- •Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей, используемые в математической статистике
- •1.1. События. Свойства
- •1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •1.3. Теорема умножения вероятностей
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Основные понятия и методы математической
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Параметры математической статистики
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Распределение случайных величин
- •4.1. Нормальное распределение
- •Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо (рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.
- •4.2. Основные виды теоретических распределений
- •4.3. Критерий близости распределения к нормальному
- •4.4. Закон распределения при малом числе испытаний
- •Например, при и становится равным 2,45, т. Е.
- •4.5. Обработка результатов измерений
- •4.6. Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Основные методы математической статистики
- •5.1. Дисперсионный анализ
- •В отдельных вариантах относительно общей средней для всей совокупности.
- •5.2. Корреляционный анализ. Метод наименьших квадратов
- •6. Оптимизация исследований технических свойств материалов
- •Теперь определим -отношение
- •Заключение
- •2. Общие статистические термины
- •3. Общие термины, относящиеся к наблюдениям
- •4. Общие термины, относящиеся к выборочным методам
- •Общие требования и методические рекомендации
- •Библиографический список
- •Исследование и оптимизация свойств
Например, при и становится равным 2,45, т. Е.
.
При малых выборках (< 30) в особенности для малых значенийзамена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, еслиn= 5p= 0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, найдемt= 4,6, а, используя функцию Лапласа, найдемt =2,58, т. е. доверительный интервал намного уже, чем найденный по распределению Стьюдента.
Однако это вовсе не является свидетельством слабости метода Стьюдента (он дает не вполне определенные результаты – более широкий доверительный интервал), а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем свойстве.
В случае обработки экспериментального материала, когда нужно определить статистическую значимость величины, вычисляют значение для этой величины по формуле
. (4.24)
Затем, учитывая число степеней свободы, сравнивают с табличным значениемтабл. 4 прил. 2). Величина значима, если.
Рассмотрим пример определения предела прочности гранодиорита по результатам испытания образцов на сжатие. При испытании 5 образцов (n= 5) среднее значение прочности составило=112 МПа, а величина среднего квадратического отклонения=8,0 МПа. Используя формулу (4.24), определим
.
По табл. 4 прил. 2 при числе степеней свободы =5 – 1=4 определим=8,61 даже при уровне значимости 0,001. Так как, то правомерность сделанных определений имеет вероятность> 0,999.
При обработке малых выборок часто приходится выдвигать «нуль-гипотезу», т. е. гипотезу о том, что изучаемый фактор незначим. Если значимость pизучаемого фактора при проверке по-критерию больше 0,01, то «нуль-гипотезу» отвергают.
Распределение Фишера (F-распределение).Его используют для сравнения выборок по их дисперсиям; оно имеет асимметричную форму кривой распределения плотности вероятности и зависит только от числа степеней свободы выборочных дисперсий, которые определяют как
. (4.25)
При этом возможны 2 случая.
В первом случае возникает необходимость проверки «нуль-гипотезы», при которой должно выполняться условие
, (4.26)
где ;– табличное значение функцииF(табл. 5 прил. 2);p – уровень значимости; p – достоверность существования «нуль-гипотезы».
Определим, насколько значимы расхождения дисперсий, полученных при оценке результатов сушки древесины двумя сменами деревообрабатывающего цеха. В первой смене (п = 18 образцов) средний процент влажности составил 14,6 %, дисперсия = 3,24; во второй смене (п = 12 образцов) указанные показатели составили 15 % и 2,89 соответственно.
Отношение большей дисперсии к меньшей – экспериментальное значение Fэксп – определим по формуле
,
значение найдем в табл. 5 прил. 2. При этом f1 = 17 и f2 =11. Для уровня значимости р = 0,20 табличное значение = 1,66, а для р = 0,05 и 0,01 они еще выше.
Во всех случаях. Это значит с любой величиной достоверности можно утверждать, что имеет место равенство дисперсий, выборки представительны и достаточно хорошо воспроизводят генеральную совокупность.
Во втором случае, если отвергаем «нуль-гипотезу» с уровнем значимостир, отношение большей дисперсии к меньшей будет превосходить табличные значения , а не значение , как это было в первом случае, когда применялся односторонний критерий. Критерий будет двусторонним, т. е. положение о достоверности того, что гипотеза не существует – справедливо.