- •Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей, используемые в математической статистике
- •1.1. События. Свойства
- •1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •1.3. Теорема умножения вероятностей
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Основные понятия и методы математической
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Параметры математической статистики
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Распределение случайных величин
- •4.1. Нормальное распределение
- •Часто наблюдаются кривые с вершинами, сдвинутыми вправо (рис. 4.9, а) или влево (рис. 4.9, б). В первом случае они имеют отрицательную асимметрию, а во втором – положительную.
- •4.2. Основные виды теоретических распределений
- •4.3. Критерий близости распределения к нормальному
- •4.4. Закон распределения при малом числе испытаний
- •Например, при и становится равным 2,45, т. Е.
- •4.5. Обработка результатов измерений
- •4.6. Расчет числовых характеристик распределения и установка доверительных интервалов
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Основные методы математической статистики
- •5.1. Дисперсионный анализ
- •В отдельных вариантах относительно общей средней для всей совокупности.
- •5.2. Корреляционный анализ. Метод наименьших квадратов
- •6. Оптимизация исследований технических свойств материалов
- •Теперь определим -отношение
- •Заключение
- •2. Общие статистические термины
- •3. Общие термины, относящиеся к наблюдениям
- •4. Общие термины, относящиеся к выборочным методам
- •Общие требования и методические рекомендации
- •Библиографический список
- •Исследование и оптимизация свойств
6. Оптимизация исследований технических свойств материалов
Из методов оптимизации исследований в настоящее время наиболее признаны методы планирования экспериментов и конечных элементов.
В 50-е гг. XXв. Бокс и Уилсон предложили новое решение старой задачи – отыскание оптимальных условий протекания химических,физических и металлургических процессов. В ней рассматриваются процессы, зависящие от многих факторов, в условиях, когда механизм этих процессов неизвестен. В таком случае естественно прибегать к представлению результатов наблюдений полиномиальной моделью. Метод решения был назван планированием эксперимента и получил признание во всем мире. В России его активно развивал В.В. Налимов [18], большой вклад внес для практического использования метода при решении технических задач В.А. Вознесенский [5, 6], а в области исследований свойств бетонов – Е.Н. Львовский, В.Г. Зазимко и др. [11, 15].
В настоящее время сложилась стройная теория планирования эксперимента с достаточно сложным математическим аппаратом и терминологией. Основанное на построении экономичных планов (полные и дробные факторные планы, ортогональные латинские квадраты и сбалансированные блок-схемы) планирование эксперимента позволяет оптимизировать трудовые, временные и материальные ресурсы на проведение исследований и дать более точные оценки неизвестных параметров регрессии при равном числе измерений.
Для освоения этого эффективного приема исследований рассмотрим правила формирования и реализации двухуровневых планов, получивших наибольшее распространение при факторном планировании эксперимента.
Оптимальное планирование экспериментов. Целью экспериментальных исследований является поиск закономерности между оптимизируемыми величинами и варьируемыми факторами. При этом все эксперименты делятся на активные и пассивные.
Пассивным экспериментом является такой, в котором варьируют одним фактором, сохраняя остальные на постоянном уровне. Результаты такого исследования анализируют путем построения графических зависимостей между оптимизируемыми величинами и варьируемым фактором.
Активным экспериментом называют эксперимент, выполняемый по плану, предусматривающему все варианты сочетаний нескольких одновременно варьируемых факторов. Активный эксперимент называют планированным.
Полная двухфакторная модель второго порядка имеет вид
(6.1)
и в зависимости от наличия коэффициентов представляет собой одну из поверхностей 2-го порядка (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Поверхности второго порядка и их изолинии
Если полином содержит только линейные члены (), то он описывает плоскость (рис. 6.1,а), изолинии которой – параллельные прямые; абсолютные числовые оценки линейных эффектов можно интерпретировать как скорости влиянияна(при измененииот 0 до 1); чем больше, тем сильнее влияниена; по знакамлинейных эффектов можно найти направление изменениядля роста; модель может быть (при независимости коэффициентов) использована для поиска оптимума по методу «крутого восхождения».
Если полином содержит по одному фактору линейный эффект, а по другому – линейный и квадратичный (), то он описывает параболический цилиндр (рис. 6.1,б) с выпуклостью вверх, если<0, его изолинии – семейство парабол с общей главной осью:
.(6.2)
Если полином содержит и линейные, и квадратичные эффекты (но ), то он описывает эллиптический (рис. 6.1,в) или гиперболический (рис. 6.1,г) параболоиды. Эллиптический параболоид будет с выпуклостью вверх, если квадратичные эффекты отрицательны, и с выпуклостью вниз, если они положительны. Их изолинии – семейство эллипсов с общим центром. Гиперболический параболоид возникает, если квадратичные эффекты имеют разные знаки; его изолинии – семейство гипербол с общим центром.
Если полином содержит коэффициент (эффект взаимодействия), но не содержит квадратичных эффектов(неполный полином второго порядка), то он описывает седловидную поверхность гиперболического параболоида (рис. 6.1,д), изолинии которого – семейство гипербол с общим центром
. (6.3)
Абсолютное числовое значение коэффициента эффекта взаимодействия показывает насколько изменится скорость ростав зависимости от, если другой факторизменится от 0 до 1.
Проекция поверхности отклика на плоскость факторовиизображается в виде линий равного выхода (изолиний), во всех точках которых выходимеет постоянное значениенезависимо оти. Таким образом, если заданному набору коэффициентовисоответствует одно значение, то одному заданномуможет соответствовать множествои, лежащих на изолинии [15].
Чтобы избежать необходимости использования полиномов высокого порядка, был предложен шаговый метод изучения поверхности отклика, напоминающий итерационный метод решения задач вычислительной математики.
В
Рис 6.2. Два способа
движения к экстремуму – движение по
градиенту и движение по методу
однофакторного эксперимента, когда
последовательно фиксируются положение
то одной, то другой переменной
Графически такое движение по градиенту в задаче с двумя незави-симыми переменными представлено на рис. 6.2. На рисунке нанесены кривые равного выхода для одного из технологических процессов. Эти кривые аналогичны кривым равной высоты на географических картах. Цикл попеременного движения повторяется много раз (получается своеобразное блуждание по лабиринту), он усложняется с ростом числа независимых переменных (рис. 6.3).
Движение из точки О в направлении ОР соответствует наиболее крутому пути подъема по поверхности отклика (отсюда и название метода – метод крутого восхождения). В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не попадет в точку Q. В окрестности точки Q нужно поставить вторую серию опытов и заново найти локальное линейное приближение поверхности отклика. Для сравнения на рис. 6.3 показано пунктиром движение по поверхности отклика при однофакторном эксперименте. В этом случае двигаются попеременно, сначала изменяя одну переменную и фиксируя другую, а затем, изменяя вторую переменную и фиксируя первую.
Цикл попеременного движения повторяется много раз – получается своеобразное блуждание по лабиринту, который усложняется с ростом числа независимых переменных (рис. 6.3): М1; движение при х1= сonstот точки М1до частного максимума М2и т. д.
В
Рис. 6.3. Классический
подход к экспериментальному поиску
оптимума М0:
движение при х2
= сonst
от начальной точки О до максимума
Движение по градиенту давно известно в науке. Бокс и Уилсон использовали его в сочетании с дробным факторным экспериментом для локального описания поверхности отклика. Это и определило успех «крутого восхождения».
Рис. 6.4. Крутое восхождение
Для выбранной случайным образом достаточно малой области факторного пространства планируют дробный факторный эксперимент, проводят первую серию опытов (обычно из четырех) и строят линейную функцию отклика. Это еще не поиск экстремального значения функции, а предварительное отыскание направления дальнейшего поиска. Найдя градиенты уравнения (углы наклона поверхности в каждом направлении), повторяем операции и достигаем, наконец, вершины поверхности отклика. В этой области, как уже указывалось, проводят полный факторный эксперимент с определением не только линейных коэффициентов регрессии, но и всех учитываемых взаимодействий.
Тот факт, что функция отклика в окрестности исследуемой точки почти не изменяется, еще не говорит, что исследователь находится вблизи точки максимума. Это может быть медленно поднимающийся гребень или гребень постоянной высоты; может быть седловидная точка, являющаяся максимальной по одному направлению и минимальной по другому; может быть точкой локального максимума. Именно поэтому в данном месте необходимо большое количество экспериментов и для решения задачи приходится переходить на рототабельные построения, познакомиться с которыми можно в [16].
Итак, для математического описания технологического явления требуется минимальное количество опытов, из которых информация извлекается с максимальной полнотой, и позволяет получить с заданной надежностью математическую модель процесса в аналитическом или графическом виде.
При постановке задачи изучают опытные данные, полученные ранее. На основании этих данных выбирают как оптимизируемые величины, так и варьируемые факторы, которые должны быть независимыми друг от друга.
Успех решения экспериментальной задачи в значительной мере зависит от того, насколько удачно выбран план эксперимента. Применяют ортогональные, рототабельные, Д-оптимальные и другие планы.
Наиболее часто используют ортогональные симметричные планы, которым присущи минимальное число опытов, простота вычисления коэффициентов математической модели (уравнения). План обычно представляет матрицу, охватывающую изучаемую область.
Если в эксперименте с двумя переменными х1 их2 каждая переменная изменяется на двух уровнях (например при подборе состава бетона расход цементах1 изменяется на уровнях 280 и 320 кг/м3, а расход водых2 – на уровнях 190 и 210 л/м3), то все возможные комбинации варьируемых таким образом двух факторов будут исчерпаны перебором, приведенным в табл. 6.1.
Для упрощения расчетов от натуральных значений исследуемых величин переходят к кодовым переменным, принимающим на верхнем уровне значение +1, на нижнем –1. Этот переход выполняется по формуле
,
хi – кодовая переменная;Xi – натуральная переменная;X0 – натуральное значение величины в центре эксперимента;Xi – натуральное значение интервала варьирования.
Полный факторный эксперимент для двух переменных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 22), приведен в табл. 6.1.
Таблица 6.1
План эксперимента
Номер опыта |
х0 |
Планирование |
х1х2 |
| |
|
|
х1 |
х2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 2 3 4 |
+ 1 + 1 + 1 + 1 |
– 1 + 1 – 1 + 1 |
– 1 – 1 +1 +1 |
+1 –1 –1 +1 |
у1 у2 у3 у |
Табл. 6.1 называется матрицей планирования: каждая строка фиктивной переменной х0 = + 1 , в графах 3, 4 – значениях1 их2 (собственно планирование); в графе 5 – значениех1х2 (эффект взаимодействия факторов в графе 6 – результаты наблюдений.
Пользуясь планированием 22, можно определить коэффициенты регрессии неполного уравнения
.
В это уравнение переменные х1 их2входят не в абсолютном, а в относительном (кодированном) значении.
Графически эту зависимость можно представить поверхностью отклика горизонтальной проекцией которой является квадрат (см. рис. 6.3). Число опытов (четыре) равно числу оцениваемых параметров() и на проверку нуль-гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента моделью (6.2) не остается степеней свободы. Однако, если есть основания предполагать, что в заданном интервале варьированиях1 явление может быть описано линейной моделью (без взаимодействия х1х2), то одна степень останется для проверки гипотезы адекватности.
Матрица планирования для 3 переменных – 23получается из матрицы 22при повторении её дважды: один раз при значениихiна нижнем уровне, второй раз – на верхнем. На рис. 6.5 показана схема планирования типа 23с координатами точек куба в кодовом масштабе. Если приблизительно известна область, где находятся экспериментальные значения оптимизируемых величин, эксперименты проводят в этой почти стационарной области.
О
Рис. 6.5. Композиционный
план второго порядка в задаче с тремя
независимыми переменными
При изучении почти стационарной области возникает ряд сложных проблем. Если мы хотим описать эту часть поверхности отклика полиномом второго порядка, то переменные нужно варьировать уже на трех уровнях, но планы полного факторного эксперимента типа Зк здесь неприемлемы, так как они потребуют слишком большого числа опытов. Боксом и Уилсоном было предложено построение композиционных планов, ядром которых служат линейные ортогональные планы. Предполагается, что, попав в почти стационарную область, исследователь сначала ставит опыты, используя линейные планы. Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности здесь не проходит, он достраивает линейный план до плана второго порядка; отсюда и название – композиционный план. Рассмотрим стратегию построения композиционного плана на примере задачи с тремя переменными (рис. 6.5). Сначала ставим опыты по линейному плану в точках, задаваемых вершинами правильного симплекса (тетраэдра). Эти точки являются подмножеством вершин того куба, которым задаются границы варьирования переменных в линейной задаче. На рис. 6.5 они обозначены зачерненными кружками. Далее ставим эксперимент в центре куба для проверки гипотезы адекватности. Если гипотеза адекватности не проходит, то достраиваются вершины куба (незачерненные точки), и затем добавляется еще часть так называемых «звездных» точек, образующих октаэдр. На рисунке эти точки обозначены звездочками. Здесь видно, что при переходе к плану второго порядка границы варьирования переменных расширяются. В результате получается композиционный план второго порядка, содержащий (при к = 3) всего лишь 15 точек (полный факторный эксперимент типа З3 содержал бы уже 27 точек).
После постановки опыта вначале выполняется статистический, а затем технологический анализ полинома.
Иногда полином исследуют на экстремум (тогда и задачу называют экстремальной). Но чаще, особенно при необходимости изучения нескольких оптимизирующих величин, определяют условный оптимум исходя из компромиссных требований, предъявляемых к оптимизируемым величинам. Такие задачи называют компромиссными.
При решении компромиссных задач наиболее важным является технологический анализ полученной математической модели. Он позволяет установить влияние на оптимизируемую величину не только изучаемых факторов, но также эффектов их взаимодействия. В ряде случаев становится возможным достаточно точный прогноз улучшений условий изучаемого процесса.
Воспользуемся примером оптимизации процесса тепловой обработки бетона, приведенной в [11], с помощью планированного эксперимента (табл. 6.2, 6.3). Его достоинство в том, что в нем четко прослежена вся цепочка статистического анализа результатов опыта.
Таблица 6.2
Исходные данные
Исходные данные планированного эксперимента |
х1 |
х2 |
х3 |
Центр эксперимента Интервал варьирования Верхний уровень (=1) Нижний уровень ( =1 ) Звездная точка + = + 1,215 Звездная точка – = – 1,215 |
35 2,5 37,5 32,5 38,0 32,0 |
85 5 90 80 91 79 |
5,0 0,5 5,5 4,5 5,6 4,4 |
В качестве оптимизируемой величины принята прочность бетона в 28-суточном возрасте Rсж (или ).
Варьируемыми факторами являются:
–температура предварительного прогрева бетонной смеси Тпр, ºС;
–температура изотермического прогрева Тиз, ºС;
–время изотермического прогрева , ч.
Выберем центр эксперимента , интервал варьированияи перейдем к кодовым переменным.
Таблица 6.3
Планирование эксперимента
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
500 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
498 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
497 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
505 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
496 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
504 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
503 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
501 |
+1 |
–1,215 |
0 |
0 |
0,74 |
–0,73 |
–0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
493 |
+1 |
+1,215 |
0 |
0 |
0,74 |
–0,73 |
–0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
501 |
+1 |
0 |
–1,215 |
0 |
–0,73 |
0,74 |
–0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
490 |
+1 |
0 |
+1,215 |
0 |
–0,73 |
0,74 |
–0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
497 |
+1 |
0 |
0 |
–1,215 |
–0,73 |
–0,73 |
0,74 |
0 |
0 |
0 |
0 |
500 |
+1 |
0 |
0 |
+1,215 |
–0,73 |
–0,73 |
0,74 |
0 |
0 |
0 |
0 |
503 |
+1 |
0 |
0 |
|
–0,73 |
–0,73 |
–0,73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
505 |
Исследования проводятся сразу почти в стационарной области, т. е. в области оптимума, так как из опыта (априори) эта область известна. Для описания процесса полиномом второго порядка выбираем ортогональный план полного факторного эксперимента 23.
Кроме этого, в план введем фиктивную переменную х0 = 1. Общее число опытов согласно плануN = 15 (табл. 6.3).
После выполнения всех 15 экспериментов (каждый опыт имел 6 параллельных определений) были получены средние значения прочности у.
Для получения ортогонального планирования второго порядка произведем преобразования квадратичных переменных:
= 1, 2, 3. (6.4)
Выберем величину интервала для звездных точек – для случая трех переменных =1,215 (табл. 6.2, 6.3). Тогда
,
и для основного планирования
,
а для звездных точек
,
.
Эти преобразования необходимы для смещения при определении свободного члена полинома, а также при расчете коэффициентов квадратичных членов
. (6.5)
Уравнение, которым описывается процесс, до преобразования имеет вид:
(6.6)
После преобразований
(6.7)
Все коэффициенты этого полинома при ортогональном планировании определяются и оцениваются независимо друг от друга. Это означает, что если тот или иной коэффициент окажется незначим, его можно отбросить, не пересчитывая все остальные.
Коэффициенты полинома определяются по формуле
, (6.8)
а для определения свободного члена уравнения воспользуемся выражением
. (6.9)
Коэффициенты уравнений (6.6) и (6.7) имеют следующие значения
Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициентов
Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициента имеет вид
;
4 = –
+= –1,08,
Знаменатель формулы (6.8) для определения коэффициентов имеет вид
,,
,
.
После подстановки значений коэффициентов уравнение примет вид
.
Значимость коэффициентов уравнения определим по -критерию:
(6.10)
где – среднее квадратическое отклонение для коэффициентов.
Дисперсию для коэффициентовопределим
. (6.11)
Дисперсию воспроизводимости и среднюю дисперсию воспроизводимости определяем из формулы:
, (6.12)
. (6.13)
Числитель формулы (6.12) определим из выражения
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Знаменатель формулы (6.12) – это число степеней свободы, с которым определяется дисперсия воспроизводимости
.
Вернемся к определению. Дисперсию дляподсчитаем так:
Дисперсии для с учетом выражений:
,= 1, 2, 3,
,= 4, 5, 6,
, = 7, 8, 9, 10
определим следующим образом:
Дисперсию свободного члена представим как
.
Теперь можно определить :
; ;
; ;
;
.
Условие значимости коэффициентов уравнения имеет вид . Табличное значение при=75=2,0, поэтому коэффициенты прииоказались незначимыми.
Адекватность (тождественность) описания процесса термообработки полиномом второй степени проверим, используя -критерий
. (6.14)
Дисперсия воспроизводимости определена ранее и равна .
Остаточную дисперсию определим так:
.
Число степеней свободы
где – количество коэффициентов полинома.
Степень свободы 2 определена ранее (2 = 75).
Определим дисперсию
, (6.15)
.