Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо (рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.

Отрицательная асимметрия свидетельствует о том, что преобладают варианты с большими значениями, а варианты с малыми значениями встречаются реже. Наоборот, положительная асимметрия свидетельствует о преобладании вариант с малыми значениями, но реже встречаются варианты с большими значениями.

Показатель асимметрии вычисляют по формуле

. (4.2)

Также часто встречаются кривые с приподнятой вершиной (рис. 4.9, в). Такие кривые распределения называются кривыми распределения с положительным эксцессом. Положительный эксцесс свидетельствует о скоплении большинства вариант в середине ряда, что дает характерный резкий подъём кривой в центре. Более или менее равномерное распределение вариант или скопление их по краям придают кривой распределения плосковершинную, двух-, иногда многовершинную форму (рис. 4.9, г, д, е). Такие кривые называются кривыми распределения с отрицательным эксцессом. Показатель эксцесса вычисляют по формуле

. (4.3)

Симметричные кривые распределения, не имеющие ни положительного, ни отрицательного эксцесса, называются кривыми нормального распределения (рис. 4.9, ж).

Дифференциальная кривая вместе с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице. Заштрихованная площадь, ограниченная ординатами, проходящими через точки х_аи х_b, определяет вероятность попаданияв интервал междух_а их_b(рис. 4.10).

Функция распределения представляет собой некоторую абстрактную математическую модель, при помощи которой описывают случайные экспериментально наблюдаемые величины.

Аналитические выражения функции распределения содержат в себе параметры распределения. Если известен закон распределения случайной величины, то она может быть полностью охарактеризована численными значениями закона её распределения.

Рис. 4.9. Кривые распределения: а – с отрицательной асимметрией;

б – с положительной асимметрией; в – с положительным эксцессом;

г, д – с отрицательным эксцессом; е – с отрицательным эффектом в

высшей его форме; ж – кривая нормального распределения

Заштрихованная на рис. 4.10 площадь равна вероятности того, что случайная величина хзаключена в пределах (а,b), т. е.

. (4.4)

Рис. 4.10. График дифференциальной функции распределения непрерывной случайной величины

В большинстве случаев, когда имеет место большое количество измерений ( 50) случайной величины , её распределение соответствует нормальному закону распределения, именуемому законом Гаусса. Его главной особенностью является то, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения вероятности

. (4.5)

Графически нормальный закон представлен симметричной относительно ординаты колоколообразной кривой (рис. 4.11) с двумя точками перегиба при, асимптотически приближающейся к оси абсцисс.

Рис. 4.11. График нормального распределения частот

Основная масса результатов измерений группируется около среднего значения . На участкеоказывается 68,3% всех измерений (68,3 % – это доля площади, ограниченная кривой распределения и этим интервалом). В границах размещается 95,4 % всех измерений, а в границах– 99,7 %.

Параметрами нормального распределения являются и. Среднее арифметическое (математическое ожидание) является центром рассеяния и определяет положение распределения на оси абсцисс, а параметропределяет форму кривой распределения. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1, то при увеличениикривая становится плоской, и наоборот.

В практических расчетах обычно используют нормированное распределение, которое получается при переходе от величины хк её функции

. (4.6)

Тогда функция примет вид

или (4.7)

(4.8)