1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Тогда

Р(А + В) = Р(А) = Р(В).(1.6)

Этим можно воспользоваться, например, в случае определения не­однородности прочности изделий из бетона, которая характеризует ка­чество изделий. Неоднородность в основном зависит от двух независи­мых событий. Первое событие – это неоднородность бетона, зависящая

от его состава, дозировки и перемешивания. Её выявляют при испыта­нии кубиков. Второе событие – это неоднородность бетона в изделиях, вызванная неоднородностью уплотнения и условиями твердения. Ее оп­ределяют только неразрушающими методами.

Эти два события независимы друг от друга (рис. 1.1), и общие выво­ды о неоднородности прочности бетона в изделиях могут быть получены с использованием теоремы сложения вероятностей

Р(А +В)= Р(А) + Р(В). (1.7)

В случае, когда события совместны, графически сложение вероятно­стей можно представить рис. 1.2.

Рис. 1.1. Независимые и несовместные события

а

б

Рис. 1.2. Независимые и совместные события

В случае сложения двух событий (рис. 1.2, а) формула примет вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (1.8)

и в случае сложения трех событий (рис. 1.2, б) –

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВС). (1.9)

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных собы­тий обозначено А, то другое принято обозначать

Р(А) + Р(1) = 1.(1.10)

При рассмотрении несущей способности конструкции вероятность то­го, что конструкция не будет разрушена, определяют с использованием теоремы сложения вероятностей. Сумма вероятностей двух противопо­ложных событий (события разрушения конструкции и события неразрушения конструкции) всегда равна единице.

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т.е. близка к нулю. Мож­но ли считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет? Такой вывод сделать нельзя, так как не исключено, хотя и маловероятно, что событие А наступит. Однако длительный опыт пока­зывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подав­ляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого при­знается принцип практической невозможности маловероятных событий: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практиче­ски можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимо­сти, заключенные между 0,01 и 0,05.

1.3. Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие С или АВ (рис. 1.3), состоящее в совместном проявлении (совмещении этих собы­тий). Тогда

Р(АВ) = Р(А)  Р(В). (1.11)

Использование теоремы умножения вероятностей позволяет рассмат­ривать несущую способность конструкций, которая, с одной стороны, оп­ределяется случайными величинами прочностных характеристик мате­риала конструкции, с другой – случайными величинами нагрузок. Очевид­но, вероятность разрушения конструкции связана с наличием минималь­ных величин прочности материала и максимальных величин нагрузок.

Рис. 1.3. Произведение двух событий

Пример. Если предположить, что прочностные свойства в 10 % слу­чаев (вероятность события (А) составляет Р(А) = 0,1) меньше необхо­димого минимума прочности, а нагрузки в 20 % случаев (вероятность события В составляет Р(В) = 0,2) могут превысить предусмотренные расчетом, то совместное выполнение этих двух независимых событий определяется произведением их вероятностей, т.е.

Р(АВ) = 0,1 · 0,2 = 0,02.

Выполнение события А и события В одновременно приведет к тому, что конструкция или вследствие низкой прочности, или из-за превыше­ния расчетных нагрузок может быть разрушена, и вероятность её раз­рушения составит 0,02 или 2 %.

Но тогда вероятность неразрушения конструкции

1 – Р(А·В) = 1 – 0,2 = 0,98 или 98 %.

Вероятность обычно или назначают исходя из условий безопасности, или определяют при длительных наблюдениях.

Например, при расчете диаметра водопропускной трубы под насы­пью учитывают максимальный дождевой поток повторяемостью 1 раз в 50 лет. То есть вероятность появления максимального дождевого потока

P(A) = == 0,02.

При расчете отверстия моста учитывают повторяемость максималь­ного паводка 1 раз в 300 лет. В этом случае вероятность появления мак­симального паводка Р(А) = 0,0033, а вероятность противоположного события Р() = 1 – Р(А) = 0,9967, т.е. величина паводка не превысит расчетного значения.