. y( x) 2 x.

y( x) y(x), y( x) y(x).

Функція y ні є парною, ні є непарною.

11.2.1. З’ясувати, чи є функція f(x) cos2 2x періодичною і визначити найменший період T.

Розв’язання. [5.2.5, 5.8.8.]
Оскільки cos2 2x	1 cos 4x	, то період заданої функції збігається з періодом
	2

функції cos 4x.

Функція cos x періодична з найменшим періодом 2 . Отже, найменший період

T	функції cos 4x дорівнює T	2		.
		4		2

Функція f (x) є періодичною; найменший період функції T 2 .

11.2.2.З’ясувати, чи є функція f (x) tg x2 2 tg x3 періодичною і визначити най-

менший період T.

Розв’язання. [2.2.5, 5.8.8, 5.2.4.]

248 Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Найменший період функції tg x дорівнює T 2 , а найменший період функ-

ції tg x

дорівнює T 3 .

Найменшим періодом функції

f (x) tg x

2 tg x

є «найменше спільне крат-

не» чисел 2 та 3 — число T 6 .

Функція f (x) є періодичною; найменший період функції T 6 .

Задачі для самостійної роботи

11.3.

З’ясувати, чи функція f

є парна, непарна чи загального вигляду, якщо:

1) f (x) ex2 cos x;

2) f (x) x2 8x 20;

3) f (x) arcsin(x 1);

4) y

x 3

;

x2 1

y ln 1 x ;

6) y

, x ( 1;1);

1 x

y 2 sin x ;

8) y

x 3

;

9) y x2, x ( ;1];

10) y sin x, x [0; ].

11.4.З’ясувати, чи є функція f періодичною, і в разі періодичності визначити найменший період T :

1)	f (x) 3 sin 4x;		2)	f (x) sin2 3x;
3)	f (x) sin x ctg x;		4)	f (x) x2;
	2
5)	f (x) sin x sin 2x	1 sin 3x;	6)	f (x) 3 sin x 5 cos x;
		3
7) f (x) 5;			8) f (x) {x}.

Відповіді

11.3. 1) парна; 2) загального вигляду; 3) загального вигляду; 4) непарна; 5) непарна; 6) парна; 7) парна; 8) непарна; 9) загального вигляду; 10) загального вигляду.

11.4. 1) T 2 ; 2) 3 ; 3) 4 ; 4) неперіодична; 5) періодична, Tmin 2 ; 6) неперіодична; 7) періодична з будь-яким періодом; 8) періодична, Tmin 1.

Список використаної і рекомендованої літератури

Підручники і посібники

1.Вища математика: підручник. У 2 кн. Кн. 1 / Г. Й. Призва, В. В. Плахотник, Л. Д. Гординський та ін.; за ред. Г. Л. Кулініча. — К.: Либідь, 2003. — 400 с. — ISBN 966-06-0229-4.

2.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 1. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. — 336 с. — ISBN 978- 5-354-01237-4.

3.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 2. — М.: Эдиториал УРСС, 2007. — 192 с. — ISBN 978- 5-382-00208-8.

4.Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. . Юрик. —

К: А. С. К., 2006. — 647 с. — ISBN 966-539-320-0.

5.Жевняк P. M. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Дифференциальное исчисление / P. M. Жевняк, А. А. Карпук. —

Мн.: Выш. шк., 1992. — 384 с.

6.Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч.2. / P. M. Жевняк, А.

А. Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 224 с.

7.Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 1 / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. — К.: Техніка, 2003. — 600 с. — ISBN: 966-575-055-0.

8.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс /

Д. Письменный. — М.: Айрис-Пресс, 2008. — 608 с. ISBN 978-5-8112-3118-8, 978-5-8112-3480-6.

9.Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. — М. Оникс, 2009. — 608 с. — ISBN 978-5-488-02067-2.

10.Крамор В. С. Алгебра и начала анализа (система проведения занятий на подготовительных отделениях вузов). — М.: Высш. шк., 1981. — 336 с.

11.Математика. Практична підготовка до ЗНО / О. М. Роганін, О. Ю. Максименко, О. О. Тарасенко, В. І. Вербицький. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2009. — 480 с. ISBN 978-611-03-0018-6.

12.Нелін Є. П. Алгебра в таблицях. — Х.: Світ дитинства, 2002. — 116 с. ISBN 966-544-165-5.

13.Роганін О. М. Алгебра і початки аналізу в таблицях і схемах. — Харків:

ТОРСІНГ ПЛЮС, 2007. — 112 с. ISBN 978-966-404-545-9.

14.Титаренко О. М., Роганін О. М. Математика. Самовчитель майбутнього студента. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2007. — 448 с. ISBN 978-966-404-411-7.

250	Список використаної і рекомендованої літератури

Задачники і розв’язники

15. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. — С.Пб.: Лань, Специальная литература, 2002. — 448 с. — ISBN 5-8114-0107-8.

16.Барковський В. В. Вища математика для економістів: навч. посібник / В. В. Барковський, Н. В. Барковська. — К.: ЦУЛ, 2010. — 417 с. — ISBN 978-966-364-991-7.

17.Вища математика: збірник задач: Навч. посібник /В. П. Дубовик, І. І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; За ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К.: А.

С. K., 2005. – 480 с.

18.Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах: навч. посіб. Ч. 1. Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов

—К.: Книги України ЛТД, 2009. — 578 с. — ISBN 978-966-2331-03-5.

19.Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах: навч. посіб. Ч.2. Невизначений, визначений та невласні інтеграли. Звичайні диференціальні рівняння. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. — К. : Книги України ЛТД, 2010. — 470 с.

—ISBN 978-966-2331-05-9.

20.Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: навч. посібн. / В. Ю.

Клепко, В. Л. Голець. — К.: ЦУЛ, 2009. — 592 c. — ISBN 978-966-364-928-3.

21.Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие / Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов А. В. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.

—М.: Наука, 1993. — 480 с. — ISBN 5-02-014433-9.

22.Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина, П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.

23.Титаренко О. М. Математика. 6611 задач: від найпростіших до олімпіадних. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2011. — 480 с. ISBN 978-617-030- 179-6.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2525

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016102.13 Кб5Практика МУФ.docx
#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc