- •Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей, используемые в математической статистике
- •1.1. События. Свойства
- •1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •1.3. Теорема умножения вероятностей
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Основные понятия и методы математической
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Параметры математической статистики
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Распределение случайных величин
- •4.1. Нормальное распределение
- •Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо (рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.
- •4.2. Основные виды теоретических распределений
- •4.3. Критерий близости распределения к нормальному
- •4.4. Закон распределения при малом числе испытаний
- •Например, при и становится равным 2,45, т. Е.
- •4.5. Обработка результатов измерений
- •4.6. Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Основные методы математической статистики
- •5.1. Дисперсионный анализ
- •В отдельных вариантах относительно общей средней для всей совокупности.
- •5.2. Корреляционный анализ. Метод наименьших квадратов
- •6. Оптимизация исследований технических свойств материалов
- •Теперь определим -отношение
- •Заключение
- •2. Общие статистические термины
- •3. Общие термины, относящиеся к наблюдениям
- •4. Общие термины, относящиеся к выборочным методам
- •Общие требования и методические рекомендации
- •Библиографический список
- •Исследование и оптимизация свойств
4.6. Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов
Как и при определении закона распределения случайной величины, при расчете числовых характеристик распределения целесообразно все данные об изменении параметра х расположить в вариационный ряд.
Если число наблюдений мало (п < 10), то полученный вариационный ряд непосредственно используется для дальнейших расчетов, если данных много, то простой вариационный ряд преобразуется в сгруппированный (как в примере 4.2). Рассмотрим оба варианта.
Пример 4.3. Определить числовые характеристики эмпирического распределения оценки среднего х и дисперсии S для малой выборки: 6 измерений прочности на сжатие по стандарту через 28 суток твердения цемента, полученных для партии № 61 Рыбницкого цементного завода. Исходные данные и вспомогательные величины для расчетов приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Расчёт числовых характеристик эмпирического распределения при малом числе наблюдений
Номер измерения по возрастанию |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Активность R28(хi) |
45,0 |
45,2 |
45,8 |
46,0 |
46,6 |
48,8 |
277,4 |
(хi – ) |
1,23 |
1,03 |
0,43 |
0,23 |
–0,37 |
–2,57 |
– |
(хi – )2 |
1,51 |
1,06 |
0,18 |
0,05 |
0,13 |
6,40 |
9,33 |
Оценка средней активности .
Оценка дисперсии .
Оценка среднего квадратичного .
Оценка коэффициента вариации .
Оценки асимметрии и эксцесса для столь малой выборки определять не имеет смысла.
Пример 4.4. Определить числовые характеристики эмпирического распределения для большой выборки: 537 величин паспортной активности Рыбницкого цемента на сжатие по стандарту за 2 года работы завода. Исходные данные сгруппированы через 1 МПа в 24 интервала и приведены в табл. 4.6.
Оценка средней активности
МПа.
Оценка дисперсии
.
Оценка среднего квадратического
= = 3,85 МПа.
Оценка коэффициента вариации
.
Оценка асимметрии
.
Оценка эксцесса
.
Таблица 4.6
Исходные данные и вспомогательные величины для расчета эмпирических характеристик распределения активности цемента
Интервалы, МПа |
, МПа |
mi |
рi |
|
mi |
2 mi |
хi – |
u |
f (u) |
mi |
mi окр |
28,5–29,5 29,5–30,5 30,5–31,5 31,5–32,5 32,5–33,5 33,5–34,5 34,5–35,5 35,5–36,5 36,5–37,5 37,5–38,5 38,5–39,5 39,5–40,0 40,5–41,5 41,5–42,5 42,5–43,5 43,5–44,5 44,5–45,5 45,5–46,5 46,5–47,5 47,5–48,5 48,5–49,5 49,5–50,5 50,5–51,5 51,5–52,5 |
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 |
2 2 2 8 3 19 16 22 37 57 63 64 51 51 39 25 21 22 17 8 2 2 2 2 |
0,004 0,004 0,004 0,015 0,006 0,035 0,030 0,041 0,069 0,106 0,119 0,114 0,095 0,095 0,073 0,047 0,039 0,041 0,032 0,015 0,004 0,004 0,005 0,005 |
–11,5 –10,5 – 9,5 –8,5 –7,5 –6,5 –5,5 –4,5 –3,5 –2,5 –1,5 –0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 |
–23 –21 –19 –68 –22,5 –123,5 – 88 – 99 –129,5 –142,5 – 94,5 – 32,0 25,5 76,6 97,5 87,5 94,5 121,0 110,5 60 17 19 21 23 |
264,5 220,5 180,5 578 168,75 802,75 484 445,5 453,25 356,25 141,75 16,00 12,75 114,75 243,75 306,25 425,25665,50 718,25 450,00 144,5 180,5 220,5 264,5 |
–11,6 –10,6 –9,6 –8,6 –7,6 –6,6 –5,6 –4,6 –3,6 –2,6 –1,6 –0.6 0,4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 7,4 8,4 9,4 10,4 11,4 |
–3,01 –2,75 –2,49 –2,23 –1,97 –1,71 –1,45 –1,19 –0,93 –0,67 –0,42 –0,15 0,10 0,36 0,62 0,88 1,14 1,40 1,66 1,92 2,18 2,44 2,70 2,96 |
0,004 0,009 0,018 0,033 0,057 0,092 0,139 0,197 0,250 0,319 0,365 0,395 0,397 0,374 0,329 0,271 0,208 0,150 0,100 0,063 0,037 0,020 0,010 0,005 |
0,55 1,25 2,51 4,60 7,95 12,80 19,40 27,50 36,10 44,50 50,90 55,10 55,40 52,10 45,90 37,80 29,00 20,90 13,90 8,80 5,16 2,80 1,40 0,70 |
1 1 3 5 8 13 19 28 36 45 51 55 55 52 46 38 29 20 13 9 5 3 1 1 |
С помощью таблицы и полигона можно определить дополнительные характеристики распределения – моду и медиану.
Приближенное значение моды:
.
Приближённое значение медианы:
.
Близкие значения , М0 и Me позволяют подтвердить вывод о симметричности распределения, который можно сделать и по величине оценки асимметрии А = 0,067, близкой к нулю.
Определяемые по выборочным (экспериментальным) данным числовые характеристики распределения случайных величин: средняя , дисперсия S, асимметрия А и другие – являются лишь оценками числовых характеристик распределения генеральной совокупности соответственно X, 2, А и др. Поэтому сами числовые характеристики , S, A рассматриваются как случайные величины, стремящиеся по вероятности к X0, 0, А.
Исследователю необходимо знать в каких границах могут (с определенной вероятностью) находиться X0, 2, А и другие характеристики генеральной совокупности, если известны величины их оценок.
Вероятность р того, что случайная величина хi примет значение в интервале х х записывается в виде
. (4.43)
Вероятность р носит название доверительной вероятности или коэффициента надежности, а интервал от х – х до х + х называется доверительным интервалом.
Обычно при большом количестве испытаний (п > 120) случайная величина распределена по нормальному закону со среднеквадратичной ошибкой
. (4.44)
Следовательно, интервал , (4.45)
где – аргумент функции нормального распределения.
Оценки нашего распределения = 40,6, = 3,85, = 9,5 %, А = 0,067, Е = 0,3 определены при п = 537. Принимая доверительную вероятность 0,9, что соответствует = 1,645 (табл. 5 прил. 2), получаем
,
40,3 < х < 40,
,
3,83 < < 3,87,
,
0,090 < < 0,1,
,
–0,07 < А < 0,026,
,
–0,075 < Е < 0,063.
В большинстве практических задач величина генеральной дисперсии 2 неизвестна, а известна лишь S2. При замене в формуле (4.45) 2 на S2 вместо нормального распределения используется симметричное t-распределение (распределение Стьюдента), которое учитывает число испытаний п. Также поступают и в случае малого объема выборки. Тогда интервал х представляется как
. (4.46)
Вероятность р того, что оценка среднего Х0 окажется в доверительном интервале х, определяется равенством
. (4.47)
По этому равенству с помощью таблиц (табл. 4 прил. 2) при заданной доверительной вероятности р (обычно р = 0,900,95, а для особо точных расчетов р = 0,99) можно определить границы среднего или, задаваясь границами изменения среднего (допуском для), определить вероятность попадания в интервал х.
В примере 4.3 оценки распределения = 46,23 МПа и S = 1,37 Мпа определены при п = 6.
Примем доверительную вероятность 0,9 и тогда для генеральной средней X интервал х определится как
,
где t (как двухсторонний критерий) взят при р = 0,9 и f = 5. Отсюда интервалы X
Р (46,23 – 1,13 < х < 46,23 + 1,13) = 0,9,
45,1 < х < 47,3.
Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения определяется более сложно, поскольку генеральная дисперсия связана с выборочной оценкой S величиной 2, имеющей асимметричное распределение. С этими расчетами можно ознакомиться у В.А. Вознесенского или В.Е. Гмурмана [9, 10].
Решение вопросов доверительных интервалов тесно связано с задачей сравнения числовых характеристик распределения с проектными и нормативными величинами.
Рассмотрим пример с определением нормативной и расчетной проч-ностей железобетонных конструкций.
. (4.48)
При расчете железобетонных конструкций нормированный множитель принимают равным 2 (и = 2). В этом случае вероятность события Р, что случайная нагрузка не превысит расчетную, можно определить как
Р(В) = Ф(и) при – < и < 2.
Величина вероятности Р(В) = 0,997. Это условие неразрушения конструкции.
Вероятность противоположного события, т.е. того, что случайная нагрузка превысит расчетную, составит
Р(А) = 1 – Р(В) = 1 – 0,0997.
Таким образом, в одной из 300 конструкций расчетная случайная нагрузка может превысить нормативную.
Согласно формулам (4.48) коэффициент вариации r характеризует важный качественный показатель прочностных свойств бетона. Если r мал, т. е. приготавливаемые бетоны имеют высокое качество, среднее значение прочности можно уменьшить.
В настоящий момент нормативный коэффициент вариации для изделий, выпускаемых заводами сборного железобетона, принят равным 13,5 %, а вероятность Р(В) при обеспечении класса бетона – 0,95. И тогда класс бетона
. (4.49)
Это значит, что в данном случае нормативная прочность равна средней величине прочности, полученной при испытании бетонных образцов. При меньших величинах коэффициента вариации можно соответственно снижать величину нормативной прочности Rn. При величине коэффициента вариации > 13,5 % необходимо повышать величину нормативной прочности Rn. Величину коэффициента К понижения или повышения нормативной прочности бетона можно определять, пользуясь формулами
(4.50)
или . (4.51)
В случае, когда r < , коэффициент К < 1, a если r > , то К > 1.
Определим величины К для = 9 % (или = 0,09) и =20 % (или = 0,2). По формулам (4.50) и (4.51) получим
,
.
Вычисленный коэффициент вариации r, превышающий нормативное значение, свидетельствует о большой неоднородности прочностных свойств бетона в изделиях, выпускаемых заводом. В этих условиях завод, изготавливающий сборные железобетонные конструкции, вынужден повысить прочность бетона изделий, а это приведет к перерасходу цемента. Следовательно, завод должен так изменить технологию производства, чтобы прочностные свойства бетона в изделиях были более однородными, так как коэффициент вариации был меньше нормативного значения.