- •Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей, используемые в математической статистике
- •1.1. События. Свойства
- •1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •1.3. Теорема умножения вероятностей
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Основные понятия и методы математической
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Параметры математической статистики
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Распределение случайных величин
- •4.1. Нормальное распределение
- •Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо (рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.
- •4.2. Основные виды теоретических распределений
- •4.3. Критерий близости распределения к нормальному
- •4.4. Закон распределения при малом числе испытаний
- •Например, при и становится равным 2,45, т. Е.
- •4.5. Обработка результатов измерений
- •4.6. Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Основные методы математической статистики
- •5.1. Дисперсионный анализ
- •В отдельных вариантах относительно общей средней для всей совокупности.
- •5.2. Корреляционный анализ. Метод наименьших квадратов
- •6. Оптимизация исследований технических свойств материалов
- •Теперь определим -отношение
- •Заключение
- •2. Общие статистические термины
- •3. Общие термины, относящиеся к наблюдениям
- •4. Общие термины, относящиеся к выборочным методам
- •Общие требования и методические рекомендации
- •Библиографический список
- •Исследование и оптимизация свойств
Вопросы для самоконтроля
1. Как можно задать закон распределения случайной величины?
2. Дайте понятие полимодального и антимодального распределения.
З. Как графически изобразить распределение дискретной и непрерывной величин?
4. Дайте определения «мода» и «медиана».
5. Дайте определение гистограммы.
6. Приведите графическую интерпретацию интегральной и дифференциальной кривых распределения.
7. Дайте определение асимметрии и эксцессу.
8. Как определить показатели асимметрии и эксцесса?
9. Приведите примеры графической интерпретации асимметрии и эксцесса.
10. Дайте определение нормального распределения.
11. Поясните правило трех сигм?
12. Что является параметрами нормального распределения?
13. Какие распределения Вы знаете? Где они используются?
14. Назовите критерии близости распределения к нормальному.
15. Каков порядок обработки результатов измерений?
16. Что называется доверительным интервалом?
17. Объясните понятие «значимость»?
Рекомендуемая литература [2, 3, 9, 10, 14].
5. Основные методы математической статистики
Определение фактических коэффициентов однородности механических свойств материалов – одна из актуальных задач материаловедения. Во-первых, коэффициент однородности можно рассматривать как обобщенный показатель качества производства и использовать его при сравнении продукции нескольких заводов экономической зоны или отдельного региона. Во-вторых, анализ коэффициента однородности на определенном заводе позволяет установить влияние на качество продукции свойств исходных материалов и способов изготовления железобетонных конструкций, выявить причины колебания качества и устранить их. В-третьих, используя полученные коэффициенты однородности, можно рассчитать фактическую несущую способность конструкций, выпускаемых на предприятиях.
Особый интерес представляет определение коэффициента однородности для такого гетерогенного конструкционного материала, как бетон. С помощью дисперсионного анализа можно выявить факторы, существенно влияющие на качество готового бетона, и принять рекомендации по улучшению технологии.
5.1. Дисперсионный анализ
На результаты исследований зачастую оказывают большое влияние целый ряд факторов, обусловливающих изменчивость значений исследуемой величины. Приведенные выше методы статистической обработки дают возможность оценить только общую изменчивость изучаемой величины без оценки влияния на степень варьирования изучаемого свойства отдельных факторов (влияние скорости приложения нагрузки, влажности материала, вида добавок, их количества и др.).
Пусть генеральные совокупности X1, X2, … , Xn распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную, дисперсию; математические ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезуМ(X1) = М(X2) = ... = М(Xn) о равенстве всех математических ожиданий. То есть, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы, для сравнения нескольких средних их можно очень просто сравнить попарно. Однако с возрастанием числа средних возрастает и наибольшее различие между ними: среднее меньше наименьшего из средних или среднее больше наибольшего из средних полученных до нового опыта. По этой причине для сравнения нескольких средних или каких-либо других свойств двух или нескольких выборок пользуются другим методом, который основан на сравнении дисперсий и поэтому назван дисперсионным анализом.
Дисперсионный анализ при обработке результатов испытаний позволяет их общую вариацию разложить на систематическую (факторную дисперсию), обусловленную влиянием изучаемых факторов; и случайную, обусловленную влиянием случайных, неучтенных факторов. Оценка достоверности систематической вариации по сравнению со случайной и составляет сущность дисперсионного анализа.
Для суждения о степени достоверности систематической вариации вычисленное по экспериментальным данным отношение мер варьирования между систематической и случайной вариациями сравнивается с соответствующим табличным отношением. Если вычисленное по экспериментальным данным отношение мер варьирования равно или больше соответствующего табличного отношения, то влияние изучаемого фактора считается доказанным с той или иной степенью вероятности. Если оно меньше табличного, то нет оснований приписывать исследуемому фактору какое-либо существенное влияние на результат.
На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор F, который имеетп уровнейF1, F2, ...,Fп, на изучаемую величинуX. Например, если требуется выяснить какая добавка наиболее эффективна для повышения водонепроницаемости бетона, то факторF – добавка, а его уровни – количество добавки. Если различие между этими дисперсиями значимо, то факторы оказывают существенное влияние наX; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются так же значимо. Когда же удается установить наиболее существенный фактор (вид добавки), то для уточнения наиболее результативного уровня (количества добавки) производят дополнительное попарное сравнение средних. То есть после установления влияния изучаемых факторов на результат переходят к оценке влияния отдельных их вариантов и сочетаний.
Дисперсионный анализ необходим прежде всего при оценке работы технологической линии по приготовлению железобетонных изделий, когда требуется установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению). Если дисперсионный анализ покажет, что математические ожидания одинаковы, то в этом случае совокупности однородны. Однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.
Например, для контроля качества бетона изделий готовят и испытывают по 3 образца-кубика из отдельного замеса бетонной смеси. В течение смены выполняют несколько таких определений, результаты которых сводят в выборку. Дисперсии же генеральных совокупностей, соответствующих этим выборкам, равны между собой, т. е. , так как по сути генеральная совокупность одна и та же (например совокупность результатов испытаний образцов бетона в течение года работы). Если ритм работы технологической линии и параметры используемых материалов не нарушаются, следует ожидать, что характеристики рассеяния результатов испытаний прочности образцов в выборках начала и конца месяца будут невелики.
При дисперсионном анализе принимают нормальное распределение и различные критерии. Критериями для сравнения выборок служит равенство двух выборочных дисперсий, равенство двух выборочных средних и однородность (равенство) ряда выборочных дисперсий.
Критерий равенства двух дисперсий. Дисперсии двух выборок сравнивают, используяF-критерий. Для этого вычисляют отношение большей дисперсии к меньшей
. (5.1)
Поскольку проверяется гипотеза равенства генеральных дисперсий, желательно, чтобы это отношение было как можно ближе к единице. Число степеней свободы принимают соответственно агдеп – количество значений в выборке. Критерий равенства двух дисперсий справедлив приFэксп < Fp ().
Критерий равенства двух средних. Средние значения случайной величины в выборках сравнивают используяt-критерий. Когдат. е. выполняется условиеF-критерия, вычисляют общую дисперсию двух выборок и экспериментальное значение нормированного показателя по формулам:
, (5.2)
. (5.3)
Критерий равенства справедлив, если .
Величину доверительной вероятности выбирают в пределах 0,90–0,99. Число степеней свободыfопределяют из условия.
Когда гипотеза равенства дисперсий не выполняется, производят приближенную проверку по формуле
. (5.4)
Число fстепеней свободы при этом определяют из выражения
(5.5)
где
. (5.6)
Критерий равенства средних справедлив при , т. е. при таких условиях нет существенного различия между средними.
Пример 5.1. Сравним результаты испытаний двух партий бетонных образцов. В первой партии (= 29 образцов) средний предел прочности = 40,1 МПа, = 8,2 МПа. Во второй партии (= 13 образцов) – = 40,9 МПа, а 7,1 МПа.
Вычисление отношения дисперсий
.
Значения определим из табл. 5 прил. 2, приняваПри уровне значимости, а при.
В обоих случаях . Таким образом, с любой величиной достоверности можно утверждать, что имеет место равенство дисперсий, выборки представительны и достаточно хорошо воспроизводят генеральную совокупность.
В связи с выполнением критерия вычислим общую дисперсию двух выборок
тогда
По табл. 5 прил. 2 определяем величину для
,
при ,
при .
Таким образом, вероятность того, что выборочные средние равны и /- представляют генеральную совокупность
Р(–1,68 <t < +1, 68)=0,90 или
Р(–2,02 <t < +2,02)=0,95,
что является достаточно высоким уровнем вероятности.
Следовательно, если , то нет существенного различия между средними.
Критерий однородности ряда дисперсий. Однородность (равенство) ряда выборочных дисперсий в случае равенства числа измерений случайной величины в выборках оценивают по критерию Кохрена
, (5.7)
где – наибольшая выборочная дисперсия;– число выборок.
Если , то критерий однородности ряда дисперсий справедлив.
Пример 5.2.При определении предела прочности получены следующие, пяти партий бетона: 2,5; 2,8; 3,2; 2,4; 2,7. Ошибки во всех случаях подсчитывались по 20 измерениям. Рассмотрим воспроизводимость определения прочности.
Найдём .
По табл. 5 прил. 2 методом интерполяции находим при уровне значимостир = 0,05, дляm = 5 иn– 1=19= 0,3558.
Таким образом, Gmax < и гипотеза однородности дисперсий принимается с достоверностьюР = 1 –р = 0,95.
Однофакторный дисперсионный анализ. Основная идея дисперсионного анализа при оценке влияния качественного фактораF на изучаемую величинуx1 состоит в «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние наx1. В этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются также значимо.
Когда установлено, что фактор существенно влияет на xи требуется выяснить, какой из уровней оказывает наибольшее воздействие, дополнительно производят попарное сравнение средних.
В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факторов на нескольких постоянных или случайных уровнях и вычисляют влияние отдельных уровней и их комбинаций (многофакторный анализ).
Ограничимся пока простейшим случаем однофакторного анализа, когда на X воздействует один факторF, который встречается вr-вариантах. Будем предполагать, что число наблюдений в каждом варианте равноп1,п2,... пп.
Сведём все наблюдения в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Результаты наблюдений
Вариант F |
Результаты измерений хii |
Число измерений ni |
Среднее значение по вариантам хii |
F1 F2 . .
Fr |
x11, x12, x13, . . . . .х1n x21,x22,x23, . . . . .x2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xr1,xr2 ,xr3 , . . . . . .xгn
|
n1 n2 . . . . . . nn |
xi1 xi2 . . . . . . . . xir |
О влиянии исследуемого фактора судят по F-отношению для дисперсийи. Дисперсияобусловлена колебаниямихi внутри вариантов, т. е.
, (5.8)
где N– общее число измерений.
Вторая дисперсия характеризует дисперсию средних значений внутри варианта к общему среднему, т. е. отображают колебания средних
(5.9)